Accueil/Mathématiques /Chapitre 07

Probabilités conditionnelles

Une information change tout : savoir que la pièce est défectueuse ne change pas la pièce — cela change ce qu'on peut en dire.

📌

Résumé flash

Une probabilité conditionnelle se calcule sur un univers réduit : P_B(A) = P(A∩B) / P(B). On la lit « probabilité de A sachant B ». L'outil est l'arbre pondéré : les branches de 2ᵉ niveau portent des probabilités conditionnelles, on multiplie le long d'un chemin et l'on additionne les chemins. Deux événements sont indépendants si l'un n'apprend rien sur l'autre — P(A∩B) = P(A) × P(B).

🔑 #univers #événement #incompatibles #contraire #union #intersection #tableau-de-contingence #conditionnelle #arbre-pondéré #probabilités-totales #Bayes #indépendance

01Le vocabulaire

Tout part d'une expérience aléatoire : une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais pas celui qui va sortir. Lancer un dé, tirer une pièce dans une livraison, ouvrir un dossier d'assuré au hasard.

Terme	Notation	Ce que c'est
Événement élémentaire	E_i	un résultat possible, et un seul
Univers	Ω	l'ensemble de tous les résultats possibles
Événement	A, B…	un ensemble d'événements élémentaires — une partie de Ω
Événement contraire	Ā	tout ce qui est dans Ω mais pas dans A
Intersection	A ∩ B	« A ET B » — les deux à la fois
Union	A ∪ B	« A OU B » — au moins l'un des deux
Incompatibles	A ∩ B = ∅	ils ne peuvent pas se produire ensemble

🧰 L'exemple du dé, à garder en tête tout le chapitre

On lance un dé à 6 faces. E_i : « le résultat est i ».

calcul

Ω = { E₁ , E₂ , E₃ , E₄ , E₅ , E₆ }

A : « le résultat est pair »       → A = { E₂ , E₄ , E₆ }
B : « le résultat est ⩽ 3 »        → B = { E₁ , E₂ , E₃ }

Ā : « le résultat est impair »     → Ā = { E₁ , E₃ , E₅ }

A ∩ B : « pair ET ⩽ 3 »            → A ∩ B = { E₂ }
A ∪ B : « pair OU ⩽ 3 »            → A ∪ B = { E₁ , E₂ , E₃ , E₄ , E₆ }

Remarquez A ∪ B : le E₂ appartient aux deux, mais on ne le compte qu'une fois. C'est toute l'origine du « − P(A∩B) » de la formule de l'union.

À gauche l'intersection, à droite le contraire. Tout le chapitre se lit sur ces deux dessins : une probabilité conditionnelle, c'est se restreindre à l'un des disques.

02Les règles de base

🧰 Les cinq règles qui ne changent jamais

Règle	Formule	Ce qu'elle dit
Univers	P(Ω) = 1	« il se passe forcément quelque chose »
Encadrement	0 ⩽ P(A) ⩽ 1	une probabilité n'est jamais négative ni > 1
Impossible	P(∅) = 0	un événement vide ne se produit pas
Contraire	P(Ā) = 1 − P(A)	la règle la plus rentable de tout le chapitre
Somme	Σ P(E_i) = 1	les probabilités élémentaires totalisent 1

L'union de deux événements

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
et si A et B sont incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

🔗 Compter les élèves d'une classe

Dans une classe, 18 élèves font de l'anglais, 12 de l'espagnol. Combien font au moins une langue ? Pas 30 : ceux qui font les deux ont été comptés deux fois. S'ils sont 5, la réponse est 18 + 12 − 5 = 25.

La formule de l'union ne dit rien d'autre. Le « − P(A∩B) » corrige un double comptage. Et quand les deux événements sont incompatibles, il n'y a personne dans l'intersection : le terme disparaît.

L'équiprobabilité

Quand tous les résultats ont la même chance — un dé non pipé, un tirage au hasard — le calcul devient un comptage :

P(A) = k / n = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

⚠️ « Au hasard » est le mot qui autorise l'équiprobabilité

La formule k/n n'est valable que si les cas sont équiprobables. L'énoncé le signale par « au hasard », « non truqué », « toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées ». Si cette mention manque, on ne peut pas compter : il faut les probabilités données.

Piège classique : « on tire une boule dans une urne contenant 3 rouges et 2 noires ». Les couleurs ne sont pas équiprobables (3/5 et 2/5) — ce sont les boules qui le sont. On compte toujours les objets, jamais les catégories.

03Le tableau de contingence

Avant toute formule, le cours part d'un tableau — et c'est la meilleure porte d'entrée, parce qu'on y voit ce qu'une conditionnelle signifie.

Un assureur a relevé, sur 1 000 dossiers, le nombre d'incidents de paiement selon que le client est français ou étranger.

	Incident	Pas d'incident	Total
Français	80	720	800
Étrangers	40	160	200
Total	120	880	1 000

🧭 Comment on complète un tel tableau

L'énoncé ne donnait que quatre cases : 720, 800, 120 et 1 000. Tout le reste se déduit par complémentarité — chaque ligne et chaque colonne totalise son bord :

Français avec incident = 800 − 720 = 80
Étrangers (total) = 1 000 − 800 = 200
Étrangers avec incident = 120 − 80 = 40
Étrangers sans incident = 200 − 40 = 160
Total sans incident = 1 000 − 120 = 880 (contrôle : 720 + 160 = 880 ✔)

Le contrôle croisé de la dernière ligne est gratuit et attrape toutes les erreurs de soustraction. Faites-le systématiquement.

Trois pourcentages qui n'ont rien à voir

Voici le cœur du chapitre. Trois questions se ressemblent — et donnent trois résultats différents, parce qu'elles ne divisent pas par le même total.

La question	Le calcul	Résultat	On divise par…
% de clients français et ayant eu un incident	80 / 1 000	8 %	tout le monde
% d'incidents parmi les français	80 / 800	10 %	les français seulement
% de français parmi ceux ayant eu un incident	80 / 120	67 %	les incidents seulement

💡 Le numérateur est le même — c'est le dénominateur qui parle

Les trois calculs partent du même 80. Ce qui change, c'est la population de référence : 1 000, 800 ou 120. Autrement dit, l'univers.

Une probabilité conditionnelle, c'est exactement cela : on rétrécit l'univers. Dire « sachant que le client est français », c'est jeter les 200 dossiers d'étrangers et recalculer sur les 800 restants. Rien de plus.

8 %, 10 % et 67 % décrivent la même case du tableau.
Seule la question posée diffère.

🧠 Auto-évaluation

Complétez sans regarder le tableau : « ……… % des clients ayant eu un incident de paiement sont français. » Et : « ……… % des clients français ont eu un incident. »

67 % des clients ayant eu un incident sont français (80/120).
10 % des clients français ont eu un incident (80/800).

La clé est dans l'ordre de la phrase. Ce qui vient après « des » est la population de référence — le dénominateur :

« … % des clients ayant eu un incident sont français »	→ on divise par les incidents (120)
« … % des clients français ont eu un incident »	→ on divise par les français (800)

En examen, soulignez la population de référence dans l'énoncé avant de calculer. C'est trente secondes, et cela supprime l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

04La probabilité conditionnelle

On passe du comptage aux probabilités. On choisit un dossier au hasard parmi les 1 000, et l'on pose :

F : « le dossier est celui d'un assuré français » — donc F̄ : « … d'un assuré étranger » ;
I : « l'assuré a eu un incident dans l'année » — donc Ī : « … n'a pas eu d'incident ».

calcul

P(F)     = 800 / 1000 = 0,8            ← 80 % des clients sont français
P(F ∩ I) =  80 / 1000 = 0,08           ← français ET incident

P_F(I)   =  80 /  800 = 0,10           ← incident SACHANT français
P_I(F)   =  80 /  120 ≈ 0,67           ← français SACHANT incident

🧰 La définition

P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) (avec P(B) ≠ 0)

Se lit : « probabilité de A sachant B ». On vérifie sur l'exemple :

calcul

P_F(I) = P(I ∩ F) / P(F) = 0,08 / 0,8 = 0,10     ✔
P_I(F) = P(F ∩ I) / P(I) = 0,08 / 0,12 ≈ 0,67    ✔   avec P(I) = 120/1000 = 0,12

La formule ne fait que traduire le tableau : diviser par P(B), c'est ramener l'univers à B.

⚠️ P_B(A) et P_A(B) ne sont pas la même chose

L'intersection, elle, est symétrique : P(A ∩ B) = P(B ∩ A) — « A et B » est la même chose que « B et A ». Les conditionnelles ne le sont pas :

P_F(I) = 0,10 · P_I(F) ≈ 0,67
même numérateur, dénominateurs différents

Confondre les deux est l'erreur du chapitre, et elle a un nom hors des maths : le sophisme du procureur. « 99 % des malades ont ce symptôme » ne veut pas dire « 99 % de ceux qui ont ce symptôme sont malades » — si la maladie est rare, le second chiffre peut être minuscule. La section 7 y revient, calcul à l'appui.

🧰 La complémentarité vaut aussi pour les conditionnelles

P_B(Ā) = 1 − P_B(A)

Une fois l'univers réduit à B, tout s'y comporte normalement : les probabilités y totalisent encore 1. Si 10 % des français ont eu un incident, alors 90 % n'en ont pas eu.

Attention au sens : c'est l'événement qui passe au contraire, pas la condition. P_B(Ā) = 1 − P_B(A) est vrai, mais P_B̄(A) = 1 − P_B(A) est faux : ce sont deux univers différents.

La formule des probabilités composées

En multipliant la définition par P(B), on obtient la forme qu'on utilise le plus souvent — celle qui correspond à un chemin dans l'arbre :

P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A) = P(A) × P_A(B)

C'est la même égalité lue dans les deux sens. Elle dit : pour que A et B se produisent, il faut d'abord que B se produise (probabilité P(B)), puis que A se produise dans ce cas (probabilité P_B(A)).

05L'arbre pondéré

C'est l'outil du chapitre — celui qu'on dessine avant de calculer quoi que ce soit. Il transforme un énoncé en image, et l'image donne les réponses.

Reprenons l'énoncé sous forme probabiliste : 80 % des clients sont français ; 10 % des clients français ont eu un incident ; 20 % des clients étrangers ont eu un incident.

Le long d'un chemin, on multiplie. Entre les chemins qui mènent au même événement, on additionne.

🧭 Le mode d'emploi, en cinq règles

1ᵉʳ niveau : probabilités simples. P(F) = 0,8, P(F̄) = 0,2. C'est la partition de l'univers.
2ᵉ niveau : probabilités CONDITIONNELLES. La branche qui suit F porte P_F(I), pas P(I). C'est le point que le jury vérifie.
Le long d'un chemin, on multiplie. Chemin F puis I : P(F ∩ I) = 0,8 × 0,1 = 0,08.
Entre les chemins, on additionne. Deux chemins mènent à I : P(I) = 0,08 + 0,04 = 0,12.
Les branches issues d'un même nœud totalisent 1. 0,1 + 0,9 = 1 ✔ · 0,2 + 0,8 = 1 ✔ · 0,8 + 0,2 = 1 ✔

La règle 5 est un contrôle gratuit : elle attrape presque toutes les erreurs de recopie de l'énoncé.

⚠️ Piège d'examen — « 20 % des étrangers » n'est pas « 20 % des clients »

L'énoncé dit « 20 % des clients étrangers ont eu un incident ». Cette valeur est P_F̄(I) = 0,2 — une conditionnelle, à placer sur une branche de deuxième niveau.

La placer au premier niveau, ou écrire P(F̄ ∩ I) = 0,2, fausse tout le reste de l'exercice. Le repère est infaillible : un pourcentage « parmi » une sous-population est toujours une conditionnelle.

Vérification : les vrais P(F̄ ∩ I) valent 0,04, pas 0,2.
40 dossiers sur 1 000 — le tableau le confirme.

💡 Quel événement mettre au premier niveau ?

Celui dont l'énoncé donne les probabilités simples. Ici « 80 % des clients sont français » est une probabilité simple : F va au premier niveau. Les incidents ne sont donnés que « parmi les français » et « parmi les étrangers » — donc au second.

L'arbre suit la chronologie de l'information, pas celle de la question. On peut très bien demander P_I(F) — une conditionnelle « à l'envers » de l'arbre : c'est précisément l'objet de la section 7.

06Les probabilités totales

Comment atteindre I ? Par deux chemins seulement : en passant par F, ou en passant par F̄. Il n'y a pas de troisième possibilité — c'est une partition de l'univers.

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)

Et en développant chaque intersection le long de son chemin :

P(A) = P(B) × P_B(A) + P(B̄) × P_B̄(A)

calcul — sur l'exemple

P(I) = P(F ∩ I) + P(F̄ ∩ I)
     = P(F) × P_F(I)  +  P(F̄) × P_F̄(I)
     = 0,8 × 0,1      +  0,2 × 0,2
     = 0,08           +  0,04
     = 0,12

contrôle par le tableau : 120 / 1000 = 0,12   ✔

conclusion : 12 % des clients ont eu un incident de paiement dans l'année.

🔗 Les deux portes de la même salle

Une salle a deux portes. Pour savoir combien de personnes y sont entrées, on compte les entrées de la porte A et celles de la porte B, puis on additionne. À condition qu'il n'y ait pas de troisième porte — et que personne ne soit passé par les deux.

C'est exactement l'hypothèse de la formule : B et B̄ recouvrent tout l'univers, sans se chevaucher. C'est vrai pour tout couple {B, B̄}, et c'est pourquoi la formule marche toujours.

🧰 Avec trois branches ou plus

Rien ne change si l'univers est partagé en trois — trois fournisseurs, trois grossistes, trois sites de production. On additionne simplement trois chemins :

P(M) = P(A)×P_A(M) + P(B)×P_B(M) + P(C)×P_C(M)

Deux conditions, et toujours les mêmes : les cas doivent être incompatibles (on ne peut pas venir de deux fournisseurs à la fois) et recouvrir tout (il n'y a pas de quatrième fournisseur). C'est la définition d'une partition, et le sujet la garantit en écrivant « 20 % de A, 35 % de B et le reste de C ».

🧠 Auto-évaluation

Un poissonnier se fournit chez trois grossistes : 20 % chez A, 35 % chez B, le reste chez C. Parmi les crabes de A, 5 % sont invendables ; 10 % pour B ; 20 % pour C. Quelle est la probabilité qu'un crabe pris au hasard soit invendable ?

Étape 1 — la part de C. « Le reste » : 100 − 20 − 35 = 45 %. Contrôle : 0,20 + 0,35 + 0,45 = 1 ✔

calcul

P(M) = P(A)×P_A(M) + P(B)×P_B(M) + P(C)×P_C(M)
     = 0,20 × 0,05  +  0,35 × 0,10  +  0,45 × 0,20
     = 0,01         +  0,035        +  0,09
     = 0,135

13,5 % des crabes sont invendables.

Deux contrôles immédiats : le résultat est compris entre le plus petit taux (5 %) et le plus grand (20 %) — c'est une moyenne pondérée, elle ne peut pas en sortir. Et il penche vers 20 % parce que C, le plus mauvais, fournit presque la moitié.

07Renverser le conditionnement

L'arbre va de la cause vers l'effet : on sait d'où vient le client, on en déduit son risque d'incident. La question d'examen fait souvent le chemin inverse : on constate l'incident, et l'on cherche d'où vient le dossier.

P_I(F) = P(F ∩ I) / P(I)

calcul

1. le numérateur — un seul chemin de l'arbre
   P(F ∩ I) = 0,8 × 0,1 = 0,08

2. le dénominateur — les probabilités totales
   P(I) = 0,08 + 0,04 = 0,12

3. la division
   P_I(F) = 0,08 / 0,12 ≈ 0,67

conclusion : 67 % des clients ayant eu un incident sont français.

🧭 La méthode en trois temps — toujours la même

1. le chemin (numérateur) → 2. les probabilités totales (dénominateur) → 3. on divise

C'est la formule de Bayes, qu'on n'a pas besoin de nommer ni d'apprendre par cœur : elle n'est que la définition de la conditionnelle, avec un dénominateur calculé à l'étape d'avant. L'étape 2 est déjà faite si l'énoncé a demandé P(I) à la question précédente — et c'est presque toujours le cas.

⚠️ Pourquoi 67 % surprend — et pourquoi c'est juste

Seulement 10 % des français ont un incident, contre 20 % des étrangers. Les étrangers sont deux fois plus « à risque ». Et pourtant, deux tiers des incidents viennent de français. Contradiction ?

Non : les français sont quatre fois plus nombreux. Un taux plus faible sur une population beaucoup plus grande donne un effectif plus grand.

calcul

français  : 800 × 10 %  =  80 incidents
étrangers : 200 × 20 %  =  40 incidents
                          ───
                          120 incidents  dont 80 français, soit 67 %

C'est l'effet de base (base rate), et c'est la raison d'être de ce chapitre. Un raisonnement qui néglige la taille des populations se trompe — en médecine, en justice, en détection d'intrusion.

💡 Le même calcul en cybersécurité

Un système de détection d'intrusion signale 99 % des vraies attaques (vrais positifs) et se trompe sur 1 % du trafic normal (faux positifs). Sur 1 000 000 de connexions, 100 sont des attaques. Une alerte vient de sonner : quelle est la probabilité que ce soit une vraie attaque ?

calcul

vraies attaques détectées  :     100 × 0,99 =     99
fausses alertes            : 999 900 × 0,01 =  9 999
                                              ──────
alertes au total                              10 098

P(vraie attaque | alerte) = 99 / 10 098 ≈ 0,0098  →  environ 1 %

Un détecteur « fiable à 99 % » produit 99 fausses alertes pour une vraie, parce que les attaques sont rares. C'est exactement pourquoi les analystes SOC se noient sous les alertes — et pourquoi on affine les règles au lieu d'en ajouter. Le lien avec le chapitre cybersécurité est direct.

08Les événements indépendants

Deux événements sont indépendants quand savoir que l'un s'est produit n'apprend rien sur l'autre. La conditionnalité disparaît :

A et B indépendants ⟺ P_B(A) = P(A) et P_A(B) = P(B)
⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

🧰 Deux propriétés à connaître

L'indépendance passe aux contraires. Si A et B sont indépendants, alors (Ā, B), (A, B̄) et (Ā, B̄) le sont aussi. C'est ce qui permet de calculer « aucun des deux » par un simple produit.
Mais elle ne passe pas aux combinaisons. Si A et B sont indépendants, A ∪ B et A ∩ B ne le sont pas entre eux — et c'est l'objet de l'exercice ci-dessous.

L'exemple du cours : les deux défauts

Un atelier reçoit des pièces en grande quantité. Chacune peut présenter deux défauts, a et b. On prélève une pièce au hasard.

A : « la pièce présente le défaut a », P(A) = 0,02
B : « la pièce présente le défaut b », P(B) = 0,01
A et B sont supposés indépendants.

calcul — E₁ : les DEUX défauts

E₁ = A ∩ B

P(E₁) = P(A) × P(B)          ← licite car A et B sont indépendants
      = 0,02 × 0,01
      = 0,0002               soit 0,02 % des pièces

calcul — E₂ : la pièce est défectueuse (AU MOINS un défaut)

E₂ = A ∪ B

P(E₂) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
      = 0,02 + 0,01 − 0,0002
      = 0,0298               soit 2,98 % des pièces

calcul — E₃ : AUCUN défaut, par deux chemins

méthode 1 — par l'indépendance des contraires
E₃ = Ā ∩ B̄
P(E₃) = P(Ā) × P(B̄) = (1 − 0,02) × (1 − 0,01) = 0,98 × 0,99 = 0,9702

méthode 2 — par complémentarité
E₃ = complémentaire de (A ∪ B)
P(E₃) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0,0298 = 0,9702      ✔ même résultat

97,02 % des pièces sont saines.

⚠️ « Au moins un » se traite par le contraire

« au moins un » = contraire de « aucun »

Avec deux événements, les deux méthodes se valent. Avec dix, la formule de l'union devient monstrueuse, alors que le contraire reste un simple produit :

calcul

P(au moins un défaut sur 10 pièces) = 1 − P(aucun défaut)
                                    = 1 − 0,98¹⁰
                                    ≈ 1 − 0,817 = 0,183

Dès que vous lisez « au moins un » dans un énoncé, écrivez d'abord 1 − P(aucun). Le réflexe est rentable dans tout le chapitre, et encore plus au chapitre suivant.

🔧 Corrigé — une erreur d'un facteur 10 dans le corrigé du cours

La dernière question demande : quelle est la probabilité que la pièce présente les deux défauts, sachant qu'elle est défectueuse ? C'est une conditionnelle P_A∪B(A∩B), et le corrigé la pose correctement :

calcul — ce qui est écrit

P_A∪B(A ∩ B) = P((A∪B) ∩ (A∩B)) / P(A∪B)
             = P(A ∩ B) / P(A ∪ B)          ← car A∩B est inclus dans A∪B
             = 0,0002 / 0,0298
             = 0,067        ✘   →  « 6,7 % des pièces défectueuses ont les 2 défauts »

La mise en place est juste ; c'est la division qui dérape :

calcul — le bon résultat

0,0002 / 0,0298 = 0,006711…

arrondi à 10⁻⁴ (comme l'énoncé le demande) :  0,0067

→ 0,67 % des pièces défectueuses ont les deux défauts,  pas 6,7 %

La vérification qui tranche — on remultiplie :

calcul

0,0298 × 0,067  = 0,001997     ✘  on attendait 0,0002
0,0298 × 0,0067 = 0,0002       ✔

Le résultat annoncé est donc dix fois trop grand. Et le contrôle de vraisemblance suffisait à le voir : les pièces à deux défauts sont 0,0002/0,0298 ≈ 1/149 des pièces défectueuses — environ une sur cent cinquante. 6,7 % voudrait dire une sur quinze.

Après toute division de deux petits nombres :
remultipliez pour retrouver le numérateur.

💡 Indépendants n'est pas incompatibles

Deux mots proches, deux notions opposées — et la confusion coûte cher :

	Incompatibles	Indépendants
Définition	A ∩ B = ∅	P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Peuvent-ils arriver ensemble ?	non, jamais	oui, et on sait à quelle fréquence
P(A ∩ B)	= 0	= P(A) × P(B), non nul
Si l'un se produit…	l'autre est exclu — information maximale	on n'apprend rien sur l'autre
Exemple	obtenir 2 et obtenir 5 au même lancer	le défaut a et le défaut b

Deux événements incompatibles de probabilité non nulle sont même toujours dépendants : savoir que l'un est arrivé garantit que l'autre ne l'est pas.

09Les pièges de langue

En probabilités, la difficulté n'est presque jamais le calcul : c'est la traduction de l'énoncé. Trois mots décident de tout.

L'énoncé dit…	Cela se traduit	Dans l'arbre
« A et B », « les deux »	`P(A ∩ B)`	un chemin complet — on multiplie
« A ou B », « au moins un »	`P(A ∪ B)`	plusieurs chemins — on additionne
« sachant que B »	`P_B(A)`	une branche de 2ᵉ niveau
« parmi les B »	`P_B(A)`	idem — c'est le même mot
« … % des B sont A »	`P_B(A)`	idem
« aucun », « pas de »	`P(Ā ∩ B̄)`	le chemin « non » puis « non »
« le reste »	1 − (ce qui précède)	la dernière branche du 1ᵉʳ niveau

🧭 La méthode de traduction, avant tout calcul

Nommer les événements par une lettre, et écrire la phrase complète en face. « F : le client est français ». Cette ligne se recopie dans la copie — elle rapporte des points et évite les confusions trois questions plus loin.
Souligner dans l'énoncé les mots et, ou, sachant, parmi, au moins, aucun.
Classer chaque donnée : simple (1ᵉʳ niveau) ou conditionnelle (2ᵉ niveau) ? Le test : « ce pourcentage porte-t-il sur tout le monde ou sur une sous-population ? »
Dessiner l'arbre, et seulement ensuite calculer.

⚠️ Trois phrases qui se ressemblent et ne disent pas la même chose

énoncés

« 8 % des clients sont français ET ont eu un incident »   →  P(F ∩ I) = 0,08
« 10 % des clients français ont eu un incident »          →  P_F(I)   = 0,10
« 67 % des clients ayant eu un incident sont français »   →  P_I(F)   = 0,67

Trois nombres différents pour la même situation et la même case du tableau. La seule façon de ne pas se tromper est de repérer la population de référence — ce qui suit « des » ou « parmi ».

💡 Rédiger la conclusion : une phrase, avec le contexte

Le barème accorde presque toujours un point à l'interprétation. Un résultat nu n'en vaut aucun.

❌ Ne rapporte rien	✔ Rapporte le point
« P_I(F) = 0,67 »	« 67 % des clients ayant eu un incident de paiement sont français. »
« 0,135 »	« 13,5 % des crabes du poissonnier sont invendables. »
« 0,0067 »	« Parmi les pièces défectueuses, 0,67 % présentent les deux défauts. »

La recette : un pourcentage, le mot « parmi » ou « des », et les mots de l'énoncé. Jamais « A », « B » ou « I » dans une conclusion — on reprend les noms réels.

10À l'examen

Ce chapitre tombe à chaque session, et presque toujours sous la même forme : un exercice en trois parties, dont la première est un arbre pondéré.

🧰 La structure type d'un exercice

Question	Ce qui est attendu	Barème typique
1. Représenter par un arbre pondéré	l'arbre complet, toutes les branches étiquetées	1 à 1,5 pt
2a. Calculer P(A ∩ D) et interpréter	un produit le long d'un chemin + une phrase	1,5 pt
2b. Montrer que P(D) = …	probabilités totales — la valeur est donnée, il faut la retrouver	1,5 pt
3. Une pièce défectueuse est prélevée : probabilité qu'elle vienne de A ?	conditionnelle renversée : chemin ÷ total	1,5 pt

La question 2b est cadeau : la valeur étant donnée, on sait immédiatement si l'on s'est trompé. Et elle sert de dénominateur à la question 3 — donc même en la ratant, on peut enchaîner avec la valeur de l'énoncé.

⚠️ « Montrer que » n'est pas « calculer »

Quand l'énoncé écrit « Montrer que P(D) = 0,00695 », il ne suffit pas d'écrire le résultat : il faut dérouler le calcul qui y mène. Le point porte sur la démarche, pas sur le nombre — qui est déjà imprimé sur le sujet.

rédaction attendue

D'après la formule des probabilités totales :

P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D)
     = P(A) × P_A(D)  +  P(B) × P_B(D)
     = 0,65 × 0,008   +  0,35 × 0,005
     = 0,0052         +  0,00175
     = 0,00695                              ✔ conforme à l'énoncé

💡 Ce qui s'est réellement vu en DST

Les trois devoirs de l'année ont posé la même architecture, avec des habillages différents :

Cartes mères — deux sites de production A (65 %) et B (35 %), taux de défaut 0,8 % et 0,5 %. Questions : arbre, P(A∩D), montrer que P(D) = 0,00695, puis P_D(A) ≈ 0,748.
Crabes et grossistes — trois branches au premier niveau (20 %, 35 %, 45 %), taux d'invendables 5 %, 10 %, 20 %. Même méthode avec une addition de plus.
Factures d'un garage — mécanique (65 %) et carrosserie, taux d'erreur 2 % et 1 %. Question finale : la facture est erronée, vient-elle de la carrosserie ?

Trois sujets, un seul schéma. Maîtriser l'arbre, c'est maîtriser le chapitre.

🧠 Auto-évaluation

Une entreprise produit des cartes mères sur deux sites. A produit 65 % des cartes, le reste vient de B. 0,8 % des cartes de A sont défectueuses, contre 0,5 % pour B. Une carte défectueuse est prélevée : quelle est la probabilité qu'elle vienne de A ?

1. Nommer et poser. A : « la carte vient du site A » · B : « … du site B » · D : « la carte est défectueuse ».

calcul

Données :   P(A) = 0,65      P(B) = 0,35     ← « le reste »
            P_A(D) = 0,008   P_B(D) = 0,005  ← conditionnelles : « des cartes de A »

2. le chemin
   P(A ∩ D) = P(A) × P_A(D) = 0,65 × 0,008 = 0,0052

3. les probabilités totales
   P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D)
        = 0,0052 + 0,35 × 0,005
        = 0,0052 + 0,00175
        = 0,00695

4. on renverse
   P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D) = 0,0052 / 0,00695 ≈ 0,748

Conclusion : parmi les cartes défectueuses, environ 74,8 % proviennent du site A.

💡 Pourquoi ce n'est pas contradictoire

Le site A a un taux de défaut plus élevé (0,8 % contre 0,5 %) et produit presque le double de cartes. Les deux effets vont dans le même sens : il est donc normal que les trois quarts des défauts viennent de A.

Mais attention à la conclusion managériale : cela ne veut pas dire que A est « responsable des trois quarts du problème » — si l'on veut comparer les sites, c'est le taux qu'on regarde, pas l'effectif.

Contrôle de vraisemblance : P_D(A) doit être supérieure à P(A) = 0,65, puisque A est le site le plus défaillant — savoir que la carte est défectueuse rend A plus probable. 0,748 > 0,65 ✔