Accueil/Mathématiques /Chapitre 09

Lois uniforme & exponentielle

Un tableau ne suffit plus : quand la variable peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle, une probabilité devient une aire.

📌

Résumé flash

Une variable continue n'a plus de tableau : sa probabilité est l'aire sous une courbe de densité. La loi uniforme sur [a ; b] a une densité constante 1/(b−a) — une probabilité y est donc l'aire d'un rectangle. La loi exponentielle modélise les durées de vie : sa fonction de fiabilité est R(t) = P(T > t) = e^−λt, elle est sans mémoire, et sa durée de vie moyenne — le MTBF — vaut 1/λ.

🔑 #variable-continue #densité #loi-uniforme #loi-exponentielle #fiabilité #défaillance #R(t) #sans-mémoire #MTBF #AFNOR #aX+b

01Du discret au continu

Au chapitre précédent, X comptait : 0, 1, 2, … 40 sacs. On pouvait dresser un tableau. Ici, X mesure : une durée d'attente, une durée de vie. Elle peut valoir 4 minutes, 4,1, 4,137 285… Le tableau devient impossible.

⚠️ En continu, P(X = une valeur précise) = 0

Quelle est la probabilité qu'une ampoule grille exactement à 1 000,000 000 h ? Nulle. Il y a une infinité de valeurs possibles, chacune a donc une probabilité nulle — sans que l'événement soit impossible pour autant.

En continu on ne calcule que des intervalles :
P(a ⩽ X ⩽ b), P(X > t), P(X < t)

Conséquence pratique majeure : les inégalités strictes et larges donnent le même résultat.

P(X < 3) = P(X ⩽ 3) · P(X > 5) = P(X ⩾ 5)

C'est l'inverse exact du chapitre précédent, où passer de X < 3 à X ⩽ 2 changeait tout. Ne transposez pas le réflexe : le glissement d'un cran n'existe qu'en discret.

🧰 La probabilité devient une aire

À la place du tableau, une courbe de densité f. La probabilité que X tombe entre c et d est l'aire sous la courbe entre ces deux bornes.

aire totale sous la courbe = 1

C'est la traduction continue de « la somme des probabilités vaut 1 ». Tout le chapitre revient à calculer des aires — et pour la loi uniforme, ce sont des rectangles.

	Discret (ch. 08)	Continu (ch. 09)
Valeurs	0, 1, 2, … — dénombrables	tout un intervalle
Description	un tableau	une densité
Probabilité	P(X = k) se calcule	P(X = k) = 0 ; on calcule des intervalles
Somme / aire	Σ p_i = 1	aire totale = 1
« < » et « ⩽ »	différents	identiques

02La loi uniforme

C'est la plus simple : aucune valeur n'est privilégiée sur l'intervalle [a ; b]. La densité est constante, la courbe est un rectangle.

X ↝ U_{[a ; b]} → densité constante = 1 / (b − a)

La densité est constante : une probabilité est l'aire d'un rectangle, largeur × hauteur. Rien de plus.

🧰 Les trois formules

P(c ⩽ X ⩽ d) = (d − c) / (b − a)
E(X) = (a + b) / 2

Et la vérification qui justifie la densité : sur l'intervalle entier,

calcul

P(a ⩽ X ⩽ b) = (b − a) × 1/(b − a) = 1        ← l'aire du grand rectangle

C'est pourquoi la hauteur vaut 1/(b − a) et pas autre chose :
c'est la seule valeur qui donne une aire totale de 1.

L'espérance (a + b) / 2 est simplement le milieu de l'intervalle — ce qui est évident si aucune valeur n'est privilégiée.

Les exemples du cours

calcul — X ↝ U[0 ; 10], densité 1/10

P(X < 3)      = 3 × 1/10        = 0,3      ← largeur 3 − 0
P(X ⩾ 6)      = (10 − 6) × 1/10 = 0,4
P(3 < X ⩽ 8)  = (8 − 3) × 1/10  = 0,5

💡 Alice et Brigitte à la bibliothèque

Brigitte arrive entre 15 h et 16 h, Alice à 15 h 20. Le délai d'arrivée de Brigitte, en minutes après 15 h, suit U_{[0 ; 60]}.

calcul — densité 1/60

« Brigitte arrive avant Alice »       P(X < 20) = 20/60 ≈ 0,33
« Alice attend Brigitte plus de 20 min »  P(X > 40) = 20/60 ≈ 0,33
« Alice attend Brigitte moins de 5 min »  P(20 < X < 25) = 5/60 ≈ 0,08

Le troisième calcul est le seul qui demande de réfléchir : Alice attend moins de 5 minutes si Brigitte arrive entre la 20ᵉ et la 25ᵉ minute — pas avant, sinon Alice n'attend pas du tout.

Toute la difficulté d'un exercice de loi uniforme est là : traduire la phrase en intervalle. Le calcul qui suit est une division.

⚠️ L'intervalle ne commence pas toujours à zéro

Deuxième exercice du cours : un standardiste transfère les appels ; la durée d'attente T est comprise entre 10 secondes et 1 minute. Donc T ↝ U_{[10 ; 60]} — et non U_{[0 ; 60]}.

calcul

densité = 1/(60 − 10) = 1/50        ← et non 1/60 !

P(T < 20) = P(10 ⩽ T < 20) = 10/50 = 0,2
P(T > 40) = (60 − 40)/50    = 20/50 = 2/5 = 0,4
E(T)      = (10 + 60)/2             = 35 secondes

Remarquez P(T < 20) : la largeur n'est pas 20 mais 10, puisque T ne peut pas descendre sous 10. Le réflexe : dessiner le rectangle avant de calculer, avec ses vraies bornes. La largeur se lit alors sur le dessin.

🧠 Auto-évaluation

Un bus passe toutes les 12 minutes. Vous arrivez à l'arrêt sans connaître l'horaire. Quelle est la probabilité d'attendre plus de 9 minutes ? Et l'attente moyenne ?

Le temps d'attente T suit U_{[0 ; 12]} : arriver « sans connaître l'horaire » signifie qu'aucun instant n'est privilégié.

calcul

densité = 1/12

P(T > 9) = (12 − 9) × 1/12 = 3/12 = 0,25

E(T) = (0 + 12)/2 = 6 minutes

Une chance sur quatre d'attendre plus de 9 minutes, et 6 minutes d'attente moyenne — la moitié de l'intervalle, comme l'intuition le suggère.

Contrôle : une probabilité de loi uniforme est toujours un rapport de longueurs. Si vous trouvez une valeur supérieure à 1, c'est que vous avez oublié de diviser par (b − a).

03Fiabilité et défaillance

On change de sujet : on ne parle plus d'attente mais de durée de vie. Et le vocabulaire vient de l'industrie, pas des mathématiques.

💡 La définition de l'AFNOR

L'Association Française de NORmalisation définit la fiabilité ainsi :

« La fiabilité est la caractéristique d'un dispositif qui s'exprime par la probabilité pour ce dispositif d'accomplir une fonction requise, dans des conditions données, pendant une période donnée. »

Trois mots comptent : probabilité (ce n'est pas une certitude), conditions données (une ampoule ne dure pas autant dehors que dedans), période donnée (la fiabilité dépend de la durée qu'on considère).

Dire qu'un modèle est « plus fiable » qu'un autre, c'est énoncer une tendance, pas une garantie sur un exemplaire donné.

🧰 Les deux fonctions, et leurs noms anglais

T est la durée de vie du matériel, à valeurs dans [0 ; +∞[.

Fonction	Définition	Se lit	D'où la lettre
F(t)	P(T ⩽ t)	le matériel est tombé en panne avant t	failure — défaillance
R(t)	1 − F(t) = P(T > t)	le matériel fonctionne encore à t	reliability — fiabilité

F(t) + R(t) = 1

Les deux lettres viennent de l'anglais : c'est la seule façon de ne pas les confondre — F comme failure, R comme reliability.

⚠️ Ne pas confondre les deux sens

R(t) décroît : plus le temps passe, moins il est probable que l'appareil tienne encore. R(0) = 1 (tout fonctionne au départ), et R(t) tend vers 0.

F(t) croît : la probabilité d'être tombé en panne ne peut qu'augmenter. F(0) = 0, et F(t) tend vers 1.

R décroît de 1 vers 0 · F croît de 0 vers 1

Si votre R(t) augmente avec t, il y a une erreur de signe — voir la section suivante.

D'où vient le modèle : l'expérience des ampoules

Sur un grand nombre d'ampoules identiques mises en service au même moment, on relève toutes les 500 heures la proportion encore en fonctionnement :

t (heures)	0	500	1 000	1 500	2 000	2 500	3 000
R(t)	1	0,78	0,60	0,47	0,37	0,28	0,22

🧭 Pourquoi un modèle exponentiel et pas une droite

Le nuage de points descend en s'aplatissant : il perd 0,22 entre 0 et 500 h, mais seulement 0,06 entre 2 500 et 3 000 h. Une droite ne peut pas décrire cela — et elle finirait par passer sous zéro, ce qui n'a pas de sens pour une probabilité.

On cherche donc un modèle de la forme R(t) = k e^−λt. Une régression exponentielle à la calculatrice donne :

calcul — régression exponentielle

a = 1,001 495        →  k ≈ 1     (cohérent : R(0) = 1)
b = −5,053 × 10⁻⁴    →  λ ≈ 0,000 5
r = −0,999 886       →  corrélation quasi parfaite

d'où :   R(t) = e^(−0,000 5 t)

Le coefficient de corrélation r proche de −1 signale que le modèle colle aux données. Et k ≈ 1 n'est pas un hasard : R(0) doit valoir 1, puisque toutes les ampoules fonctionnent au départ.

🧰 Vérifier le modèle sur les données

calcul

t = 500  :  e^(−0,25) = 0,7788   →  relevé 0,78   ✔
t = 1000 :  e^(−0,50) = 0,6065   →  relevé 0,60   ✔
t = 1500 :  e^(−0,75) = 0,4724   →  relevé 0,47   ✔
t = 2000 :  e^(−1,00) = 0,3679   →  relevé 0,37   ✔
t = 3000 :  e^(−1,50) = 0,2231   →  relevé 0,22   ✔

Le modèle reproduit les relevés à moins de 0,01 près. C'est ce qui autorise à remplacer le tableau par une formule — et à l'extrapoler au-delà de 3 000 heures.

04La loi exponentielle

🧰 La définition

Quand la fonction de fiabilité s'écrit R(t) = e^−λt, où λ est un réel strictement positif, on dit que T suit une loi exponentielle de paramètre λ.

T ↝ E_λ ⟺ R(t) = P(T > t) = e^−λt sur [0 ; +∞[

Et par complémentarité :

F(t) = P(T ⩽ t) = 1 − e^−λt

Ces deux formules suffisent pour tout le chapitre. Il n'y a pas d'autre cas au programme.

🔧 Corrigé — le signe moins qui manque dans la définition

Le document de cours écrit, dans le même encadré « Définition », deux formules contradictoires à quatre lignes d'écart :

ce qui est écrit

ligne 1 : « la fonction de fiabilité R s'écrit R(t) = e^(λt)
            où λ est un réel strictement positif »        ✘

ligne 4 : « T ↝ E_λ signifie que la fonction de fiabilité est
            la fonction R définie sur [0;+∞[ par : R(t) = e^(−λt) »   ✔

C'est la deuxième qui est juste. Le raisonnement qui le prouve tient en une ligne : avec λ > 0, la fonction e^λt croît vers l'infini.

calcul — avec λ = 0,0005 et la formule fautive

R(1000) = e^(+0,5)  = 1,65      ✘ une probabilité supérieure à 1
R(3000) = e^(+1,5)  = 4,48      ✘ absurde

avec la bonne formule :
R(1000) = e^(−0,5)  = 0,6065    ✔
R(3000) = e^(−1,5)  = 0,2231    ✔

Une fonction de fiabilité décroît de 1 vers 0 : un matériel ne devient pas plus fiable en vieillissant. Le signe moins est ce qui produit cette décroissance.

Le contrôle en deux secondes : R(t) doit diminuer quand t augmente.

La copie A avait d'ailleurs annoté cette ligne au crayon : « = P(T>t) ». C'est la bonne réaction — rattacher la formule à son sens est ce qui permet de repérer le signe manquant.

Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'ordonnée 0,5 : leur somme vaut 1 à chaque instant.

05Les trois calculs

Tout exercice de loi exponentielle se ramène à trois formes. Elles découlent toutes de R(t) = e^−λt.

🧰 Le formulaire complet

La question	La formule	Le sens
« fonctionne encore après t »	`P(T > t) = e^−λt`	la fiabilité R(t)
« tombe en panne avant t »	`P(T < t) = 1 − e^−λt`	la défaillance F(t)
« tombe en panne entre t₁ et t₂ »	`P(t₁ < T < t₂) = e^−λt₁ − e^−λt₂`	R(t₁) − R(t₂)

La troisième se retrouve sans l'apprendre : « tenir jusqu'à t₁ mais pas jusqu'à t₂ », c'est la différence des deux fiabilités.

L'exemple des ampoules — λ = 0,000 5

calcul

A : « l'ampoule fonctionne encore au bout de 1 000 heures »
P(A) = R(1000) = e^(−0,0005 × 1000) = e^(−0,5)  ≈ 0,606 5

B : « l'ampoule fonctionne encore au bout de 1 500 heures »
P(B) = R(1500) = e^(−0,0005 × 1500) = e^(−0,75) ≈ 0,472 4

C : « l'ampoule fonctionne encore au bout de 500 heures »
P(C) = R(500)  = e^(−0,0005 × 500)  = e^(−0,25) ≈ 0,778 8

⚠️ Vérifier les unités de λ

λ s'exprime dans l'inverse de l'unité de t. Ici λ = 0,000 5 h⁻¹ parce que t est en heures. Si l'énoncé donne une durée moyenne en minutes, λ est en min⁻¹ — et tous les t devront être en minutes.

Le produit λt doit être sans unité

C'est le contrôle le plus rapide d'un exercice de fiabilité : si λ est en h⁻¹ et t en minutes, le résultat est faux d'un facteur 60.

💡 Lire l'énoncé : « avant » ou « après » ?

Les deux formules ne diffèrent que par un « 1 − ». Le mot qui décide est dans l'énoncé :

L'énoncé dit	Événement	Formule
« fonctionne encore », « survit », « tient »	T > t	`e^−λt`
« tombe en panne », « périt », « grille »	T < t	`1 − e^−λt`
« a une durée de vie inférieure à »	T < t	`1 − e^−λt`
« dure au moins »	T ⩾ t = T > t	`e^−λt`

Contrôle de vraisemblance : pour un t grand, « fonctionne encore » doit être petit. Si vous trouvez 0,95 pour une durée trois fois supérieure à la moyenne, vous avez inversé les formules.

🧠 Auto-évaluation

Dans un jeu vidéo, la durée de vie T d'un monstre suit une loi exponentielle. Le jeu est programmé pour que la durée de vie moyenne soit de 10 minutes. Calculez la probabilité que le monstre soit encore en vie à la dixième minute et périsse avant la vingtième.

1. Trouver λ. La durée de vie moyenne est l'espérance, et E(T) = 1/λ (voir la section 7) :

calcul

E(T) = 10  →  1/λ = 10  →  λ = 0,1 min⁻¹

2. Traduire l'événement. « Encore en vie à la 10ᵉ minute ET périt avant la 20ᵉ » signifie que la panne survient entre 10 et 20 :

calcul

P(10 < T < 20) = R(10) − R(20)
               = e^(−0,1 × 10) − e^(−0,1 × 20)
               = e^(−1)        − e^(−2)
               = 0,367 9       − 0,135 3
               = 0,232 5   ≈ 0,23

Conclusion : environ 23 % des monstres meurent entre la dixième et la vingtième minute.

🧰 Les deux autres questions du même exercice

calcul

A : « encore en vie après 10 minutes »
P(A) = e^(−1) ≈ 0,37                     ← 37 % seulement

B : « périt avant 20 minutes »
P(B) = 1 − e^(−2) ≈ 0,86

Contrôle : P(C) = P(A) − (1 − P(B)) = 0,37 − 0,14 = 0,23 ✔ Les trois résultats sont cohérents entre eux.

Remarquez que seulement 37 % des monstres atteignent la durée de vie moyenne. C'est une propriété de la loi exponentielle : R(1/λ) = e⁻¹ ≈ 0,37, quel que soit λ. La moyenne n'est pas la médiane.

06La loi sans mémoire

C'est la propriété la plus surprenante du chapitre, et celle qui explique pourquoi la loi exponentielle convient à l'électronique et pas à la mécanique.

🧰 L'observation qui la révèle

Reprenons les ampoules. Quelle est la probabilité qu'une ampoule tienne 1 500 heures sachant qu'elle a déjà tenu 1 000 heures ?

calcul

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)

Or B (tenir 1500 h) implique A (tenir 1000 h) : A ∩ B = B

P_A(B) = P(B) / P(A)
       = e^(−0,75) / e^(−0,5)
       = e^(−0,75 + 0,5)
       = e^(−0,25)
       = 0,778 8

… ce qui est EXACTEMENT P(C) = R(500).

Autrement dit : qu'elle ait déjà brûlé 1 000 heures ou qu'elle sorte de sa boîte, la probabilité qu'une ampoule tienne 500 heures de plus est la même.

P_{(T > t₁)}(T > t₁ + t₂) = R(t₂) = P(T > t₂)

🧭 Pourquoi c'est mathématiquement inévitable

La propriété vient d'une seule règle sur les exponentielles :

e^a × e^b = e^a+b

calcul

R(t₁ + t₂) = e^(−λ(t₁ + t₂))
           = e^(−λt₁) × e^(−λt₂)
           = R(t₁) × R(t₂)

donc  P(T > t₁ + t₂) = P(T > t₁) × P(T > t₂)

et en divisant par P(T > t₁) :
      P_(T>t₁)(T > t₁ + t₂) = P(T > t₂)

La loi exponentielle est la seule loi continue à avoir cette propriété — et c'est précisément parce que l'exponentielle transforme les sommes en produits.

💡 Pourquoi l'électronique et pas la mécanique

« Sans mémoire » signifie : le matériel ne vieillit pas. Il ne s'use pas, il tombe en panne par accident, à un taux constant.

Adapté	Mal adapté
composants électroniques	pièces mécaniques
circuits intégrés, LED	roulements, courroies, pneus
panne accidentelle	panne par usure

Un roulement de 100 000 km est plus près de la panne qu'un roulement neuf : sa probabilité de survie dépend de son passé. La loi exponentielle ne sait pas modéliser cela — on emploie alors d'autres lois (Weibull, en fiabilité industrielle).

Le cours le dit en une phrase, et c'est une question d'oral classique : « la modélisation par une loi exponentielle est plutôt adaptée aux situations où les dispositifs ne subissent pas de défauts d'usure. »

⚠️ Le contre-sens à ne pas faire

« Sans mémoire » ne veut pas dire que l'appareil est éternel, ni que la probabilité de panne est nulle. Elle veut dire que le risque instantané de panne reste constant.

Sur un grand parc, le nombre d'appareils survivants diminue bien — mais parmi ceux qui restent, les vieux ne sont pas plus fragiles que les neufs.

07MTBF et espérance

E(T) = σ(T) = 1 / λ

🧰 Le MTBF, mot du métier

E(T) est la durée de vie moyenne du matériel. En fiabilité industrielle, elle porte un nom et un sigle que l'on retrouve sur toutes les fiches techniques :

MTBF = Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement
Mean Time Before Failure = 1 / λ

calcul — les ampoules

λ = 0,000 5 h⁻¹

MTBF = 1 / 0,000 5 = 2 000 heures

Une ampoule de ce lot dure en moyenne 2 000 heures.

Et l'écart-type vaut la même chose — σ(T) = 1/λ. C'est une particularité de la loi exponentielle : la dispersion est aussi grande que la moyenne, ce qui traduit une durée de vie très imprévisible d'un exemplaire à l'autre.

⚠️ La moyenne n'est pas la médiane

Le MTBF vaut 2 000 heures. Mais quelle proportion d'ampoules atteint réellement 2 000 heures ?

calcul

R(2000) = e^(−0,0005 × 2000) = e^(−1) = 0,367 9

Seulement 37 % des ampoules atteignent la durée de vie MOYENNE.

Ce n'est pas une contradiction : la loi est très asymétrique. Beaucoup d'ampoules grillent tôt, quelques-unes durent très longtemps, et ces dernières tirent la moyenne vers le haut.

R(1/λ) = e⁻¹ ≈ 0,37 — toujours, quel que soit λ

La médiane — la durée que la moitié des appareils dépasse — vaut ln 2 / λ ≈ 0,69/λ, soit environ 1 386 heures ici. Elle est toujours inférieure à la moyenne.

💡 λ, le taux de défaillance

λ s'interprète comme un taux de panne par unité de temps. Avec λ = 0,000 5 h⁻¹, on observe en moyenne 5 pannes pour 10 000 heures de fonctionnement cumulé.

λ grand → matériel fragile, MTBF court
λ petit → matériel fiable, MTBF long

Les deux quantités sont inverses l'une de l'autre : améliorer la fiabilité, c'est faire baisser λ. C'est le vocabulaire des fiches constructeur, et la raison pour laquelle un disque dur annoncé « MTBF 1,2 million d'heures » n'est pas garanti 136 ans — c'est un taux moyen sur un parc, pas une promesse sur un exemplaire.

08Retrouver λ

λ n'est pas toujours donné. Deux situations reviennent, et toutes deux se résolvent avec le logarithme népérien.

Cas 1 — on donne la durée de vie moyenne

E(T) = 1/λ → λ = 1 / E(T)

calcul — le temps d'attente au café

« Le temps d'attente moyen d'un client est égal à 4 minutes.
  Expliquer pourquoi on a alors λ = 0,25. »

E(T) = 1/λ  et  E(T) = 4

donc  1/λ = 4     →     λ = 1/4 = 0,25 min⁻¹

⚠️ « Expliquer pourquoi » demande la formule, pas le résultat

Ce type de question donne la valeur : le point porte sur la justification. Il faut citer E(T) = 1/λ et poser l'équation. Écrire « λ = 0,25 » seul ne rapporte rien.

Cas 2 — on donne une probabilité

C'est le cas le plus fréquent en examen, et il demande de « faire descendre » l'exposant avec le logarithme.

calcul — Y ↝ E_λ et P(Y > 8) = 0,7

P(Y > 8) = 0,7
e^(−8λ)  = 0,7

on applique ln aux deux membres :
ln(e^(−8λ)) = ln(0,7)
       −8λ  = ln(0,7)          ← car ln(e^x) = x
       −8λ  = −0,356 675
         λ  = 0,356 675 / 8
         λ  ≈ 0,044 6

🧰 Vérifier en remontant

calcul

e^(−8 × 0,044 6) = e^(−0,356 8) = 0,700 0    ✔

Cette vérification coûte une frappe sur la calculatrice et attrape les erreurs de signe — qui sont ici les plus fréquentes, puisque ln(0,7) est négatif.

Cas 3 — on cherche une durée

La question se retourne : au bout de combien de temps la probabilité de survie tombe-t-elle sous un seuil ?

calcul — « déterminer t tel que P(T > t) = 0,1 »

avec λ = 0,25 (le café)

e^(−0,25 t) = 0,1
     −0,25 t = ln(0,1) = −2,302 6
           t = 2,302 6 / 0,25
           t = 9,210 3 minutes

soit environ 9 minutes et 13 secondes.
(0,210 3 × 60 = 12,6 s)

⚠️ Convertir la partie décimale en secondes

9,210 3 minutes ne se lit pas « 9 minutes 21 ». La partie décimale se multiplie par 60 :

0,210 3 × 60 = 12,6 → 9 min 13 s

Même piège pour les heures. Quand l'énoncé demande « à la seconde près », c'est exactement cette conversion qui est testée.

💡 Le cas particulier de la demi-vie

Quand le seuil est 0,5, le résultat prend une forme remarquable :

calcul

P(T ⩽ m) = 0,5
1 − e^(−λm) = 0,5
    e^(−λm) = 0,5
       −λm  = ln(0,5) = −ln 2
          m = ln 2 / λ ≈ 0,693 / λ

Pour le monstre du jeu vidéo (λ = 0,1) : m = 0,693/0,1 ≈ 6,93 minutes. La moitié des monstres meurent avant 6,9 minutes, alors que la durée de vie moyenne est de 10 minutes. La médiane est bien inférieure à la moyenne.

09Opérations aX + b

Dernier point du chapitre, valable aussi bien en discret qu'en continu : que devient l'espérance quand on transforme la variable ?

E(aX + b) = a E(X) + b
V(aX + b) = a² V(X)

🧰 L'exemple des montres

Trois modèles à 10, 20 et 30 €, achetés dans les proportions 0,5 / 0,3 / 0,2. X est le prix catalogue de la montre vendue.

calcul — la variable de départ

E(X) = 10 × 0,5 + 20 × 0,3 + 30 × 0,2 = 5 + 6 + 6 = 17 €

V(X) = 10² × 0,5 + 20² × 0,3 + 30² × 0,2 − 17²
     = 50 + 120 + 180 − 289
     = 61

Promotion : −10 % sur tous les modèles, et 2 € de frais d'expédition. Le prix payé est Y = 0,9 X + 2.

calcul — par le tableau

valeurs de Y : 0,9×10+2 = 11    0,9×20+2 = 20    0,9×30+2 = 29
probabilités : inchangées        0,5 · 0,3 · 0,2

E(Y) = 11 × 0,5 + 20 × 0,3 + 29 × 0,2 = 5,5 + 6 + 5,8 = 17,3 €

calcul — par le théorème

E(Y) = 0,9 × E(X) + 2 = 0,9 × 17 + 2 = 15,3 + 2 = 17,3    ✔
V(Y) = 0,9² × V(X)    = 0,81 × 61    = 49,41              ✔

Les deux méthodes donnent le même résultat — et la seconde évite de reconstruire tout le tableau.

⚠️ Le « + b » disparaît dans la variance

E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX + b) = a²V(X) — pas de b

La raison est intuitive : ajouter 2 € à tous les prix décale la distribution sans la disperser davantage. L'écart entre deux montres reste le même. Seule la multiplication par 0,9 resserre les écarts — et elle le fait au carré.

Corollaire pour l'écart-type : σ(aX + b) = |a| × σ(X). La valeur absolue compte : un coefficient négatif retourne la distribution, mais la dispersion reste positive.

10La somme X + Y

Dernière opération du programme : additionner deux variables aléatoires. Deux représentants, A et B ; on veut le nombre total de contrats qu'ils obtiennent ensemble.

La loi conjointe

Quand deux variables sont observées en même temps, on ne donne plus une loi mais un tableau à double entrée : chaque case porte la probabilité que les deux évènements se produisent ensemble.

P(X = x et Y = y)	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
Y = 0	0,05	0,15	0,20	0,10
Y = 1	0,10	0,20	0,15	0,05

Les huit cases totalisent 1 : c'est le premier contrôle à faire.

🧰 Retrouver les lois de X et de Y — les « marges »

On additionne par colonne pour X, par ligne pour Y. D'où leur nom de lois marginales : elles se lisent dans la marge du tableau.

calcul

P(X = 0) = 0,05 + 0,10 = 0,15      P(Y = 0) = 0,05 + 0,15 + 0,20 + 0,10 = 0,50
P(X = 1) = 0,15 + 0,20 = 0,35      P(Y = 1) = 0,10 + 0,20 + 0,15 + 0,05 = 0,50
P(X = 2) = 0,20 + 0,15 = 0,35
P(X = 3) = 0,10 + 0,05 = 0,15

E(X) = 0(0,15) + 1(0,35) + 2(0,35) + 3(0,15) = 1,5     V(X) = 0,85
E(Y) = 0(0,50) + 1(0,50)                     = 0,5     V(Y) = 0,25

La loi de X + Y

X + Y prend ses valeurs dans {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}. Pour chaque total, on regroupe les cases qui y mènent.

calcul

X+Y = 0 : (0,0)                 → 0,05
X+Y = 1 : (1,0) ou (0,1)        → 0,15 + 0,10 = 0,25
X+Y = 2 : (2,0) ou (1,1)        → 0,20 + 0,20 = 0,40
X+Y = 3 : (3,0) ou (2,1)        → 0,10 + 0,15 = 0,25
X+Y = 4 : (3,1)                 → 0,05

contrôle : 0,05 + 0,25 + 0,40 + 0,25 + 0,05 = 1   ✔

E(X + Y) = 0(0,05) + 1(0,25) + 2(0,40) + 3(0,25) + 4(0,05) = 2
V(X + Y) = 4,9 − 2² = 0,9

⚠️ « Incompatibles » et « indépendants » ne veulent pas dire la même chose

C'est la confusion du chapitre, et elle décide de l'opération :

	Incompatibles	Indépendants
Définition	ne peuvent pas arriver ensemble	l'un n'influence pas l'autre
Ce qu'on en tire	`P(A ∪ B) = P(A) + P(B)`	`P(A ∩ B) = P(A) × P(B)`
On les emploie pour	« ou » — on additionne	« et » — on multiplie

Dans le calcul ci-dessus on additionne : c'est donc l'incompatibilité qui sert. « A obtient 1 contrat et B aucun » et « A n'en obtient aucun et B en obtient 1 » ne peuvent pas se produire en même temps.

🔧 Corrigé — le polycopié écrit « indépendants » là où il faut « incompatibles »

Le document justifie l'addition par : « les deux évènements sont indépendants, et donc ». C'est l'inverse de la propriété utilisée. L'indépendance sert à multiplier ; ici on additionne, donc on se sert de l'incompatibilité.

Le résultat, lui, est juste : 0,25. Seul le mot de justification est faux — mais c'est exactement ce qu'un correcteur vérifie dans une rédaction.

🔧 Corrigé — les deux termes sont intervertis

Le polycopié écrit P(X = 0 ∩ Y = 1) + P(X = 1 ∩ Y = 0) = 0,15 + 0,10. Or le tableau donne P(X = 0 ∩ Y = 1) = 0,10 et P(X = 1 ∩ Y = 0) = 0,15.

La somme ne change pas — 0,25 dans les deux cas — mais chaque terme est attribué au mauvais évènement. À recopier dans le bon ordre.

Espérance et variance d'une somme

E(X + Y) = E(X) + E(Y) toujours vrai
V(X + Y) = V(X) + V(Y) seulement si X et Y sont indépendantes

💡 Sur cet exemple, la variance trahit une dépendance

vérification

E(X) + E(Y) = 1,5 + 0,5 = 2       et  E(X + Y) = 2      ✔ identiques

V(X) + V(Y) = 0,85 + 0,25 = 1,1   et  V(X + Y) = 0,9    ✘ différentes

L'espérance s'additionne toujours. La variance, elle, ne s'additionne que si les variables sont indépendantes. Ici 0,9 ≠ 1,1 : X et Y ne sont donc pas indépendantes.

Le test direct le confirme :

test d'indépendance

P(X = 0 et Y = 0) = 0,05
P(X = 0) × P(Y = 0) = 0,15 × 0,50 = 0,075

0,05 ≠ 0,075   →  X et Y ne sont pas indépendantes

Le polycopié place pourtant cet exemple sous le titre « Variables aléatoires indépendantes ». Les deux représentants se partagent visiblement les mêmes clients : ce que l'un décroche, l'autre ne le décroche pas.

🤔 Comment vérifier en une ligne que deux variables sont indépendantes ?

Prendre une seule case du tableau et comparer :

P(X = x et Y = y) =? P(X = x) × P(Y = y)

Si l'égalité tombe en défaut sur une case, c'est fini : les variables ne sont pas indépendantes. En revanche, pour conclure qu'elles le sont, il faudrait vérifier toutes les cases.

Une seule case suffit à démontrer la dépendance ; il en faut huit pour démontrer l'indépendance. C'est le principe du contre-exemple.

11À l'examen

🧰 La structure type d'une partie « fiabilité »

Question	Attendu	Formule
1. Justifier que λ = …	citer `E(T) = 1/λ`	λ = 1/E(T)
2. Décrire un événement par une phrase	traduire (T < 3) en français	—
3. P(T < t) ou P(T > t)	la bonne formule + arrondi demandé	`1 − e^−λt` ou `e^−λt`
4. Déterminer t tel que P(T > t) = …	équation avec ln	t = −ln(p)/λ
5. MTBF et interprétation	1/λ + une phrase	E(T) = 1/λ

⚠️ Les cinq erreurs les plus coûteuses

Oublier le signe moins dans e^−λt — le résultat dépasse alors 1.
Confondre R et F : « fonctionne encore » c'est R, « tombe en panne » c'est 1 − R.
Mélanger les unités : λ en h⁻¹ avec un t en minutes.
Perdre le signe de ln : ln(0,7) est négatif, et le − du −λt le compense.
Transposer le glissement d'un cran du chapitre 08 : en continu, P(T < 3) = P(T ⩽ 3), il n'y a rien à décaler.

🧠 Auto-évaluation

Le temps d'attente T d'un client à la terrasse d'un café suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le temps d'attente moyen est de 4 minutes.

Expliquer pourquoi λ = 0,25.
Décrire l'événement (T < 3) par une phrase et déterminer sa probabilité, à 10⁻³.
Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes ? À 10⁻³.
Déterminer, à la seconde près, le temps t tel que P(T > t) = 0,1.

calcul — 1

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, on a E(T) = 1/λ.
L'énoncé donne E(T) = 4 minutes, donc :

1/λ = 4     →     λ = 1/4 = 0,25 min⁻¹

calcul — 2

(T < 3) : « le client est servi en moins de 3 minutes ».

P(T < 3) = 1 − e^(−0,25 × 3)
         = 1 − e^(−0,75)
         = 1 − 0,472 4
         = 0,527 6   ≈ 0,528

Environ 52,8 % des clients sont servis en moins de 3 minutes.

calcul — 3

« au moins 5 minutes » : T ⩾ 5, soit T > 5 (variable continue).

P(T ⩾ 5) = e^(−0,25 × 5)
         = e^(−1,25)
         = 0,286 5   ≈ 0,287

Environ 28,7 % des clients attendent au moins 5 minutes.

calcul — 4

P(T > t) = 0,1
e^(−0,25 t) = 0,1
    −0,25 t = ln(0,1) = −2,302 585
          t = 2,302 585 / 0,25
          t = 9,210 3 minutes

partie décimale : 0,210 3 × 60 = 12,6 s

t ≈ 9 minutes et 13 secondes.

10 % des clients attendent plus de 9 min 13 s.

Trois contrôles : 0,528 et 0,287 sont bien entre 0 et 1 ✔ ; attendre moins de 3 min (proche de la moyenne de 4) doit être un peu plus d'une chance sur deux — 0,528 est cohérent ✔ ; et t = 9,2 min est supérieur au MTBF de 4 min, ce qui est normal pour un seuil aussi bas que 10 % ✔