Fonctions et variations — fiche de révision

⚡ Deux tableaux, deux questions

	Tableau de SIGNE	Tableau de VARIATIONS
Répond à	où f est-elle positive ?	où f monte-t-elle ?
On cherche les racines de…	f	f'
Outil	Δ = b² − 4ac, règle du signe de a	dérivée, puis signe de f'
Lignes	2 (x, f)	3 (x, f', f)

Les abscisses n'ont rien à voir. Pour x² + 4x − 5 : signe en −5 et 1, variation en −2. Les confondre coûte toute la question.

⚡ Image et antécédent

x → f → f(x)
antécédent · image

Image de 3 : on calcule f(3).
Antécédent de 5 : on résout f(x) = 5.

Une image est unique ; un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

⚡ Orthogonal ≠ orthonormal

Orthogonal : axes perpendiculaires, unités éventuellement différentes.
Orthonormal : en plus, même unité sur les deux axes.

Ortho = l'angle droit · normé = l'unité commune. Tout orthonormal est orthogonal, l'inverse est faux.

⚡ Fonction affine

f(x) = ax + b

a = coefficient directeur (la pente)
b = ordonnée à l'origine, car f(0) = b

`a > 0`	croissante
`a < 0`	décroissante
`a = 0`	constante (horizontale)

Signe : signe de a après la racine, contraire avant.

⚡ Diviser par un négatif retourne l'inégalité

calcul

−3x + 6 > 0
    −3x > −6
      x < 2       ← le signe s'est RETOURNÉ

Contrôle : x = 0 → −3×0+6 = 6 > 0 ✔ et 0 < 2 ✔

La valeur-test coûte cinq secondes et attrape l'erreur à coup sûr.

⚡ Le second degré — tout tient dans Δ

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) · Δ = b² − 4ac

Δ	Racines	Signe	Factorisation
`> 0`	2 : `(−b ∓ √Δ)/2a`	signe de a · 0 · contraire · 0 · signe de a	`a(x − x₁)(x − x₂)`
`= 0`	1 double : `−b/2a`	signe de a partout, avec un zéro isolé	`a(x − x₀)²`
`< 0`	aucune	signe de a partout, sans jamais s'annuler	impossible dans ℝ

La phrase qui couvre les trois cas : un trinôme est du signe de a partout, sauf entre les racines. S'il n'y a pas deux racines, il n'y a pas d'« entre ».

⚡ Les signes dans Δ

calcul

3x² − 2x − 1 :  a = 3, b = −2, c = −1

Δ = (−2)² − 4 × 3 × (−1)
  =   4    +  12            ← c < 0 fait GRANDIR Δ
  =  16

Un signe oublié → Δ = −8 → « pas de racine »
alors qu'il y en a deux.

b garde son signe dans b² et dans −b/2a. Compter les signes de −4ac un par un.

⚡ Racine → facteur : le signe s'inverse

calcul

racines −5 et 1  →  (x + 5)(x − 1)
                        ↑ le signe s'INVERSE

x² + 4x − 5 = (x + 5)(x − 1)
Contrôle : x² − x + 5x − 5 = x² + 4x − 5 ✔

Et ne jamais oublier le a devant : invisible quand a = 1, fatal quand a = 2.

⚡ L'ordre, pas le nom

Selon les manuels, x₁ désigne la racine avec −√Δ ou avec +√Δ. Peu importe.

Dans le tableau de signe, les racines vont dans l'ordre croissant sur l'axe. On calcule les deux valeurs, on les compare, on met la plus petite à gauche. Un tableau où 3 précède 2 est faux.

⚡ Crochets ouverts ou fermés ?

`f(x) < 0` stricte	`]2 ; 3[` ouverts
`f(x) ⩽ 0` large	`[2 ; 3]` fermés
borne infinie	toujours ouverte

Une inégalité large inclut les racines, puisqu'elles annulent la fonction.

⚡ Du signe de f' aux variations de f

f'(x) > 0 ⟹ f croissante · f'(x) < 0 ⟹ f décroissante · f'(x) = 0 ⟹ extremum

méthode

  x     │ −∞        racine de f'        +∞
  ──────┼─────────────────────────────────
  f'(x) │     −          0         +
  ──────┼─────────────────────────────────
  f(x)  │     ╲      valeur de f    ╱
                      └── extremum

« − » sur f'  →  flèche qui DESCEND
« + » sur f'  →  flèche qui MONTE
« 0 » isolé   →  extremum, dont on CALCULE la valeur

Les racines de f' sont les abscisses des extremums de f. Analogie : f = l'altitude, f' = la pente sous les roues.

⚡ Les dérivées utiles ici

`f`	`f'`
`k`	`0`
`x`	`1`
`x²`	`2x`
`xⁿ`	`n·xⁿ⁻¹`
`u + v`	`u' + v'`
`u / v`	`(u'v − uv')/v²`

On dérive terme par terme ; la constante disparaît. Tout le calcul est au chapitre 04.

⚡ Degré 3 → dérivée degré 2

Étudier un cube, c'est dériver et retomber sur un trinôme : on repasse par le discriminant. Le chapitre boucle sur lui-même.

calcul

f  = x³ − x² − x + 7
f' = 3x² − 2x − 1
Δ  = 4 + 12 = 16  →  racines −1/3 et 1

⚡ Local ≠ sur l'intervalle

calcul

f(x) = x³ − x² − x + 7 sur [−5 ; 5]

max LOCAL     ≈ 7,19  en x = −1/3
max SUR I     =  102  en x =  5    ← au BORD

Sur un intervalle fermé, comparer aussi les valeurs aux bornes. Le plus haut des environs n'est pas le plus haut de tous.

⚡ Quotient : la valeur interdite

calcul

f(x) = (x+4)/(x−12)   sur [−10 ; 10]

x − 12 = 0 → x = 12,  MAIS 12 ∉ [−10 ; 10]
→ aucune double barre, f définie sur tout I

f' = −16/(x−12)²
     numérateur < 0, dénominateur = carré > 0
→ f' < 0 partout : f STRICTEMENT DÉCROISSANTE

Toujours comparer la valeur interdite aux bornes avant de dessiner le tableau.

⚡ Les résultats du chapitre, d'un coup d'œil

Fonction	Δ / racines de f	f' et ses racines	Extremum
`2x − 1`	racine 0,5	`2`, aucune	aucun (croissante)
`x² − 5x + 6`	Δ = 1 · racines 2 et 3	`2x − 5`, racine 2,5	min en 2,5
`x² − 4x + 4`	Δ = 0 · racine double 2	`2x − 4`, racine 2	min 0 en 2
`2x² − 4x + 3`	Δ = −8 · aucune	`4x − 4`, racine 1	min 1 en 1
`−2x + 1`	racine 0,5	`−2`, aucune	aucun (décroissante)
`x² + 4x − 5`	Δ = 36 · racines −5 et 1	`2x + 4`, racine −2	min −9 en −2
`x³ − x² − x + 7`	—	`3x² − 2x − 1`, racines −1/3 et 1	max 7,19 · min 6
`−2x² + 4x − 9`	Δ = −56 · aucune	`−4x + 4`, racine 1	max −7 en 1
`x³ − 3x² − 9x + 5`	—	`3x² − 6x − 9`, racines −1 et 3	max 10 · min −22
`(x+4)/(x−12)`	racine −4	`−16/(x−12)²`, aucune	aucun (décroissante)

⚡ Les six erreurs qui coûtent des points

Confondre signe de f et signe de f' — deux tableaux, deux questions, deux jeux d'abscisses.
Perdre un signe dans Δ — b garde le sien, et un c négatif fait grandir Δ.
Oublier le a dans la factorisation a(x − x₁)(x − x₂).
Ne pas retourner l'inégalité en divisant par un négatif.
Un tableau sans valeurs — il faut les bornes de I et la valeur de chaque extremum, pas seulement des flèches.
Mettre une racine de f' hors de I dans le tableau, ou oublier de commencer et finir aux bornes de I.