Dérivées
Une machine à fabriquer des pentes. On lui donne une fonction, elle rend une autre fonction — celle qui dit, en chaque point, si ça monte et à quelle vitesse.
Résumé flash
Tout se ramène à trois formules usuelles —
(k)' = 0, (x)' = 1, (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ — et à
quatre opérations : (ku)' = ku',
(u+v)' = u'+v', (uv)' = u'v + uv',
(u/v)' = (u'v − uv')/v². Un polynôme se dérive
terme par terme, et la constante disparaît. Sur les gros calculs,
on factorise au lieu de développer : c'est plus court, plus sûr,
et c'est ce qui sert ensuite au tableau de variations.
🔑
#dérivée #nombre-dérivé #tangente
#coefficient-directeur #formulaire
#ku #u+v #uv #u/v
#uⁿ #racine #factorisation
#variations
01La dérivée, c'est la pente
Une fonction affine a une seule pente : son coefficient directeur a. Une courbe, elle, change de pente en permanence. La dérivée est la fonction qui donne cette pente en chaque point.
| Objet | Notation | Nature | Sens |
|---|---|---|---|
| Le nombre dérivé en a | f'(a) |
un nombre | la pente de la courbe au point d'abscisse a |
| La fonction dérivée | f' |
une fonction | la formule qui donne la pente pour n'importe quel x |
On calcule d'abord f' — une formule — puis on y remplace x par a pour
obtenir f'(a), un nombre.
f'(1,5) = 3 est le
coefficient directeur de la tangente : la droite qui épouse la courbe
au point A.f(x) est l'altitude à la position x.
f'(x) est la pente sous les roues à cet endroit :
f'(x) > 0: ça monte — f est croissante ;f'(x) < 0: ça descend — f est décroissante ;f'(x) = 0: c'est plat — sommet de côte ou fond de vallon, un extremum.
Lire le signe de f', c'est lire le profil de la route sans l'avoir vue. C'est tout l'objet du tableau de variations.
La tangente au point d'abscisse a est la droite qui passe par
(a ; f(a)) avec la pente f'(a) :
f(x) = x² en a = 1,5
f(1,5) = 1,5² = 2,25 ← le point : (1,5 ; 2,25)
f'(x) = 2x
f'(1,5) = 2 × 1,5 = 3 ← la pente
y = 3(x − 1,5) + 2,25
= 3x − 4,5 + 2,25
= 3x − 2,25
Contrôle : en x = 1,5, y = 4,5 − 2,25 = 2,25 = f(1,5) ✔
la tangente touche bien la courbe au point A.02Le formulaire
Soit f définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ. On note f' sa
fonction dérivée sur I. Voici tout ce qu'il faut savoir par cœur.
f(x) | f'(x) |
Exemple |
|---|---|---|
k (une constante) | 0 |
f(x) = 15 → f'(x) = 0 |
x | 1 |
— |
ax | a |
f(x) = −2x → f'(x) = −2 |
ax + b | a |
f(x) = −2x + 1 → f'(x) = −2 |
x² | 2x |
— |
x³ | 3x² |
— |
xⁿ (n ∈ ℝ) | n·xⁿ⁻¹ |
f(x) = x¹² → f'(x) = 12x¹¹ |
1/x | −1/x² |
— |
√x | 1 / (2√x) |
— |
Toute la colonne de gauche découle en réalité de la seule ligne
xⁿ → n·xⁿ⁻¹ : x = x¹ → 1·x⁰ = 1,
x² → 2x¹, 1/x = x⁻¹ → −1·x⁻² = −1/x²,
√x = x^½ → ½·x^(−½) = 1/(2√x).
Un cahier de la classe note, pour f(x) = −2x + 1 :
f'(x) = −2x. C'est faux : la dérivée est −2, un nombre,
sans x.
La suite du raisonnement le confirme d'ailleurs — « −2 < 0 donc f' < 0 sur ℝ » n'aurait aucun sens si f' dépendait de x. Une droite a la même pente partout : c'est la définition même d'une droite, et c'est pour cela que sa dérivée est constante.
Conséquence pratique, utile au signe : une dérivée constante ne change jamais de signe, donc le tableau de variations n'a aucune colonne intermédiaire.
03Dériver un polynôme
C'est le cas le plus fréquent, et le plus mécanique. On applique
xⁿ → n·xⁿ⁻¹ à chaque terme, on garde les coefficients, et la constante
tombe.
Pour chaque terme a·xⁿ :
① on multiplie le coefficient par l'exposant → a × n
② on baisse l'exposant d'un cran → xⁿ⁻¹
a·xⁿ → (a × n) · xⁿ⁻¹
Et le terme constant (sans x) disparaît : sa dérivée vaut 0.terme par terme :
6x⁵ → 6 × 5 x⁴ = 30x⁴
−4x³ → −4 × 3 x² = −12x²
x² → 2 x¹ = 2x
x → 1 = 1
−9 → 0
f'(x) = 30x⁴ − 12x² + 2x + 1Contrôle du degré : f est de degré 5, sa dérivée est de degré 4. Dériver fait toujours baisser le degré d'un cran. Si votre dérivée a le même degré que la fonction, il y a une erreur.
−2x¹⁰ → −2 × 10 x⁹ = −20x⁹
23x⁴ → 23 × 4 x³ = 92x³
−41x → −41 × 1 = −41
f'(x) = −20x⁹ + 92x³ − 41Contrôle : degré 10 → degré 9 ✔ Et le terme en x devient une
constante — c'est le cas n = 1, où x⁰ = 1.
⅓x³ → ⅓ × 3 x² = x² ← le 3 simplifie le ⅓
−x → −1
f'(x) = x² − 1Les fractions se simplifient presque toujours : c'est pour cela
qu'un énoncé choisit ⅓x³ plutôt que x³ — pour que la
dérivée soit propre. Un coefficient qui reste fractionnaire après dérivation est
souvent le signe d'une erreur d'énoncé… ou d'un exercice qui le veut ainsi.
04k·u et u + v
Les deux opérations faciles : la dérivation traverse une somme et une multiplication par un nombre.
u et v sont deux fonctions définies et dérivables ; k est un réel.
Autrement dit : une constante multiplicative reste en place, et on dérive une somme morceau par morceau. C'est exactement ce qu'on fait sans y penser en dérivant un polynôme.
Un contre-exemple d'une ligne suffit à s'en convaincre :
f(x) = x × x = x² donc f'(x) = 2x
Si (u·v)' valait u'·v', on aurait 1 × 1 = 1.
Or 1 ≠ 2x. ✗
C'est pour cela qu'il existe une formule spéciale (§ 5).05Le produit u·v
« On dérive le premier, on garde le second ; puis on garde le premier, on dérive le second. » Les deux morceaux s'additionnent.
Écrire systématiquement les quatre lignes avant de commencer. C'est deux lignes de plus, et c'est ce qui fait la différence sur un gros calcul.
f(x) = (x² + 1)(4x + 7)
u = x² + 1 v = 4x + 7
u' = 2x v' = 4
(uv)' = u'v + uv'
f'(x) = (2x)(4x + 7) + (x² + 1)(4)
= 8x² + 14x + 4x² + 4
= 12x² + 14x + 4Contrôle par développement préalable :
(x²+1)(4x+7) = 4x³ + 7x² + 4x + 7, dont la dérivée terme à terme vaut
12x² + 14x + 4 ✔ Les deux chemins mènent au même résultat — c'est le
meilleur contrôle possible, et il marche à chaque fois qu'on peut développer.
u = x² + 5x v = x − 3
u' = 2x + 5 v' = 1
f'(x) = (2x + 5)(x − 3) + (x² + 5x)(1)
= 2x² − 6x + 5x − 15 + x² + 5x
= 3x² + 4x − 15Contrôle : (x²+5x)(x−3) = x³ + 2x² − 15x, dérivée
3x² + 4x − 15 ✔
u = −x³ + 2x v = 4x² − 1
u' = −3x² + 2 v' = 8x
f'(x) = (−3x² + 2)(4x² − 1) + (−x³ + 2x)(8x)
= −12x⁴ + 3x² + 8x² − 2 + (−8x⁴ + 16x²)
= −12x⁴ + 11x² − 2 − 8x⁴ + 16x²
= −20x⁴ + 27x² − 2Contrôle : (−x³+2x)(4x²−1) = −4x⁵ + 9x³ − 2x, dérivée
−20x⁴ + 27x² − 2 ✔ Degré 5 → degré 4 ✔
Dans (−3x² + 2)(4x² − 1), chaque terme du premier facteur multiplie
chaque terme du second : quatre produits, pas deux. Écrire
−3x² + 2 × 4x² − 1 sans parenthèses change complètement le calcul.
La remarque du cahier est explicite : « chaque lettre a une
parenthèse ».
06Le quotient u/v
Deux différences avec le produit, et ce sont exactement les deux sources d'erreur :
le signe moins au milieu, et le v² au dénominateur.
L'ordre compte aussi : u'v d'abord, − uv'
ensuite.
Le numérateur commence par u' comme dans la formule du produit —
u'v + uv' devient u'v − uv'. Une seule chose change : le
+ devient −. Et comme une soustraction n'est pas
commutative, l'ordre des deux termes devient obligatoire alors qu'il
était libre pour le produit.
u = 2x + 1 v = x + 2
u' = 2 v' = 1
f'(x) = [ (2)(x + 2) − (2x + 1)(1) ] / (x + 2)²
= [ 2x + 4 − 2x − 1 ] / (x + 2)²
= 3 / (x + 2)²Le numérateur se simplifie en une constante : c'est
typique des quotients de deux affines. Conséquence immédiate et précieuse :
3 > 0 et (x+2)² > 0, donc
f' > 0 partout — f est croissante sur chacun de ses
intervalles de définition, sans aucune inéquation à résoudre.
Attention à la distribution du signe moins :
− (2x + 1) donne − 2x − 1, les deux termes
changent de signe.
u = 1 v = x² + 1
u' = 0 v' = 2x
f'(x) = [ (0)(x² + 1) − (1)(2x) ] / (x² + 1)²
= [ 0 − 2x ] / (x² + 1)²
= −2x / (x² + 1)²Le premier terme s'annule (u' = 0), il ne reste que
− uv'. Contrôle de signe : le dénominateur est un carré, donc positif ;
f' a donc le signe de −2x, c'est-à-dire positif pour
x < 0 et négatif pour x > 0. La fonction monte puis descend, avec un
maximum en 0 — et en effet f(0) = 1 est la plus grande valeur possible
de 1/(x²+1) ✔
Sur l'exercice f(x) = (x² + 1)/(x − 1), la copie aboutit correctement au
numérateur x² − 2x − 1, puis écrit le dénominateur développé en
x² + 2x + 1. C'est faux : l'identité rappelée juste à côté,
(a − b)² = a² − 2ab + b², donne un moins :
u = x² + 1 v = x − 1
u' = 2x v' = 1
f'(x) = [ (2x)(x − 1) − (x² + 1)(1) ] / (x − 1)²
= [ 2x² − 2x − x² − 1 ] / (x − 1)²
= (x² − 2x − 1) / (x − 1)²Et surtout : il ne fallait pas développer du tout. Un dénominateur
laissé sous la forme (x − 1)² est plus lisible, se simplifie mieux, et
surtout son signe se lit immédiatement — un carré est positif. En le
développant, on perd cette information et on s'expose à l'erreur. C'est le sujet du
§ 8.
07Puissances et racine
Quand ce n'est pas x qui est élevé à une puissance, mais toute une expression, on ne
peut plus appliquer xⁿ → n·xⁿ⁻¹ tel quel : il faut tenir compte de ce
qu'il y a dedans.
(√u)' = u' / (2√u)
Par rapport aux formules simples, il apparaît un facteur u' : c'est
la dérivée de l'intérieur. On l'oublie une fois sur deux.
Dans (3x² + 6x + 1)⁴, il y a deux couches : la
puissance 4 à l'extérieur, et le trinôme à
l'intérieur. Dériver, c'est ouvrir les deux : on dérive l'enveloppe
(4·u³), puis on multiplie par la dérivée du contenu (u').
Si l'on oublie u', on dérive comme si l'intérieur était simplement
« x » — ce qui n'est vrai que lorsque u = x, donc u' = 1.
C'est d'ailleurs pourquoi la formule simple (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ est un cas
particulier de celle-ci.
u = 3x² + 6x + 1 n = 4
u' = 6x + 6
(uⁿ)' = n · u' · uⁿ⁻¹
f'(x) = 4 × (6x + 6) × (3x² + 6x + 1)³
= (24x + 24)(3x² + 6x + 1)³
On peut aussi factoriser le premier facteur :
= 24(x + 1)(3x² + 6x + 1)³Contrôle du degré : f est de degré 8 (un trinôme à la puissance 4),
donc f' doit être de degré 7. Ici : (24x+24) est de degré 1 et
(…)³ de degré 6, total 7 ✔
① La copie écrit d'abord
f'(x) = 4 × 2 × 3x + 6 × (3x² + 6x + 1)³, où u' est
faux : la dérivée de 3x² + 6x + 1 est 6x + 6, pas
« 2 × 3x + 6 » écrit sans parenthèses.
② Même corrigée, la ligne = 24x + 24 (3x²+6x+1)³
reste ambiguë : sans parenthèses, elle se lit « 24x plus
24(3x²+6x+1)³ », ce qui n'est pas le résultat. Il faut écrire
Le facteur 4 × u' forme un seul bloc qui multiplie
le reste. C'est exactement le sens de l'annotation portée sur la copie :
« chaque lettre a une parenthèse ».
u = x³ + 6x² + 1
u' = 3x² + 12x
(√u)' = u' / (2√u)
f'(x) = (3x² + 12x) / (2√(x³ + 6x² + 1))Rien à simplifier, et surtout rien à développer :
la réponse est finie. On peut au mieux factoriser le numérateur en
3x(x + 4), ce qui rend son signe lisible — utile si la question
suivante porte sur les variations.
Une racine carrée exige un contenu positif ou nul, et le
dénominateur 2√u exige en plus qu'il soit non nul.
La dérivée n'existe donc que là où x³ + 6x² + 1 > 0,
strictement. Un énoncé qui dit « sur son ensemble de définition » attend qu'on
le signale.
08Factoriser, pas développer
Sur les gros calculs, développer est à la fois plus long et plus risqué. Et surtout, c'est inutile : ce qu'on veut ensuite, c'est le signe de f' — et un produit de facteurs se lit, alors qu'une somme se calcule.
C'est le plus gros calcul du chapitre. Il combine le produit (§ 5) et les puissances (§ 7).
① Poser u et v, chacun étant lui-même une puissance :
u = (4x² + 1)² v = (3x − 7)³
u' = 2 × (8x) × (4x² + 1) v' = 3 × (3) × (3x − 7)²
= 16x(4x² + 1) = 9(3x − 7)²
② Appliquer (uv)' = u'v + uv' :
f'(x) = 16x(4x² + 1) · (3x − 7)³ + (4x² + 1)² · 9(3x − 7)²
③ Repérer ce qui est COMMUN aux deux termes :
(4x² + 1) apparaît des deux côtés → on le sort
(3x − 7)² apparaît des deux côtés → on le sort
(à gauche il y en a 3, à droite 2 : on sort la
plus petite puissance, donc 2)
f'(x) = (4x² + 1)(3x − 7)² [ 16x(3x − 7) + 9(4x² + 1) ]
④ Développer SEULEMENT le crochet :
16x(3x − 7) = 48x² − 112x
9(4x² + 1) = 36x² + 9
─────────────
84x² − 112x + 9
f'(x) = (4x² + 1)(3x − 7)²(84x² − 112x + 9)Contrôle numérique en x = 2 : la forme factorisée donne
17 × 1 × (336 − 224 + 9) = 17 × 121 = 2 057, et la forme
u'v + uv' donne 32 × 17 × (−1) + 289 × 9 × 1 = −544 + 2 601
= 2 057 ✔ Une seule valeur suffit à détecter presque toutes les erreurs.
Développée, cette dérivée est un polynôme de degré 6, avec sept termes. Factorisée, elle tient sur une ligne — et son signe se lit directement :
(4x² + 1): toujours > 0 (une somme de carrés plus 1) ;(3x − 7)²: toujours ⩾ 0, nul en x = 7/3 ;(84x² − 112x + 9): un trinôme, dont on étudie le signe par le discriminant.
Le signe de f' se ramène donc à celui d'un seul trinôme. Sous forme développée, cette lecture serait impossible. Factoriser n'est pas une coquetterie : c'est ce qui rend la question suivante faisable.
① u' = 16x(4x² + 1) est développé en
64x² + 16x. C'est faux : 16x × 4x² = 64x³, pas
64x². Multiplier deux x ajoute les exposants —
l'erreur fait perdre un degré. La forme correcte développée serait
64x³ + 16x — mais mieux vaut ne pas développer du tout.
② 9(3x − 7)² est développé en
81x² + 378x + 441, avec un plus au milieu. Or
(3x − 7)² = 9x² − 42x + 49, d'où 81x² − 378x + 441.
C'est la même identité remarquable que plus haut : (a − b)² donne
− 2ab.
③ La factorisation finale est notée
(4x² + 1)(3x − 7)[16x(3x − 7) + 9(4x² − 1)]. Deux coquilles :
(3x − 7) doit être au carré (c'est la puissance commune
aux deux termes), et le dernier facteur est 9(4x² + 1),
avec un plus — c'est u, et u = (4x²+1)² ne contient aucun
« −1 ». La forme juste est :
Les trois erreurs viennent d'une même cause : on a développé trop tôt. En restant factorisé jusqu'au bout, aucune des trois n'était possible.
| Situation | Que faire |
|---|---|
| Polynôme court (2 ou 3 termes) | Développer — c'est plus lisible, et ça permet le contrôle croisé |
| Produit de deux gros facteurs | Factoriser — sortir tout ce qui est commun |
| Quotient | Développer le numérateur, jamais le
dénominateur : il reste v² |
| Racine | Ne rien développer — au mieux factoriser le numérateur |
| La question suivante demande le signe | Factoriser, toujours |
09Vers les variations
Tout ce chapitre n'a qu'un but : alimenter le tableau de variations, étudié au chapitre 03. Voici le lien, en une page.
f'(x) < 0 ⟹ f décroissante — la flèche descend ╲
f'(x) = 0 ⟹ f constante, ou un extremum
Une remarque de la classe, très juste, qui fait gagner du temps :
| f est de degré… | f' est de degré… | Nombre de changements de sens |
|---|---|---|
| 1 (une droite) | 0 — une constante | aucun : monotone sur tout I |
| 2 (une parabole) | 1 — une droite | un : un seul extremum, le sommet |
| 3 (une courbe en S) | 2 — un trinôme | deux au plus : un max puis un min |
Conséquence pratique : pour un degré 2, on ne calcule pas de
discriminant — f' est une affine, on résout directement
f'(x) = 0. Le discriminant ne sert qu'à partir du degré 3, où f'
devient un trinôme.
① f'(x) = 4x + 3 ← une affine : pas de discriminant
② Signe de f' :
4x + 3 = 0 → 4x = −3 → x = −3/4
a = 4 > 0 pour f' : négative avant, positive après.
x │ −∞ −3/4 +∞
──────┼───────────────────────────────
f'(x) │ − 0 +
③ L'extremum :
f(−3/4) = 2 × 9/16 − 9/4 + 1
= 9/8 − 18/8 + 8/8
= −1/8
④ Tableau :
x │ −∞ −3/4 +∞
──────┼───────────────────────────────
f'(x) │ − 0 +
──────┼───────────────────────────────
f(x) │ +∞ ╲ −1/8 ╱ +∞
f admet un minimum égal à −1/8, atteint en x = −3/4.Contrôle : a = 2 > 0 pour f, donc la parabole ouvre
vers le haut et doit avoir un minimum ✔ ; le sommet est en
−b/2a = −3/4, l'abscisse trouvée ✔ ; et
f(0) = 1 > −1/8 ✔
Malgré l'annonce, celui-ci est de degré 2 — il illustre l'importance des bornes.
① f'(x) = 2x − 6
② Signe : 2x − 6 = 0 → x = 3, et 3 ∈ [0 ; 5] ✔
x │ 0 3 5
──────┼───────────────────────────────
f'(x) │ − 0 +
③ Les trois valeurs — bornes comprises :
f(0) = 0 − 0 + 10 = 10
f(3) = 9 − 18 + 10 = 1 ← le minimum
f(5) = 25 − 30 + 10 = 5
④ Tableau :
x │ 0 3 5
──────┼───────────────────────────────
f'(x) │ − 0 +
──────┼───────────────────────────────
f(x) │ 10 ╲ 1 ╱ 5Contrôle : sur un intervalle fermé, le tableau
commence et finit aux bornes, pas à ±∞ — et il faut calculer f(0) et
f(5), pas seulement f(3). Ici le maximum sur [0 ; 5] vaut
10, atteint au bord gauche : il n'apparaît nulle part dans le signe de f'.
10À l'examen
- Reconnaître la structure : somme ? produit ? quotient ? puissance ? racine ? C'est elle qui choisit la formule.
- Poser u, u', v, v' en quatre lignes séparées, avant tout calcul. Sur un quotient ou un produit, ces quatre lignes valent des points à elles seules.
- Écrire la formule telle quelle, puis y substituer.
- Simplifier intelligemment — développer si c'est court, factoriser si c'est long ou si le signe est demandé ensuite.
- Contrôler : le degré a-t-il baissé d'un cran ? Une valeur numérique concorde-t-elle ?
- Dériver un produit comme
u'v'— la formule estu'v + uv'. - Oublier le signe moins du quotient, ou intervertir les deux termes du numérateur.
- Oublier
u'dans(uⁿ)'et(√u)'— la dérivée de l'intérieur. - Écrire
f'(x) = −2xpourf(x) = −2x + 1: la dérivée d'une affine est une constante. - Perdre un exposant en développant :
16x × 4x² = 64x³, pas64x². - Se tromper d'identité remarquable :
(a − b)² = a² − 2ab + b², avec un moins. - Oublier les parenthèses autour d'un facteur :
(24x + 24)(…)³et non24x + 24(…)³.
Vérifier sur une valeur. Choisissez un x simple (0, 1 ou 2),
calculez f'(x) avec votre résultat, puis recalculez-le par un autre
chemin — en développant f d'abord, ou en revenant à u'v + uv' avant
factorisation. Si les deux nombres coïncident, le calcul est presque sûrement bon ;
s'ils diffèrent, l'erreur est quelque part entre les deux.
Et le contrôle gratuit, à faire systématiquement : dériver fait baisser le degré d'exactement un cran.