Dérivées — fiche de révision

⚡ Le formulaire — à savoir par cœur

Dérivées usuelles

`f(x)`	`f'(x)`
`k` (constante)	`0`
`x`	`1`
`ax + b`	`a`
`x²`	`2x`
`x³`	`3x²`
`xⁿ`	`n·xⁿ⁻¹`
`1/x`	`−1/x²`
`√x`	`1/(2√x)`

Opérations

`f`	`f'`
`k·u`	`k·u'`
`u + v`	`u' + v'`
`u·v`	`u'v + uv'`
`u / v`	`(u'v − uv') / v²`
`uⁿ`	`n·u'·uⁿ⁻¹`
`√u`	`u' / (2√u)`

Toute la colonne de gauche découle de xⁿ → n·xⁿ⁻¹ : 1/x = x⁻¹, √x = x^½.

⚡ Nombre dérivé et tangente

f'(a) = un nombre, la pente en a
f' = une fonction, la formule

y = f'(a)(x − a) + f(a)

Exemple : f(x) = x² en a = 1,5 → f'(1,5) = 3, f(1,5) = 2,25, tangente y = 3x − 2,25.

⚡ Dériver un polynôme

méthode

a·xⁿ  →  (a × n) · xⁿ⁻¹

  ① coefficient × exposant
  ② exposant − 1
  ③ la constante disparaît

6x⁵ − 4x³ + x² + x − 9
 → 30x⁴ − 12x² + 2x + 1

Contrôle gratuit : dériver baisse le degré d'exactement un cran.

⚡ Ce qui ne traverse pas

(u·v)' ≠ u'v' · (u/v)' ≠ u'/v'

calcul

f(x) = x × x = x²   →   f'(x) = 2x

Si (uv)' = u'v' :  1 × 1 = 1 ≠ 2x   ✗

Seules ku et u + v se dérivent morceau par morceau.

⚡ Le quotient : moins, et ordre

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Le signe moins au milieu.
u'v d'abord : une soustraction n'est pas commutative.
Le dénominateur est v², laissé factorisé.

Distribuer le moins sur tous les termes : −(2x + 1) = −2x − 1.

⚡ Composées : ne pas oublier u'

(uⁿ)' = n·u'·uⁿ⁻¹ · (√u)' = u'/(2√u)

calcul

(3x² + 6x + 1)⁴   u' = 6x + 6

f' = 4 × (6x + 6) × (3x² + 6x + 1)³
   = (24x + 24)(3x² + 6x + 1)³

PAS « 24x + 24(…)³ » : le bloc 4·u' est
UN SEUL facteur → une parenthèse.

Le u' est la dérivée de l'intérieur : c'est lui qu'on oublie une fois sur deux.

⚡ Le gros calcul, en quatre étapes

calcul

f(x) = (4x² + 1)²(3x − 7)³

① dériver chaque facteur :
   u  = (4x²+1)²           v  = (3x−7)³
   u' = 16x(4x²+1)         v' = 9(3x−7)²

② (uv)' = u'v + uv' :
   f' = 16x(4x²+1)(3x−7)³ + (4x²+1)²·9(3x−7)²

③ SORTIR le commun (la plus petite puissance de chaque) :
   f' = (4x²+1)(3x−7)² [ 16x(3x−7) + 9(4x²+1) ]

④ développer SEULEMENT le crochet :
   f' = (4x²+1)(3x−7)²(84x² − 112x + 9)

Cette forme EST la réponse. Son signe se lit : (4x²+1) > 0, (3x−7)² ⩾ 0, reste un seul trinôme à étudier. Développée, elle ferait sept termes illisibles.

⚡ Développer ou factoriser ?

Polynôme court	développer
Produit de gros facteurs	factoriser
Quotient	numérateur oui, dénominateur jamais
Racine	ne rien développer
Le signe est demandé après	factoriser, toujours

⚡ Les pièges de calcul

Faux	Juste
`(a − b)² = a² + 2ab + b²`	`a² − 2ab + b²`
`16x × 4x² = 64x²`	`64x³` — les exposants s'ajoutent
`f'(x) = −2x` pour `−2x+1`	`f'(x) = −2`
`m² > 36 ⟹ m > 6`	`m < −6` ou `m > 6`

⚡ Vers les variations

f' > 0 → f monte ╱
f' < 0 → f descend ╲
f' = 0 → extremum

Voir le chapitre 03 pour le tableau complet.

⚡ Le degré prédit le tableau

f	f'	Changements de sens
degré 1	constante	aucun
degré 2	affine	un — pas de discriminant !
degré 3	trinôme	deux au plus — discriminant

Pour un degré 2, on résout directement f'(x) = 0. Le discriminant ne sert qu'à partir du degré 3.

⚡ Les résultats des exercices, d'un coup d'œil

`f(x)`	`f'(x)`	Formule utilisée
`6x⁵−4x³+x²+x−9`	`30x⁴−12x²+2x+1`	terme à terme
`−2x¹⁰+23x⁴−41x`	`−20x⁹+92x³−41`	terme à terme
`⅓x³−x`	`x²−1`	terme à terme
`(x²+1)(4x+7)`	`12x²+14x+4`	`u'v+uv'`
`(x²+5x)(x−3)`	`3x²+4x−15`	`u'v+uv'`
`(−x³+2x)(4x²−1)`	`−20x⁴+27x²−2`	`u'v+uv'`
`x²(3x−1)`	`9x²−2x`	`u'v+uv'`
`x(2x+1)`	`4x+1`	`u'v+uv'`
`x(x+1)(x+2)`	`3x²+6x+2`	développer d'abord
`(x²+1)/(x−1)`	`(x²−2x−1)/(x−1)²`	`(u'v−uv')/v²`
`1/(x²+1)`	`−2x/(x²+1)²`	`(u'v−uv')/v²`
`(2x+1)/(x+2)`	`3/(x+2)²`	`(u'v−uv')/v²`
`(x+4)/(x−12)`	`−16/(x−12)²`	`(u'v−uv')/v²`
`(3x²+6x+1)⁴`	`(24x+24)(3x²+6x+1)³`	`n·u'·uⁿ⁻¹`
`√(x³+6x²+1)`	`(3x²+12x)/(2√(x³+6x²+1))`	`u'/(2√u)`
`(4x²+1)²(3x−7)³`	`(4x²+1)(3x−7)²(84x²−112x+9)`	les deux, puis factoriser

⚡ Les sept erreurs qui coûtent des points

Dériver un produit comme u'v' — c'est u'v + uv'.
Oublier le signe moins du quotient, ou intervertir les deux termes.
Oublier u' dans (uⁿ)' et (√u)'.
Donner un x à la dérivée d'une affine — c'est une constante.
Perdre un exposant en développant (16x × 4x² = 64x³).
Se tromper d'identité remarquable — (a − b)² = a² − 2ab + b².
Oublier les parenthèses autour d'un facteur.

Les deux contrôles à faire systématiquement : le degré a-t-il baissé d'un cran ? Et une valeur numérique donne-t-elle le même résultat par deux chemins ?