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La loi normale

La loi des mesures. Dès qu'une grandeur est le résultat d'une foule de petites causes indépendantes — une machine qui remplit, un corps qui pousse, un capteur qui bruite — elle se range d'elle-même en cloche autour de sa moyenne.

📌

Résumé flash

Une loi normale s'écrit X ↝ N(μ ; σ) : μ est la moyenne, σ l'écart-type. Sa densité est une gaussienne, une cloche symétrique autour de x = μ dont l'aire totale vaut 1. Tout le chapitre tient dans trois nombres à savoir par cœur : P(μ−σ ⩽ X ⩽ μ+σ) = 0,68, P(μ−2σ ⩽ X ⩽ μ+2σ) = 0,95, P(μ−3σ ⩽ X ⩽ μ+3σ) = 0,997. À partir de là, la symétrie et la complémentarité donnent tout le reste — sans calculatrice.

🔑 #loi-normale #gaussienne #N(μ;σ) #espérance #écart-type #symétrie #intervalle-de-fluctuation #68-95-99,7 #complémentarité #NormalFRép #NormCD #10^99

01D'où vient la cloche

Au chapitre 08, X comptait : 0, 1, 2… 40 sacs défectueux. Au chapitre 09, X mesurait une durée, et la probabilité est devenue une aire sous une courbe de densité. Ce chapitre-ci est le troisième étage : la variable mesure toujours, mais la densité prend une forme très particulière — et cette forme se retrouve absolument partout.

Le cours part d'un verger. On récolte un très grand nombre de pommes, de la même variété, de la même maturité, dans les mêmes conditions de culture. En moyenne, ces pommes ont un diamètre de 8 cm. On les trie par diamètre et on empile les bâtons d'un histogramme.

Ce n'est pas une coïncidence : quand une mesure résulte d'un grand nombre de petites causes indépendantes, elle se range toujours ainsi. C'est le théorème central limite — hors programme, mais c'est lui qui explique pourquoi la loi normale est partout.

💡 Pourquoi « normale » ?

Pas au sens de « correcte ». Au sens de « la norme », le cas ordinaire : c'est la loi qu'on rencontre normalement. On l'appelle aussi loi de Gauss, ou loi de Laplace-Gauss — et la courbe, une gaussienne. En anglais, on parle volontiers de bell curve.

Quelques mesures qui la suivent : la taille des adultes d'un même sexe, le poids réel des paquets sortis d'une même machine, le bruit thermique d'un composant, l'erreur d'un capteur, le taux d'hématocrite dans le sang. Dans un BTS CIEL, elle sert surtout à un usage : le contrôle qualité — quelle proportion de la production sort de la tolérance ?

02Définition : N(μ ; σ)

Une loi normale a deux paramètres, et deux seulement :

Paramètre	Nom	Rôle	Notation
μ	moyenne, ou espérance	où la cloche est centrée	`μ = E(X)` — lire « mu », parfois noté `m`
σ	écart-type	si la cloche est large ou serrée	`σ = σ(X)` — lire « sigma »

On écrit alors X ↝ N(μ ; σ) — « X suit la loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ ». Pour les pommes du verger, le cours conclut :

X ↝ N(8 ; 2)
moyenne μ = 8 cm · écart-type σ = 2 cm

🧰 La densité — à connaître, pas à utiliser

La formule de la courbe figure au tableau :

f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^{−½ ((x − μ)/σ)²}

On ne s'en sert jamais pour calculer : elle n'a pas de primitive exprimable, donc aucune intégrale ne se calcule à la main. Elle est là pour montrer d'où vient la cloche — et pour qu'on reconnaisse les deux paramètres à l'intérieur. Tous les calculs passent par les intervalles de fluctuation (§ 4) ou par la calculatrice (§ 7).

⚠️ N(μ ; σ) ou N(μ ; σ²) ?

Les deux notations existent dans la nature. Au lycée et en BTS français, le second paramètre est l'écart-type σ : N(8 ; 2) signifie σ = 2. Dans la littérature anglo-saxonne et en statistiques supérieures, on écrit N(8 ; 4) pour la même loi, le second paramètre étant la variance σ².

Le réflexe qui tranche : lisez l'énoncé, il l'écrit toujours en toutes lettres — « d'espérance 40 et d'écart-type 4 ». Et à l'examen, c'est toujours l'écart-type.

🔗 μ déplace, σ étale

Imaginez une tente de camping vue de face. μ décide où on plante la tente sur le terrain — la déplacer ne change pas sa forme. σ décide de l'écartement des sardines : serrées, la tente est haute et pointue ; écartées, elle s'aplatit et s'élargit. Dans les deux cas la toile a la même surface — l'aire sous la courbe vaut toujours 1.

Concrètement : un σ petit = une machine régulière, une production homogène. Un σ grand = une machine qui part dans tous les sens. C'est exactement ce qu'un contrôle qualité cherche à mesurer.

03Les deux propriétés graphiques

Le cours les encadre en rouge, parce que tout le reste en découle.

🧰 À savoir par cœur

La courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical x = μ.
L'aire totale sous la courbe vaut 1.

La première conséquence tombe immédiatement : si la courbe est symétrique autour de μ et que l'aire totale vaut 1, alors chaque moitié vaut 0,5.

P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5

Pour les pommes : P(X < 8) = 0,5. La moitié des pommes fait moins de 8 cm — ce qui est la définition même de la moyenne quand la distribution est symétrique. Aucun calcul, aucune calculatrice : la question 4 du cours se répond en une ligne.

⚠️ P(X = k) = 0, donc « < » et « ⩽ » sont interchangeables

La loi normale est continue : la probabilité d'une valeur isolée est nulle. Une bouteille ne contient jamais exactement 1,000 000 0 L.

P(X = k) = 0 ⟹ P(X ⩽ k) = P(X < k) et P(X ⩾ k) = P(X > k)

C'est la différence majeure avec la loi binomiale, où P(X ⩾ 3) et P(X > 3) ne sont pas du tout la même chose — il fallait glisser d'un cran. Ici, plus jamais. Le piège est de continuer par habitude à décaler.

🤔 Sans rien calculer : Y ↝ N(450 ; 15). Que vaut P(Y < 450) ?

0,5. 450 est la moyenne, donc l'axe de symétrie. Il n'y a rien à calculer, et surtout rien à taper sur une calculatrice. Beaucoup d'élèves perdent deux minutes à saisir des bornes pour retrouver 0,5.

04Les intervalles de fluctuation

Voici le cœur du chapitre. Trois résultats, trois nombres. Ils sont vrais pour n'importe quelle loi normale, quels que soient μ et σ.

🧰 Les trois intervalles — à savoir par cœur

P(μ − σ ⩽ X ⩽ μ + σ) = 0,68 à 10⁻²
P(μ − 2σ ⩽ X ⩽ μ + 2σ) = 0,95 à 10⁻²
P(μ − 3σ ⩽ X ⩽ μ + 3σ) = 0,997 à 10⁻³

On les appelle règle des 68 – 95 – 99,7. Le cours note aussi la formulation par appartenance : μ − σ ⩽ x ⩽ μ + σ s'écrit x ∈ [μ − σ ; μ + σ].

Le même dessin, trois fois, avec une zone de plus en plus large. Les trois nombres ne dépendent ni de μ ni de σ : c'est ce qui les rend si puissants.

🔗 Retenir 68 – 95 – 99,7

Trois images, de la plus courante à la plus rare :

1σ → 0,68 — « les deux tiers » : c'est le gros de la troupe.
2σ → 0,95 — « les 19 sur 20 » : c'est la norme du contrôle qualité, et c'est celui qui tombe le plus souvent à l'examen.
3σ → 0,997 — « tout le monde sauf 3 pour mille » : au-delà de 3σ, un événement devient sérieusement suspect.

Un moyen mnémotechnique qui marche : 68, puis on ajoute 27 (→ 95), puis on ajoute 4,7 (→ 99,7). Chaque « anneau » supplémentaire rapporte de moins en moins.

05Calculer sans calculatrice

Les énoncés de BTS demandent très souvent une probabilité « sans calculatrice ». Ce n'est pas une brimade : c'est le contrôle qu'on a compris la structure de la loi. Deux outils suffisent, et ils reviennent dans chaque exercice.

📐 Outil 1 — la complémentarité

L'aire totale vaut 1. Donc le contraire d'un événement, c'est « 1 moins ».

P(X > a) = 1 − P(X ⩽ a) · P(a < X < b) = 1 − P(X < a) − P(X > b)

📐 Outil 2 — la symétrie

Un intervalle de fluctuation laisse deux queues hors de lui, et la symétrie impose qu'elles soient égales. Chacune vaut donc la moitié de ce qui reste :

P(X < μ − kσ) = P(X > μ + kσ) = (1 − p) / 2

où p est 0,68, 0,95 ou 0,997 selon l'intervalle. Les trois valeurs de queue à connaître :

Intervalle	Aire dedans	Ce qui reste	Une queue
1σ	0,68	0,32	0,16
2σ	0,95	0,05	0,025
3σ	0,997	0,003	0,001 5

C'est tout le raisonnement « sans calculatrice » : on place l'intervalle connu, et ce qui dépasse se partage en deux parts égales.

06Le fil rouge : les pommes du verger

Reprenons X ↝ N(8 ; 2) — le diamètre d'une pomme, en centimètres. Le cours enchaîne cinq questions. Chacune illustre un mécanisme différent. Il faut savoir les refaire toutes les cinq, de tête.

① Probabilité qu'une pomme mesure entre 4 et 12 cm ?

calcul

Les bornes 4 et 12 ne sont pas là par hasard : on les teste.

μ − 2σ = 8 − 2 × 2 = 4
μ + 2σ = 8 + 2 × 2 = 12          ← c'est exactement l'intervalle à 2σ

Selon l'intervalle à 2σ :
P(4 ⩽ X ⩽ 12) = 0,95   à 10⁻²

Le réflexe qui déclenche tout : devant des bornes, on calcule μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ et on regarde si ça tombe juste. Si oui — et à l'examen ça tombe juste — la réponse est immédiate.

② Probabilité qu'une pomme ait un diamètre inférieur à 4 cm ?

calcul

4 = μ − 2σ : c'est la borne gauche de l'intervalle précédent.
Il reste 1 − 0,95 = 0,05 à répartir de part et d'autre.
Par complémentarité et par symétrie, les deux queues sont égales :

P(X < 4) = (1 − 0,95) / 2
         = 0,05 / 2
P(X < 4) = 0,025

Une pomme sur 40 environ. Remarquez qu'on n'a pas eu besoin de savoir ce que valait P(X < 4) « en vrai » : la symétrie a fait tout le travail.

③ Probabilité qu'une pomme ait un diamètre supérieur à 10 cm ?

calcul

10 = 8 + 2 = μ + σ          ← cette fois c'est l'intervalle à 1σ

P(6 ⩽ X ⩽ 10) = 0,68
il reste 1 − 0,68 = 0,32, à partager en deux queues égales

P(X > 10) = (1 − 0,68) / 2
          = 0,32 / 2
P(X > 10) = 0,16

16 % des pommes dépassent 10 cm. Même mécanisme que la question ②, mais sur l'autre intervalle et de l'autre côté — c'est bien la même méthode.

④ Probabilité qu'une pomme ait un diamètre inférieur à 8 cm ?

calcul

8 = μ. C'est l'axe de symétrie.

P(X < 8) = 0,5

Question piège : elle ressemble aux précédentes, mais il n'y a rien à calculer. La moitié gauche de la cloche, c'est une demi-aire.

⑤ Probabilité qu'une pomme mesure entre 6 et 12 cm, sans calculatrice ?

Ici les deux bornes n'appartiennent pas au même intervalle : 6 = μ − σ, mais 12 = μ + 2σ. Impossible de lire la réponse directement. On passe par le complémentaire : ce qui n'est pas entre 6 et 12, c'est « en dessous de 6 » ou « au-dessus de 12 », deux morceaux qu'on sait calculer.

calcul

P(X < 6)  = (1 − 0,68) / 2 = 0,16      ← 6 = μ − σ
P(X > 12) = (1 − 0,95) / 2 = 0,025     ← 12 = μ + 2σ

Par complémentarité :
P(6 < X < 12) = 1 − P(X < 6) − P(X > 12)
              = 1 − 0,16 − 0,025
              = 0,815     à 10⁻³

Trois contrôles : le résultat est entre 0 et 1 ✔ ; l'intervalle [6 ; 12] contient la moyenne et couvre presque tout le corps de la cloche, donc une valeur proche de 0,8 est plausible ✔ ; il est logiquement plus grand que 0,68 (l'intervalle à 1σ) et plus petit que 0,95 (l'intervalle à 2σ), car [6 ; 12] contient le premier et est contenu dans le second ✔

💡 L'encadrement, ce contrôle gratuit

Le dernier contrôle vaut d'être systématisé. [6 ; 12] ⊃ [6 ; 10] et [6 ; 12] ⊂ [4 ; 12], donc forcément :

0,68 < P(6 < X < 12) < 0,95

0,815 y est. Si vous aviez trouvé 0,34 ou 1,12, l'encadrement l'aurait dit tout de suite — sans refaire un seul calcul. À l'examen, dix secondes bien investies.

07La calculatrice

Quand les bornes ne tombent pas sur μ ± kσ, la méthode précédente ne s'applique plus. La calculatrice calcule alors directement P(borne inf ⩽ X ⩽ borne sup) — et elle le fait pour n'importe quelles bornes.

🧰 Les quatre valeurs à saisir

Machine	Fonction	Ordre des champs
TI (TI-82, TI-83)	`normalFRép` / `normalcdf` 2nde → distrib → 2 : normalFRép	`Low` (borne inf) → `Up` (borne sup) → `μ` → `σ`
Casio (Graph 35/90)	`NormCD` MENU Statistiques → DIST → NORM → Ncd	`Lower` → `Upper` → `σ` → `μ`

⚠️ Casio inverse μ et σ — le piège n° 1 du chapitre

Le tableau du cours porte un gros point d'exclamation sur cette ligne, et pour cause : sur TI c'est μ puis σ, sur Casio c'est σ puis μ. Intervertir les deux ne provoque aucun message d'erreur — la machine rend tranquillement un nombre faux.

Le contrôle qui sauve : la réponse doit être cohérente avec la cloche. Pour X ↝ N(8 ; 2), si vous demandez P(6 < X < 12) et que la machine affiche 0,02, c'est que μ et σ sont inversés : [6 ; 12] encadre la moyenne, la réponse ne peut pas être minuscule.

📐 L'infini se tape 10^99

Une calculatrice n'a pas de touche « ∞ ». Les énoncés, eux, demandent en permanence P(X > a) ou P(X < b), c'est-à-dire un intervalle dont une borne est infinie. La convention du cours :

On cherche	Équivaut à	Low	Up
`P(X > a)`	`X ∈ [a ; +∞[`	`a`	`10^99`
`P(X < b)`	`X ∈ ]−∞ ; b]`	`−10^99`	`b`
`P(a < X < b)`	`X ∈ [a ; b]`	`a`	`b`

10⁹⁹ n'est pas l'infini, mais il est si loin au-delà de la cloche que la différence est indétectable. Sur TI, la touche est EE : on tape 1 EE 99. Certains manuels utilisent 10⁹ ou 10¹² — ça marche tout aussi bien, tant que la borne dépasse largement μ + 10σ.

🤔 X ↝ N(8 ; 2). Régler la machine pour P(X > 10), puis pour P(6 < X < 12).

méthode — sur TI

P(X > 10)                        P(6 < X < 12)
  Low : 10                         Low : 6
  Up  : 10^99                      Up  : 12
  μ   : 8                          μ   : 8
  σ   : 2                          σ   : 2

  → 0,158 655   à 10⁻⁶             → 0,818 6   à 10⁻⁴

Comparez avec les réponses « sans calculatrice » du § 6 : 0,16 et 0,815. Les écarts sont minuscules mais réels — c'est précisément l'objet de la section suivante.

🔧 Corrigé — un écart-type ne peut pas valoir 0

Sur la photo du tableau, l'un des réglages de P(X > 10) porte σ = 0 au lieu de σ = 2 — un lapsus de feutre : le résultat affiché juste en dessous, 0,158 655, ne peut être obtenu qu'avec σ = 2. Le réglage correct est μ = 8, σ = 2.

C'est l'occasion de noter la règle : σ > 0 toujours. Un écart-type nul décrirait une machine parfaite, produisant à l'atome près la même valeur — la cloche se réduirait à un trait vertical, et aucune calculatrice ne saurait quoi en faire. La plupart affichent d'ailleurs une erreur de domaine.

08Pourquoi 0,16 ≠ 0,158 7

Le cours le signale explicitement au tableau : « légèrement différent de notre résultat car la calculatrice prend des valeurs plus précises que 0,68 et 0,95 ». Il vaut la peine de comprendre exactement d'où vient l'écart, parce que la question tombe à l'oral.

Les trois nombres célèbres sont des arrondis. Les valeurs exactes sont :

Intervalle	Valeur du cours	Valeur exacte	Écart
1σ	0,68	0,682 689…	+0,002 7
2σ	0,95	0,954 500…	+0,004 5
3σ	0,997	0,997 300…	+0,000 3

Un écart de quelques millièmes sur l'intervalle se répercute — divisé par deux — sur chaque queue. D'où, pour les pommes :

calcul

P(X > 10)     « à la main » (1 − 0,68)/2      = 0,16
              exact                            = 0,158 655        écart : 0,001 3

P(X < 4)      « à la main » (1 − 0,95)/2      = 0,025
              exact                            = 0,022 75         écart : 0,002 3

P(6 < X < 12) « à la main » 1 − 0,16 − 0,025  = 0,815
              exact                            = 0,818 6          écart : 0,003 6

⚠️ Lequel écrire sur la copie ?

Celui que l'énoncé demande. Lisez la consigne, elle le dit toujours :

« sans calculatrice », « arrondir au centième », « à 10⁻² » → méthode des intervalles, on répond 0,16 et le correcteur l'attend.
« arrondir à 10⁻⁴ », « à 0,01 % près », « au millième » → calculatrice obligatoire, on répond 0,158 7.

Répondre 0,158 655 à une question « au centième » n'est pas faux, mais répondre 0,16 à une question « à 10⁻⁴ » l'est. Le niveau de précision demandé est la consigne de méthode.

💡 Pourquoi la machine sait, et pas nous

La densité gaussienne n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. Aucune formule ne donne l'aire exacte : ni à la main, ni à la calculatrice. La machine ne « calcule » donc pas l'intégrale — elle l'approche numériquement, avec une dizaine de chiffres significatifs. Avant les calculatrices graphiques, on lisait ces valeurs dans une table de la loi normale centrée réduite : deux pages de nombres à quatre décimales, qu'il fallait apprendre à interpoler.

09Traduire un énoncé

L'erreur la plus fréquente n'est pas mathématique : c'est une erreur de lecture. Voici le dictionnaire.

L'énoncé dit…	On écrit	Réglage machine
« inférieur à a », « moins de a »	`P(X < a)`	Low = −10^99, Up = a
« supérieur à a », « plus de a », « dépasse a »	`P(X > a)`	Low = a, Up = 10^99
« au moins a »	`P(X ⩾ a)` = `P(X > a)`	Low = a, Up = 10^99
« au plus a », « ne dépasse pas a »	`P(X ⩽ a)` = `P(X < a)`	Low = −10^99, Up = a
« compris entre a et b »	`P(a < X < b)`	Low = a, Up = b
« supérieur à a sans dépasser b »	`P(a < X ⩽ b)`	Low = a, Up = b
« exactement a »	`P(X = a) = 0`	— aucun calcul —

📐 La méthode en quatre temps

Identifier μ et σ dans l'énoncé, et écrire X ↝ N(μ ; σ). L'énoncé les donne toujours en toutes lettres.
Traduire la question en une probabilité, avec le tableau ci-dessus.
Tester les bornes : calculer μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ. Si une borne y tombe, la méthode « à la main » s'applique — et l'énoncé demandera un arrondi au centième.
Conclure par une phrase, en revenant au contexte : « environ 16 % des batteries dépassent 44 minutes ». Un résultat nu ne vaut jamais tous les points.

⚠️ Un schéma, toujours

Sur toutes les photos du tableau, le professeur dessine la cloche avant de calculer, et il hachure la zone cherchée. Ce n'est pas décoratif : c'est ce qui évite de confondre une queue avec son complémentaire, ou de soustraire 0,68 quand il fallait soustraire 0,16. Trente secondes de croquis, et la moitié des erreurs disparaît.

🤔 X ↝ N(1 ; 0,02) : « est-il probable que la bouteille contienne plus de 1,1 L ? »

calcul

Où se situe 1,1 par rapport à la cloche ?

μ + 3σ = 1 + 3 × 0,02 = 1,06

1,1 > 1,06 : la valeur est au-delà de 3σ.
Or  P(X > μ + 3σ) = (1 − 0,997) / 2 = 0,001 5

Donc P(X > 1,1) < 0,001 5 : non, ce n'est pas probable.
(Avec la calculatrice : P(X > 1,1) = 2,9 × 10⁻⁷, soit 0,000 000 29.)

Une question « est-il probable… ? » ne réclame pas toujours un nombre exact : situer la valeur par rapport à 3σ suffit à conclure, et c'est un raisonnement qui rapporte des points. Environ trois chances sur dix millions ici — autant dire jamais.

10Le problème inverse : trouver un seuil

Jusqu'ici on partait d'une borne pour trouver une probabilité. Les énoncés de BTS retournent régulièrement la question : on impose une probabilité, quelle borne faut-il prendre ? C'est le problème du stock de sécurité, du seuil de garantie, de la tolérance.

🧰 L'exemple du cours — PNEUTOP, Métropole 2019

Le nombre de pneus 4 saisons vendus par mois suit Y ↝ N(450 ; 15). Combien de pneus faut-il avoir en stock en début de mois pour que la probabilité d'être en rupture en cours de mois soit inférieure à 0,05 ?

calcul

« être en rupture » = la demande dépasse le stock n, soit Y > n.
On cherche donc n tel que  P(Y > n) < 0,05.

Or 0,05, c'est exactement ce qui reste hors de l'intervalle à 2σ :

μ − 2σ = 450 − 2 × 15 = 420
μ + 2σ = 450 + 2 × 15 = 480      →  P(420 < Y < 480) = 0,95

Par complémentarité et par symétrie :
P(Y ⩾ 480) = (1 − 0,95) / 2
P(Y ⩾ 480) = 0,025               ← bien inférieur à 0,05

donc  n = 480 convient.

🔧 Corrigé — 480 convient, mais ce n'est pas la plus petite valeur

L'énoncé demande précisément « la plus petite valeur de n remplissant cette condition ». Or la méthode des 2σ ne cherche pas le minimum : elle trouve le premier seuil commode, celui qui tombe pile sur un intervalle connu. Comme 0,025 est deux fois plus petit que le 0,05 demandé, on a pris beaucoup trop de marge.

calcul — à la calculatrice

P(Y > 474) = 0,054 8      > 0,05   ✗ insuffisant
P(Y > 475) = 0,047 8      < 0,05   ✔ convient

La plus petite valeur entière est donc n = 475.

La réponse à la question posée est 475. L'énoncé demande la plus petite valeur ; 480 remplit la condition mais n'est pas minimal, donc il ne répond pas à la question. Le sujet ajoute d'ailleurs « expliquer la démarche, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte » : c'est le signe d'une question où l'on attend un tâtonnement à la calculatrice, pas une formule toute faite.

Le corrigé du tableau s'arrête à 480 : la méthode des 2σ trouve un seuil commode, pas le plus petit. Écrivez 475, et montrez l'encadrement — P(Y > 474) = 0,054 8 et P(Y > 475) = 0,047 8. Un encadrement écrit vaut mieux qu'une réponse nue, quel que soit le barème.

📐 Reconnaître un problème inverse

Trois signaux : l'énoncé contient une probabilité imposée (0,05, 0,01, 95 %), il demande une valeur (un stock, une durée, une masse), et il emploie « déterminer la plus petite / la plus grande valeur de… ».

La démarche : traduire la condition en P(X > n) < p ou P(X < n) < p, regarder si p vaut 0,16, 0,025 ou 0,001 5 — auquel cas la borne est un μ ± kσ — sinon tâtonner à la calculatrice en encadrant, comme ci-dessus.

11À l'examen

Le chapitre est un fournisseur régulier de sujets. Trois formats reviennent.

🧰 Les trois formats de question

Format	Indice dans l'énoncé	Ce qu'on attend
Direct, sans calculatrice	« sans calculatrice », « au centième », bornes en `μ ± kσ`	Le calcul de `μ ± kσ`, la citation de l'intervalle, complémentarité et symétrie
Direct, à la calculatrice	« à 10⁻⁴ », « à 0,01 % près », bornes quelconques	Les quatre réglages écrits sur la copie, puis le résultat et la phrase de conclusion
Inverse	« la plus petite valeur de n telle que… »	La traduction en inéquation, puis un encadrement par essais

⚠️ Les six erreurs qui coûtent des points

Confondre N(μ ; σ) et N(μ ; σ²) — relire « d'écart-type… » dans l'énoncé.
Inverser μ et σ sur Casio — l'ordre y est σ puis μ.
Oublier de diviser par 2 — une queue vaut (1 − p)/2, pas 1 − p.
Glisser d'un cran comme en binomiale — en continu, ⩽ et < sont identiques.
Répondre un nombre nu — la phrase de conclusion dans le contexte fait partie du barème.
Utiliser la calculatrice quand l'énoncé l'interdit — la démarche par intervalles est ce qui est noté, pas le résultat.

💡 Le lien avec la loi binomiale

Le tableau du cours porte, juste à côté de la loi normale, une révision de la loi binomiale (Métropole 2015, B(40 ; 0,049 4)). Ce voisinage n'est pas fortuit : un sujet de BTS enchaîne très souvent une Partie B — loi binomiale et une Partie C — loi normale sur le même contexte industriel.

La frontière est simple : on compte des objets défectueux → binomiale ; on mesure une grandeur (masse, durée, diamètre, taux) → normale. Et l'histogramme d'une binomiale B(n ; p) avec un n assez grand ressemble déjà à une cloche — c'est ce qui a historiquement fait découvrir la loi normale.

📐 Le réflexe de sortie

Avant de rendre, trois vérifications de dix secondes chacune :

Toutes mes probabilités sont-elles entre 0 et 1 ?
Une probabilité autour de la moyenne est-elle grande, une probabilité de queue petite ? (sinon, μ et σ sont inversés)
Ai-je encadré mes résultats par les valeurs connues 0,5, 0,68, 0,95, 0,997 ?