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Limites

Vers quoi une expression tend-elle quand x s'approche d'une valeur interdite, ou part vers l'infini ? Six cas se lisent directement — et quatre ne se lisent pas du tout.

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Résumé flash

Le code R.O.I. — Réel, zérO, Infini — donne le résultat de six quotients d'un coup d'œil. Le principe : diviser par quelque chose de très petit donne quelque chose de très grand, et inversement. Restent quatre formes indéterminées — 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞ — où le tableau ne dit rien : il faut transformer l'expression.

🔑 #limite #code-ROI #infini #zéro #forme-indéterminée #asymptote #valeur-interdite #comportement-aux-bornes

00État de ce chapitre

⚠️ Ce chapitre est incomplet — et voici exactement pourquoi

Après tri complet de l'année, une seule source concerne les limites : un document d'une page intitulé « Le Code R.O.I. des Limites », soit un tableau de six lignes. Aucun cours, aucun exercice, aucun devoir sur ce chapitre n'a été retrouvé — ni dans les cahiers, ni dans les photos de tableau, ni dans les sujets de DST.

Ce chapitre exploite donc tout ce qui existe, l'enrichit des mises en garde indispensables, et l'ancre dans les limites qui servent réellement dans les autres chapitres. Mais il ne couvre pas :

les limites de sommes et de produits — le tableau ne parle que de quotients ;
les méthodes de levée des formes indéterminées (factoriser par le terme de plus haut degré, quantité conjuguée, croissances comparées) ;
les limites des fonctions usuelles en +∞ et en −∞ ;
la définition rigoureuse, et la notion de limite à gauche / à droite au-delà de ce qui est dit au § 4.

Si le cours complet existe quelque part — un cahier, une photo, un PDF du professeur — il suffit de le déposer dans 03-mathematiques/05-limites/sources/ pour que ce chapitre soit repris en entier.

01L'idée d'une limite

Une limite répond à une question de tendance, pas de valeur : « quand x s'approche de quelque chose, vers quoi f(x) s'approche-t-il ? » Deux situations la rendent nécessaire.

Situation	Question	Exemple du cours
Une valeur interdite	que se passe-t-il tout près du point où la fonction n'existe pas ?	`(x+4)/(x−12)` près de x = 12 (chapitre 03)
L'infini	que devient f(x) quand x devient très grand ?	`25 000 − 20 000 × 0,8ⁿ` quand n grandit (chapitre 06)

🔗 Partager un gâteau

Un gâteau (un réel) partagé entre de plus en plus de convives : la part de chacun devient minuscule. R / ∞ → 0.

Le même gâteau partagé entre de moins en moins de monde : la part devient énorme. R / 0 → ∞.

Tout le code R.O.I. tient dans cette intuition : diviser par très petit agrandit, diviser par très grand réduit.

02Le code R.O.I.

C'est le seul document du chapitre. Un moyen mnémotechnique en trois lettres, où chaque lettre désigne une nature :

🧰 Les trois lettres

Lettre	Signifie	C'est-à-dire
R	Réel	un nombre ordinaire, non nul
O	zérO	la valeur 0, ou une quantité qui tend vers 0
I	Infini	+∞ ou −∞

Le code se lit dans l'ordre : numérateur · dénominateur · résultat.

🧰 Le tableau, tel qu'il figure dans le document

Code	Traduction mathématique	Résultat	Comment le lire
IRI	`∞ / R`	`∞`	un très grand divisé par un nombre ordinaire reste très grand
ORO	`0 / R`	`0`	zéro partagé, ça reste zéro
ROI	`R / 0`	`∞`	diviser par presque rien donne presque l'infini
RIO	`R / ∞`	`0`	partager entre une infinité, chacun n'a rien
IOI	`∞ / 0`	`∞`	très grand divisé par presque rien : encore plus grand
OIO	`0 / ∞`	`0`	presque rien partagé entre une infinité : rien

💡 Pourquoi ce code est bien construit

La première lettre est le numérateur, la deuxième le dénominateur, la troisième le résultat. Les six codes ne sont donc pas à apprendre par cœur : il suffit de lire les deux premières lettres et de raisonner. Le mot « ROI » se retient tout seul, et les cinq autres se déduisent du même principe.

Remarquez la symétrie : les trois codes finissant par I ont un dénominateur petit ou un numérateur immense ; les trois finissant par O ont un dénominateur immense ou un numérateur nul.

03Lire le tableau

⚠️ Dans R.O.I., le R est un réel non nul

Le document ne le précise pas, et c'est la précision la plus importante du chapitre. Les trois codes qui contiennent un R au numérateur ou au dénominateur — IRI, ORO, ROI — supposent tous R ≠ 0.

Si R valait 0, on retomberait sur 0/0, ∞/0 lu autrement, ou 0/0 — c'est-à-dire sur les formes indéterminées du § 5, où le tableau ne donne aucune réponse.

calcul

ORO :  0 / R  →  0     mais seulement si R ≠ 0

  lim (x → 0)  x / 3    = 0 / 3 = 0        ← ORO, R = 3 ≠ 0  ✔

  lim (x → 0)  x / x    = 0 / 0            ← FORME INDÉTERMINÉE
                        Or x/x = 1 pour tout x ≠ 0, donc la limite vaut 1.
                        Le tableau ne pouvait pas le dire.

Un seul dessin pour deux codes. En s'approchant de 0, le dénominateur devient minuscule et la courbe s'envole — ROI. En partant vers la droite, le dénominateur devient immense et la courbe s'écrase sur l'axe — RIO.

04Le signe de l'infini

⚠️ « ∞ » ne dit pas de quel côté

Dans le tableau, ROI et IOI donnent « ∞ ». Mais est-ce +∞ ou −∞ ? Le code ne le dit pas — et sur une copie, il faut le préciser.

Pour R / 0, la réponse dépend de deux choses : le signe du réel R, et le côté par lequel le dénominateur s'approche de 0.

calcul

f(x) = 1/x   près de 0 :

  x → 0⁺  (par la droite, x > 0)   le dénominateur est petit et POSITIF
          1/0,001 = 1 000  ·  1/0,000 001 = 1 000 000
          lim = +∞

  x → 0⁻  (par la gauche, x < 0)   le dénominateur est petit et NÉGATIF
          1/(−0,001) = −1 000  ·  1/(−0,000 001) = −1 000 000
          lim = −∞

Les deux limites sont DIFFÉRENTES : la courbe s'envole vers le haut
d'un côté, plonge vers le bas de l'autre. Le dessin du § 3 le montre.

📐 Déterminer le signe en pratique

Repérer la valeur interdite — celle qui annule le dénominateur.
Étudier le signe du dénominateur de part et d'autre, avec un tableau de signe du chapitre 03.
Combiner avec le signe du numérateur, par la règle des signes.
Annoncer deux limites : à gauche et à droite.

calcul

f(x) = (x + 4) / (x − 12)      près de x = 12

Numérateur en 12 :  12 + 4 = 16  →  positif, et non nul  ✔ (c'est le R)

Dénominateur :  x − 12 est NÉGATIF pour x < 12
                x − 12 est POSITIF pour x > 12

  x → 12⁻ :  16 / (petit négatif)  →  −∞
  x → 12⁺ :  16 / (petit positif)  →  +∞

La droite d'équation x = 12 est une asymptote verticale.

Contrôle numérique : f(11,9) = 15,9/(−0,1) = −159 et f(12,1) = 16,1/0,1 = 161 ✔ Les deux signes sont bien opposés, et les valeurs déjà très grandes.

💡 Quand la valeur interdite est hors de l'intervalle

Au chapitre 03, cette même fonction est étudiée sur [−10 ; 10] — et 12 n'y est pas. Il n'y a donc aucune limite à calculer, aucune asymptote à tracer : la fonction est parfaitement continue sur tout l'intervalle.

Toujours comparer la valeur interdite aux bornes avant de se lancer.

05Les formes indéterminées

Le tableau R.O.I. couvre six cas. Il en existe quatre autres où il ne dit rien — et ce sont précisément ceux qui tombent en devoir.

🧰 Les quatre formes indéterminées

0 / 0 · ∞ / ∞ · 0 × ∞ · ∞ − ∞

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la forme ne suffit pas à conclure. Il faut transformer l'expression pour faire disparaître le conflit.

⚠️ Une même forme peut donner n'importe quoi

C'est ce qui rend ces cas indéterminés : trois quotients de la forme 0/0, trois résultats différents.

calcul

Quand x → 0 :

   x  / x     →  0/0      mais x/x = 1        →  limite 1
   x² / x     →  0/0      mais x²/x = x       →  limite 0
   x  / x²    →  0/0      mais x/x² = 1/x     →  limite ∞

Trois fois la même « forme », trois réponses différentes.
Le tableau R.O.I. ne pouvait donc pas trancher.

📐 Le réflexe : simplifier avant de conclure

Dans les trois exemples ci-dessus, la simplification résout l'indétermination. C'est le geste de base : si la forme est indéterminée, c'est que l'écriture est mal choisie — on factorise, on simplifie, on réécrit, puis on relit le tableau.

Les techniques complètes (factorisation par le terme de plus haut degré, quantité conjuguée, croissances comparées) ne figurent pas dans les documents disponibles — voir l'état du chapitre.

06Les limites des autres chapitres

Ce chapitre n'a pas d'exercices d'origine. En revanche, les autres chapitres utilisent des limites — les voici rassemblées, avec le code R.O.I. qui les justifie quand il s'applique.

Limite	Vaut	Où elle sert	Pourquoi
`0,8ⁿ` quand n → +∞	0	ch. 06 — abonnés d'une revue	une puissance de base strictement entre 0 et 1 s'écrase
`e^{−λt}` quand t → +∞ (λ > 0)	0	ch. 09 — fiabilité R(t)	même phénomène : `e^{−λt} = 1/e^{λt}`, soit RIO
`100/(1 + 9e^{αt})`, α < 0	100	ch. 06 — modèle logistique	le dénominateur tend vers 1, donc `100/1`
`25 000 − 20 000 × 0,8ⁿ`	25 000	ch. 06 — le plafond du modèle	le terme soustrait tend vers 0
densité de la loi normale, x → ±∞	0	ch. 10 — les queues	la cloche s'approche de l'axe sans le toucher
`(x+4)/(x−12)`, x → 12	±∞	ch. 03 — asymptote	ROI : `16/0`, signe selon le côté

💡 Une constante qui revient : « tend vers 0 sans jamais l'atteindre »

Quatre des six lignes disent la même chose. C'est le comportement de toute décroissance exponentielle : elle devient indétectable sans jamais s'annuler.

En CIEL, c'est exactement la décharge d'un condensateur : u(t) = U e^{−t/RC} ne vaut jamais zéro, mais après 5 constantes de temps il reste moins de 1 % de la tension initiale — et on considère le condensateur déchargé. La limite mathématique dit « 0 à l'infini » ; l'ingénieur dit « 0 au bout de 5 RC ».

07Lire une asymptote

Une limite se lit sur un dessin : c'est une asymptote, une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.

Type	Se produit quand	Équation	Exemple
Asymptote verticale	la limite est infinie en une valeur finie	`x = a`	`x = 12` pour `(x+4)/(x−12)`
Asymptote horizontale	la limite est finie quand x → ±∞	`y = L`	`y = 25 000` pour les abonnés · `y = 0` pour `1/x`

🔗 Deux façons de ne jamais arriver

L'asymptote verticale est un mur : la courbe monte le long sans jamais le franchir. L'asymptote horizontale est un plafond : la courbe s'en approche par en dessous, indéfiniment, sans le toucher.

Dans les deux cas, le mot-clé est jamais — et c'est ce qui distingue une limite d'une valeur : la fonction ne prend pas la valeur limite, elle s'en approche.

🤔 Quelle asymptote pour aₙ = 25 000 − 20 000 × 0,8ⁿ ?

calcul

Quand n → +∞ :

  0 < 0,8 < 1,  donc  0,8ⁿ → 0
  donc  20 000 × 0,8ⁿ → 0
  donc  aₙ → 25 000 − 0 = 25 000

C'est une asymptote HORIZONTALE d'équation  y = 25 000.

Contrôle :  a₂₀ ≈ 24 769   ·   a₅₀ ≈ 25 000 (à 0,29 près)
            la suite monte vers 25 000 sans l'atteindre  ✔

Interprétation concrète : la revue plafonne à 25 000 abonnés. Le modèle ne prévoit pas qu'elle les atteigne — seulement qu'elle s'en approche autant qu'on veut. C'est souvent la question finale d'un exercice de modélisation : « comment s'interprètent les résultats observés ? »