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Variables aléatoires & loi binomiale

On ne demande plus « quelle est la probabilité de cet événement ? » mais « combien de fois va-t-il se produire ? » — et l'on met un nombre sur le hasard.

📌

Résumé flash

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque résultat. Sa loi est le tableau des P(X = x_i), dont la somme vaut 1. Son espérance E(X) = Σ p_ix_i est la moyenne sur un très grand nombre de répétitions. Quand on répète n fois la même épreuve à deux issues, de façon indépendante, X suit une loi binomiale B(n ; p) — et alors E(X) = np, σ = √(np(1−p)).

🔑 #variable-aléatoire #loi-de-probabilité #espérance #variance #écart-type #Bernoulli #loi-binomiale #B(n;p) #binomFdp #binomFRép #complémentarité

01La variable aléatoire

Jusqu'ici, on parlait d'événements : « le sac est défectueux ». Maintenant on compte : « combien de sacs défectueux dans le lot ? ». Le résultat est un nombre, et ce nombre dépend du hasard.

🧰 Définition

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Elle est discrète quand elle ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs.

Expérience	X compte…	Valeurs possibles
Prélever 40 sacs	le nombre de sacs défectueux	0, 1, 2, …, 40
Lancer 10 fois une pièce	le nombre de « pile »	0, 1, …, 10
Piocher une boule de loterie	le gain en euros	−90, +5, +10
Mesurer une durée de vie	le temps en heures	toutes les valeurs — continue, pas discrète

La dernière ligne annonce le chapitre suivant : quand X peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle, le tableau ne suffit plus et l'on passe aux lois continues.

💡 X en majuscule, x en minuscule

La notation est codifiée et le jury y tient :

X	la variable — ce qu'on ne connaît pas encore
x_i	une valeur particulière qu'elle peut prendre
(X = x_i)	l'événement « X vaut x_i »
P(X = x_i)	sa probabilité

Écrire « P(x = 2) » avec un x minuscule n'est pas une faute grave, mais montrer qu'on distingue la variable de sa valeur est exactement ce qu'on attend d'un élève qui a compris.

02La loi de probabilité

Donner la loi de X, c'est donner la liste de toutes ses valeurs possibles avec leur probabilité. Cela tient dans un tableau à deux lignes.

x_i	x₁	x₂	x₃	…	Total
P(X = x_i)	p₁	p₂	p₃	…	1

⚠️ Deux règles de forme qui rapportent des points

Les valeurs se rangent dans l'ordre croissant. C'est une convention, mais elle rend le tableau lisible et évite les oublis.
La somme des probabilités vaut exactement 1. C'est le contrôle systématique : si le total ne fait pas 1, une valeur manque ou une probabilité est fausse.

Σ p_i = 1 — toujours

L'exemple de la loterie

Une urne contient 8 boules qu'on pioche à l'aveugle. Une boule fait perdre 90 €, trois boules font gagner 5 €, et quatre boules font gagner 10 €. X est le gain du joueur.

x_i (gain en €)	−90	+5	+10	Total
P(X = x_i)	1/8	3/8	4/8	8/8 = 1 ✔

💡 Pourquoi 4/8 et non deux fois 2/8

L'énoncé distingue « 2 boules notées 2 » et « 2 boules notées 1 », toutes avec un gain de 10 €. Mais la variable aléatoire X est le gain, pas le numéro de la boule : ces quatre boules donnent la même valeur de X, donc elles se regroupent.

P(X = 10) = 2/8 + 2/8 = 4/8

C'est la règle générale : dans le tableau de loi, chaque valeur n'apparaît qu'une fois, et sa probabilité cumule tous les résultats qui y mènent.

03L'espérance

E(X) = Σ p_i × x_i
= p₁x₁ + p₂x₂ + p₃x₃ + …

C'est une moyenne pondérée : chaque valeur compte à hauteur de sa probabilité.

calcul — la loterie

E(X) = (1/8) × (−90)  +  (3/8) × 5  +  (4/8) × 10

     = −11,25  +  1,875  +  5

     = − 4,375 €

🧰 Ce que l'espérance signifie vraiment

Ce n'est pas le gain d'une partie : on ne gagnera jamais −4,375 €, puisque les seules issues sont −90, +5 et +10. C'est le gain moyen par partie sur un très grand nombre de parties.

sur 1 000 parties : 1 000 × (−4,375) = −4 375 €

Autrement dit : le joueur perd en moyenne 4,375 € à chaque partie, et sur mille parties sa perte sera très proche de 4 375 €. C'est la loi des grands nombres — et le modèle économique de tous les casinos.

⚠️ « −4,375 » et « −4 375 » ne sont pas le même nombre

En français, la virgule sépare les décimales et l'espace sépare les milliers. Écrits à la main, −4,375 € (l'espérance) et −4 375 € (la perte sur mille parties) se ressemblent dangereusement.

Le réflexe : toujours accompagner le nombre de son unité et de son échelle — « 4,375 € par partie », « 4 375 € sur mille parties ». Une copie qui précise cela ne peut pas être mal comprise.

💡 Un jeu équitable est un jeu d'espérance nulle

jeu équitable ⟺ E(X) = 0

E(X) > 0 : le jeu est favorable au joueur. E(X) < 0 : il est favorable à l'organisateur. Ici E(X) = −4,375 € : le jeu est nettement défavorable au joueur, et c'est précisément ce qui finance la loterie.

À l'oral, la question tombe souvent sous la forme : « quel devrait être le prix du ticket pour que le jeu soit équitable ? » — on résout alors E(X) = 0.

04Variance et écart-type

L'espérance dit où se situe le centre. La variance dit à quel point les valeurs s'en écartent.

V(X) = E(X²) − E(X)²
σ_X = √V(X)

🧰 Comment on calcule E(X²)

On élève les valeurs au carré, on garde les mêmes probabilités :

calcul — la loterie

E(X²) = (1/8) × (−90)²  +  (3/8) × 5²  +  (4/8) × 10²
      = (1/8) × 8100     +  (3/8) × 25  +  (4/8) × 100
      = 1012,5           +  9,375       +  50
      = 1071,875

V(X)  = E(X²) − E(X)²
      = 1071,875 − (−4,375)²
      = 1071,875 − 19,140 625
      ≈ 1052,73

σ_X   = √1052,73 ≈ 32,4 €

L'écart-type σ s'exprime dans la même unité que X — ici des euros — et se lit comme une « distance moyenne au centre ». Ici il vaut 32,4 € pour une espérance de −4,4 € : le jeu est très volatil, ce que l'espérance seule ne disait pas.

⚠️ E(X²) n'est pas E(X)²

E(X²) = 1 071,875 · E(X)² = 19,14

Le premier élève chaque valeur au carré avant de moyenner ; le second moyenne d'abord, puis élève au carré. Les deux ne coïncident jamais (sauf si X est constante) — et leur différence est la variance.

C'est d'ailleurs pourquoi V(X) est toujours positive : si vous trouvez une variance négative, vous avez interverti les deux termes.

💡 Pourquoi passer par l'écart-type

La variance s'exprime en « euros au carré » — une unité qui ne veut rien dire. La racine carrée la ramène en euros, et rend le nombre interprétable : on peut le comparer à l'espérance, le placer sur un axe, dire « la plupart des résultats tombent à ± σ du centre ».

C'est cette lecture qui devient centrale au chapitre de la loi normale, avec la règle des intervalles à 1σ, 2σ et 3σ.

05L'épreuve de Bernoulli

C'est la brique élémentaire du chapitre : une expérience à deux issues seulement, qu'on appelle succès et échec.

x_i	0 (échec)	1 (succès)	Total
P(X = x_i)	q = 1 − p	p	1

calcul — espérance et variance

E(X) = (1 − p) × 0  +  p × 1
     = p

V(X) = p q = p (1 − p)

σ_X  = √(pq) = √(p(1 − p))

💡 « Succès » ne veut pas dire « bonne nouvelle »

Le succès est simplement l'issue que l'on compte. Dans l'exercice des sacs, le succès est « le sac est défectueux » — parce que c'est cela que X dénombre.

C'est un choix de modélisation, pas un jugement. Mais il doit être explicite dans la copie : « on appelle succès l'événement le sac est défectueux, de probabilité p = 0,049 4 ». Sans cette phrase, le correcteur ne sait pas ce que compte X.

🧰 Pile ou face : le cas particulier

Lancer une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli avec p = 0,5, donc q = 0,5. C'est le seul cas où succès et échec sont aussi probables — et c'est pour cela qu'il sert d'exemple partout.

p = q = 0,5 → E(X) = 0,5 · σ = √0,25 = 0,5

06La loi binomiale

On répète n fois la même épreuve de Bernoulli, de manière indépendante, et l'on compte les succès. C'est tout.

X = nombre de succès sur n épreuves → X suit la loi B(n ; p)

La notation se lit « X suit la loi binomiale de paramètres n et p ». Le symbole ↝ signifie « suit la loi de ».

La loi binomiale est symétrique quand p = 0,5, et centrée sur son espérance. Avec p ≠ 0,5, l'histogramme penche du côté le plus probable.

🧰 Espérance et écart-type d'une binomiale

E(X) = n p
σ_X = √(n p q) = √(n p (1 − p))

Ces deux formules sont à connaître par cœur : elles se déduisent des formules de Bernoulli (E = p, V = pq) en les multipliant par n, mais on n'a jamais le temps de les redémontrer en examen.

calcul — les 40 sacs

X ↝ B(40 ; 0,049 4)

E(X) = n p = 40 × 0,049 4 = 1,976

Interprétation : en moyenne, un lot de 40 sacs contient
environ 2 sacs défectueux.

σ_X = √(40 × 0,049 4 × 0,950 6) = √1,878 ≈ 1,37

L'interprétation de E(X) est demandée à chaque fois, et elle ne s'improvise pas : c'est « en moyenne, un lot de n contient E(X) succès ».

⚠️ L'espérance n'est presque jamais une valeur possible

E(X) = 1,976 sacs défectueux. Or X ne prend que des valeurs entières : 1,976 n'arrivera jamais. Ce n'est pas une contradiction — une moyenne n'a pas à être une valeur observable, comme les « 1,8 enfant par famille » des statistiques.

Ne jamais arrondir E(X) à l'entier dans la copie : on donne la valeur exacte et l'on interprète en français (« environ 2 sacs »).

07Justifier — la phrase par cœur

La première question de tout exercice est « Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres ». Elle vaut un point et demi, et la réponse est toujours la même. Le cours la présente d'ailleurs sous un titre sans ambiguïté : « apprends cette phrase par cœur ».

🧭 Les trois points, dans l'ordre

rédaction attendue

★ L'expérience aléatoire consiste à répéter n = 40 fois de suite
  la même épreuve de Bernoulli.

★ Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   – le sac observé est défectueux : SUCCÈS, de probabilité p = 0,049 4
   – sinon : ÉCHEC, de probabilité q = 1 − 0,049 4 = 0,950 6

★ Les épreuves sont mutuellement indépendantes
  (tirage avec remise).

Conclusion :  X ↝ B(40 ; 0,049 4)

Trois étoiles, trois idées, une conclusion. Chaque point du barème correspond à une étoile — et la conclusion avec les paramètres chiffrés est indispensable.

⚠️ Le troisième point est celui qu'on oublie

L'indépendance est la condition la plus facile à omettre, et c'est celle que le sujet autorise par une phrase précise :

« le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement
à un tirage avec remise »

Cette phrase n'est pas du remplissage : sans elle, prélever 40 sacs modifierait la composition du stock à chaque tirage, les épreuves ne seraient plus indépendantes, et la loi ne serait pas binomiale. Il faut donc la citer dans la copie.

Formules équivalentes à repérer : « tirage avec remise », « la population est suffisamment grande », « le stock est important », « on remet la boule dans l'urne ».

🧠 Auto-évaluation

Une urne contient 10 boules dont 3 rouges. On en tire 4 sans remise et l'on compte les rouges. Peut-on utiliser la loi binomiale ?

Non. Sans remise, la composition de l'urne change à chaque tirage : la probabilité de tirer une rouge au 2ᵉ coup dépend du résultat du 1ᵉʳ. Les épreuves ne sont pas indépendantes, la troisième condition tombe.

calcul

1ᵉʳ tirage : P(rouge) = 3/10 = 0,30

2ᵉ tirage, si la 1ʳᵉ était rouge : P(rouge) = 2/9  ≈ 0,22
2ᵉ tirage, si la 1ʳᵉ ne l'était pas : P(rouge) = 3/9 ≈ 0,33

→ p n'est pas constant : ce n'est pas une loi binomiale.

C'est exactement pour éviter ce cas que les énoncés écrivent « le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise ». Quand la population est très grande devant l'échantillon, retirer 40 sacs d'un stock de 100 000 ne change presque rien : on approche par une binomiale, et l'énoncé l'autorise explicitement.

08À la calculatrice

On ne calcule pas P(X = 40) à la main sur une loi B(100 ; 0,37). La calculatrice est autorisée et attendue — encore faut-il choisir la bonne fonction.

🧰 Les deux fonctions, et leur différence

Fonction	Calcule	Le mot-clé
binomFdp (A)	`P(X = k)`	exactement k succès
binomFRép (B)	`P(X ⩽ k)`	au plus k — c'est un cumul

Fdp = fonction de densité de probabilité → une seule valeur
FRép = fonction de répartition → tout ce qui est en dessous

Texas Instruments — une valeur exacte

X ↝ B(10 ; 0,5) ,  calculer P(X = 4)

2nde + var  →  Distrib
              └→ A : binomFdp
                 └→ nbre Essais : 10
                    p : 0,5
                    valeur de x : 4

                 →  P(X = 4) = 0,205

Texas Instruments — un cumul

X ↝ B(10 ; 0,5) ,  calculer P(X ⩽ 2)

2nde + var  →  Distrib
              └→ B : binomFRép
                 └→ nbre Essais : 10
                    p : 0,5
                    valeur de x : 2

                 →  P(X ⩽ 2) = 0,055

💡 Le contrôle à la main

La calculatrice donne 0,055 pour P(X ⩽ 2). On peut le vérifier sur le tableau de la loi :

calcul

P(X ⩽ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
         = 0,001 + 0,010 + 0,044
         = 0,055        ✔

C'est ce que fait binomFRép : une somme de binomFdp. Sur un petit cumul, faire les deux prend dix secondes et garantit qu'on n'a pas confondu les fonctions.

⚠️ Le mode examen efface les programmes, pas les fonctions

Les calculatrices autorisées en BTS CIEL sont la Casio Graph 35+, la TI-82 (mode examen) et la NumWorks. Le mode examen bloque les programmes et les mémoires, mais binomFdp et binomFRép restent disponibles : ce sont des fonctions natives.

En revanche, les menus diffèrent d'une marque à l'autre. Vérifiez votre chemin avant l'épreuve, pas pendant : sur Casio c'est MENU → STAT → DIST → BINM, sur NumWorks une application Probabilités dédiée.

Pour s'entraîner au geste sans la machine sous la main, la calculatrice du site a la même application Probabilités : on choisit la loi, on remplit ses paramètres, et on lit P(X = k) ou P(X ⩽ k). Le jour de l'épreuve, c'est votre machine — révisez le chemin sur celle que vous apporterez.

09Les probabilités d'intervalles

La calculatrice ne sait faire que deux choses : P(X = k) et P(X ⩽ k). Tout le reste doit s'y ramener — et c'est là que se joue la difficulté du chapitre.

🧰 Le dictionnaire des expressions

L'énoncé dit	Inégalité	Équivalents
au plus 2	`X ⩽ 2`	maximum 2 · inférieur ou égal à 2 · 2 ou moins
plus de 2	`X > 2`	strictement supérieur à 2 · au moins 3
au moins 2	`X ⩾ 2`	minimum 2 · 2 ou plus · supérieur ou égal à 2
moins de 2	`X < 2`	strictement inférieur à 2 · au plus 1

Les couples contraires :
(X ⩽ 2) et (X > 2) · (X ⩾ 2) et (X < 2)

Les deux transformations qui servent toujours

🧭 1. Passer au contraire — pour les « ⩾ » et les « > »

P(X > k) = 1 − P(X ⩽ k)

calcul — B(10 ; 0,5)

P(X > 2) = 1 − P(X ⩽ 2)
         = 1 − 0,055
         = 0,945

La probabilité d'obtenir plus de 2 fois pile est de 0,945.

🧭 2. Glisser d'un cran — parce que X est entière

X ne prend que des valeurs entières. Dire « X < 3 » revient donc exactement à dire « X ⩽ 2 » : il n'y a rien entre 2 et 3.

X < k ⟺ X ⩽ k − 1
X ⩾ k ⟺ X > k − 1

calcul — « au moins 3 succès »

P(X ⩾ 3) = 1 − P(X < 3)        ← par complémentarité
         = 1 − P(X ⩽ 2)        ← car X est ENTIÈRE : « < 3 » = « ⩽ 2 »
         = 1 − 0,055
         = 0,945   à 10⁻³

La probabilité d'obtenir au moins 3 fois pile est de 0,945.

Ces deux transformations s'enchaînent presque toujours dans cet ordre : on passe au contraire, puis on glisse d'un cran pour tomber sur un ⩽ que la calculatrice sait traiter.

🔧 Corrigé — une chaîne d'égalités fausse dans le cours

La dernière page du cours propose cet enchaînement :

calcul — ce qui est écrit

P(X > 3) = 1 − P(X ⩽ 3)
         = 1 − P(X < 2)       ← ✘
         = 1 − P(X ⩽ 1)       ← ✘

La première ligne est juste, et la troisième égalité (P(X < 2) = P(X ⩽ 1)) est juste elle aussi. Mais elles ne se suivent pas : on ne peut pas passer de P(X ⩽ 3) à P(X < 2).

calcul — vérification sur B(10 ; 0,5)

P(X ⩽ 3) = 0,001 + 0,010 + 0,044 + 0,117 = 0,171 9
P(X ⩽ 1) = 0,001 + 0,010                 = 0,010 7

0,171 9 ≠ 0,010 7   →  la chaîne est fausse d'un facteur 16

Ce sont deux règles correctes mais appliquées au même endroit, comme si elles étaient interchangeables. Voici les deux écritures justes, séparées :

calcul — corrigé

P(X > 3) = 1 − P(X ⩽ 3)          ← complémentarité, rien de plus
         = 1 − P(X < 4)          ← glissement : « ⩽ 3 » = « < 4 »

P(X > 1) = 1 − P(X ⩽ 1)          ← autre exercice
         = 1 − P(X < 2)          ← ici « ⩽ 1 » = « < 2 »

Le glissement d'un cran se fait à l'intérieur d'une même probabilité,
jamais entre deux seuils différents.

La parade est mécanique : après chaque transformation, relire le seuil. Si le nombre a changé sans que le symbole d'inégalité ait changé de nature, il y a une erreur.

⚠️ Reformuler un événement dans l'autre sens

Le cours traite un cas subtil : sur 10 lancers, « obtenir moins de 4 fois face ». Or X compte les piles, pas les faces.

calcul

« moins de 4 fois FACE »  ⟺  « plus de 6 fois PILE »
        (car face + pile = 10 : si face ⩽ 3, alors pile ⩾ 7)

P(X > 6) = 1 − P(X ⩽ 6)
         = 1 − 0,828 1
         = 0,171 9   à 10⁻⁴

La traduction se fait par la relation face = 10 − pile. Le réflexe : tout ramener à la variable que l'énoncé a définie — ici X = nombre de piles — au lieu d'inventer une seconde variable en cours de route.

🧠 Auto-évaluation

Un lot de 40 sacs, X ↝ B(40 ; 0,049 4). On demande : « la probabilité que le lot contienne plus de 34 sacs sans défaut ». Traduisez, puis calculez.

Le piège est dans « sans défaut ». X compte les sacs défectueux : il faut retourner l'énoncé.

calcul

Relation entre les deux comptages :   sains + défectueux = 40

« plus de 34 sacs SANS défaut »
   ⟺  sains > 34,  soit  sains ⩾ 35    car un nombre de sacs est entier
   ⟺  40 − X ⩾ 35
   ⟺  X ⩽ 5

P(X ⩽ 5) = 0,987   (binomFRép : 40 ; 0,0494 ; 5)

Conclusion : la probabilité que le lot contienne plus de 34 sacs sans défaut est d'environ 0,987.

Contrôle de vraisemblance : E(X) ≈ 2 sacs défectueux par lot. Avoir 5 défectueux ou moins est donc très probable — 0,987 est cohérent ✔ Un résultat proche de 0 aurait signalé une inversion.

La méthode générale pour ces retournements : écrire la relation entre les deux comptages (défectueux + sains = 40), la substituer, puis appliquer le glissement d'un cran. Trois lignes, et aucune place pour l'intuition.

10À l'examen

La loi binomiale est presque toujours la partie B d'un exercice de probabilités, après une partie A sur les probabilités conditionnelles. Elle apporte 5 à 6 points.

🧰 La structure type

Question	Ce qui est attendu	L'outil
1. Justifier que X suit une loi binomiale	les trois étoiles + les paramètres	la phrase par cœur
2. P(X = k)	une valeur exacte	`binomFdp`
3. P(X ⩾ k)	complémentarité rédigée	1 − `binomFRép`(k−1)
4. E(X) et interpréter	np + une phrase	de tête

💡 Les trois sujets réellement posés cette année

Contexte	Loi	Résultats
40 sacs de sable, p = 0,049 4	B(40 ; 0,049 4)	P(X=2) = 0,278 · P(X⩾3) = 0,317 · E(X) = 1,976
100 flacons de parfum, p = 0,37	B(100 ; 0,37)	P(X=40) = 0,067 · P(X⩾30) = 0,942 · E(X) = 37
20 produits, p = 0,09	B(20 ; 0,09)	P(X=2) = 0,28 · P(X⩽1) = 0,45 · E(X) = 1,8

Trois habillages, un seul enchaînement : justifier, une valeur exacte, un cumul par complémentarité, l'espérance. Le contexte change, la méthode jamais.

⚠️ Ce qui coûte des points sans que le calcul soit faux

Ne pas justifier l'indépendance en citant le « tirage avec remise » du sujet.
Oublier la conclusion chiffrée : écrire « X suit une loi binomiale » sans donner B(40 ; 0,049 4).
Ne pas rédiger la complémentarité : donner 0,317 sans écrire P(X ⩾ 3) = 1 − P(X ⩽ 2).
Ne pas interpréter E(X) : le nombre seul ne vaut rien, la phrase « en moyenne, un lot de 40 sacs contient environ 2 sacs défectueux » vaut le point.
Arrondir trop tôt : on garde toutes les décimales dans les calculs intermédiaires, on n'arrondit qu'au résultat final, au format demandé.

🧠 Auto-évaluation

Un employé prélève 100 flacons parmi des parfums à la rose ou au jasmin. La probabilité qu'un flacon contienne du jasmin est 0,37. X compte les flacons au jasmin. Justifiez la loi, puis calculez P(X = 40), P(X ⩾ 30) et E(X).

rédaction — 1. justification

★ L'expérience consiste à répéter n = 100 fois de suite
  la même épreuve de Bernoulli.

★ Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   – le flacon contient du jasmin : SUCCÈS, p = 0,37
   – sinon : ÉCHEC, q = 1 − 0,37 = 0,63

★ Les épreuves sont mutuellement indépendantes, le nombre de
  flacons étant très grand (tirage assimilé à un tirage avec remise).

Conclusion :  X ↝ B(100 ; 0,37)

calcul — 2, 3 et 4

2)  P(X = 40) = 0,067   à 10⁻³        (binomFdp : 100 ; 0,37 ; 40)

3)  P(X ⩾ 30) = 1 − P(X < 30)         par complémentarité
              = 1 − P(X ⩽ 29)         car X est entière
              = 1 − 0,058
              = 0,942   à 10⁻³

4)  E(X) = n p = 100 × 0,37 = 37

    En moyenne, un lot de 100 flacons contient 37 flacons au jasmin.

Deux contrôles : E(X) = 37 est cohérent avec un taux de 37 % ✔ Et P(X ⩾ 30) doit être grande, puisque 30 est en dessous de la moyenne — 0,942 est cohérent ✔ Si vous aviez trouvé 0,058, vous auriez oublié le « 1 − ».