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DST & annales — méthodologie

Les sujets de BTS sont d'une régularité déconcertante : deux exercices, dix points chacun, et toujours les mêmes sept familles de questions. Les reconnaître, c'est déjà la moitié de la copie.

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Résumé flash

Un sujet = un exercice d'analyse (dérivée, signe, tableau de variations, équation f(x) = k) et un exercice de probabilités (arbre, probabilités totales, probabilité inverse, loi binomiale, loi normale ou exponentielle). Les deux se terminent par une interprétation dans le contexte — et c'est elle qui est systématiquement oubliée. Le barème paie la démarche autant que le résultat : une formule posée, un arbre dessiné, un réglage de calculatrice écrit valent des points même si le calcul se trompe ensuite.

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01Anatomie d'un sujet

Les trois sujets disponibles — le DST du semestre 2, le BTS blanc, et le sujet officiel de Métropole mai 2022 dont ils sont tirés — ont exactement la même architecture.

🧰 La structure constante

	Exercice 1	Exercice 2
Points	10	10
Domaine	analyse — étude de fonction	probabilités
Découpage	Partie A (graphique) · B (calcul) · C (interprétation)	Partie A · B · C, indépendantes
Chapitres mobilisés	03 · 04 · 06	07 · 08 · 09 · 10

💡 « Les trois parties sont indépendantes »

Cette phrase, écrite en tête de l'exercice 2, est une information stratégique : si la partie A résiste, on peut attaquer B et C sans elle et récupérer tous leurs points.

Elle se lit aussi à l'envers : une partie C qui redéfinit ses propres données (« on considère dans cette partie que la probabilité vaut 0,007 ») ne dépend pas du résultat trouvé en A — même s'il ressemble. Utiliser la valeur de A quand C en donne une autre est une erreur classique.

⚠️ Les deux exercices sont indépendants, mais pas leur durée

Deux heures pour vingt points, coefficient 3. Cela fait une heure par exercice — et la partie C d'analyse, celle qui interprète, tombe toujours à la fin, quand le temps manque. Or c'est la plus rentable : elle ne demande aucun calcul, seulement de traduire en français des résultats déjà obtenus.

Le réflexe : si le temps presse, lire les questions d'interprétation et y répondre avant de finir les calculs intermédiaires.

02Les sept familles

Sur les trois sujets disponibles, toutes les questions se rangent dans sept moules.

	Famille	On la reconnaît à…	Le chapitre
M1	Arbre & conditionnelles	« x % des … sont … », « sachant que », « parmi »	07
M2	Probabilités totales	on demande `P(D)` alors que D vient de plusieurs causes	07
M3	Probabilité inverse	« une carte défectueuse a été prélevée, quelle est la probabilité qu'elle vienne de A ? »	07
M4	Loi binomiale	« on prélève n … », « assimilé à un tirage avec remise », on compte	08
M5	Loi normale	« de moyenne μ et d'écart-type σ », on mesure	10
M6	Loi exponentielle	« durée de vie », « durée d'efficacité », « de paramètre λ »	09
M7	Étude de fonction complète	« justifier que f'(x) = … », « établir le tableau de variation »	03 + 04

🔗 Un sujet est un questionnaire à trous

Le contexte change — cartes mères, pare-feu, start-up, pneus, batteries de drones — mais les questions, elles, sont interchangeables. Apprendre les sept moules, c'est comme apprendre sept commandes Cisco : le réseau change, la syntaxe non.

C'est pourquoi refaire trois annales vaut mieux que relire trois fois le cours : on n'apprend pas des résultats, on apprend à reconnaître la famille en lisant l'énoncé.

03Le vocabulaire des consignes

Chaque verbe de l'énoncé impose une forme de réponse. Les confondre coûte des points même quand le calcul est juste.

Le verbe	Ce qu'on attend	Ce qui ne suffit pas
Calculer	le calcul posé + le résultat	le résultat seul, sorti de la calculatrice
Déterminer	une démarche, puis le résultat	une valeur annoncée sans justification
Justifier que…	le résultat est donné : il faut y aboutir	recopier le résultat de l'énoncé
Montrer que…	idem — la valeur est fournie	vérifier numériquement sans démontrer
En déduire	utiliser explicitement la question précédente	refaire le calcul depuis le début
Interpréter	une phrase en français, dans le contexte, avec l'unité	répéter le nombre
Démontrer que l'équation admet une unique solution	le tableau de variations + l'encadrement	la valeur trouvée à la calculatrice

💡 « Justifier que f'(x) = 80e⁻⁰′²ˣ(1 − 0,2x) » est un cadeau

Quand l'énoncé donne le résultat, deux choses sont vraies : le calcul est vérifiable en un coup d'œil (on sait où l'on doit tomber), et la suite du sujet ne dépend plus de vous — même si vous ratez la dérivée, vous pouvez utiliser la formule donnée pour toutes les questions suivantes.

C'est une construction volontaire des sujets de BTS : les questions sont désolidarisées pour qu'une erreur ne contamine pas toute la copie. Ne jamais abandonner une question parce que la précédente a échoué.

⚠️ La précision demandée est une consigne de méthode

L'énoncé dit	Ce qu'il veut dire
« sans calculatrice »	par les intervalles de fluctuation, les valeurs exactes
« arrondir au centième », « à 10⁻² »	on peut se contenter de 0,68 / 0,95 / 0,997
« arrondir à 10⁻³ », « au millième »	calculatrice obligatoire
« à 0,01 % près »	calculatrice, et convertir en pourcentage
« avec la précision permise par le graphique »	lecture graphique, traits de construction apparents

Répondre 0,158 655 à une question « au centième » n'est pas faux ; répondre 0,16 à une question « à 10⁻⁴ » l'est. Voir le chapitre 10, § 8.

04Ce que paie le barème

Un correcteur de BTS ne note pas une réponse : il note une chaîne. Sur une question à 2 points, la répartition typique est la suivante.

Répartition typique. Elle explique pourquoi une copie qui « sait faire » mais ne rédige pas plafonne à 12, et pourquoi une copie qui pose tout sans finir dépasse souvent 15.

🧰 Les gestes qui rapportent, même sans le résultat

Dessiner l'arbre pondéré avec toutes les branches complétées, même si on ne sait pas quoi en faire.
Écrire la formule avant de substituer : P_B(A) = P(A∩B)/P(B), puis les chiffres.
Écrire les quatre réglages de la calculatrice (Low, Up, μ, σ) — ils prouvent qu'on a identifié la loi.
Justifier la loi : « n épreuves identiques et indépendantes, deux issues » avant d'écrire B(30 ; 0,007).
Poser u, u', v, v' avant d'appliquer une formule de dérivation.
Conclure par une phrase, toujours, même si le nombre est faux.

💡 « Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte »

Cette phrase, qu'on trouve mot pour mot dans le sujet PNEUTOP (chapitre 10), n'est pas une formule de politesse : elle annonce une question où le tâtonnement est la méthode attendue.

Concrètement : écrire les essais. « P(Y > 480) = 0,023 — trop petit, je descends. P(Y > 475) = 0,048 — ça passe. P(Y > 474) = 0,055 — trop grand. Donc n = 475. » Trois lignes, tous les points.

05Le fil des probabilités

L'exercice 2 suit presque toujours la même progression : une situation à deux causes, puis un prélèvement, puis une mesure.

📐 M1 · L'arbre pondéré

Repérer la cause (1^er niveau : site A / site B, connexion malveillante / légitime) et la conséquence (2^e niveau : défectueuse ou non, détectée ou non).
Placer les probabilités : 1^er niveau = P(A), 2^e niveau = conditionnelles P_A(D).
Compléter par complémentarité : les branches issues d'un même nœud somment à 1.
Probabilité d'un chemin = produit des branches : P(A ∩ D) = P(A) × P_A(D).

⚠️ « 0,8 % des cartes de A sont défectueuses »

C'est P_A(D) = 0,008, pas P(A ∩ D). Le « des cartes de A » restreint l'univers : c'est une conditionnelle, elle va sur une branche du second niveau.

Et convertir : 0,8 % = 0,008, pas 0,8.

📐 M2 · Les probabilités totales

P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) = P(A)·P_A(D) + P(B)·P_B(D)

On multiplie le long d'une branche, on additionne les feuilles qui contiennent l'événement cherché. Ne jamais mélanger les deux opérations.

Condition d'usage : les causes doivent former une partition — toute carte vient de A ou de B, et pas des deux.

📐 M3 · La probabilité inverse

P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D)

On remonte l'arbre : on connaît la conséquence, on cherche la cause. Le numérateur est une feuille déjà calculée en M1, le dénominateur est le total de M2 — les deux questions précédentes servent de briques.

💡 Le résultat est souvent contre-intuitif — c'est voulu

Dans l'exercice du pare-feu, un système qui détecte 99 % des attaques et ne se trompe que 5 fois sur 1 000 n'a pourtant que 67 % de chances d'avoir raison quand il crie à l'attaque. Parce que les attaques sont rares (1 %) et les connexions légitimes très nombreuses : les faux positifs, même rares en proportion, sont nombreux en valeur absolue.

C'est exactement le problème des tests médicaux, des antivirus et des IDS. Les sujets de BTS CIEL adorent cette question — elle est corrigée en entier dans les exercices.

📐 M4 · La loi binomiale

Justifier avant de calculer — c'est la moitié des points de la question :

rédaction

L'expérience consiste à répéter n fois la même épreuve de Bernoulli.
Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   · succès : la carte est défectueuse, de probabilité p ;
   · échec  : elle ne l'est pas, de probabilité 1 − p.
Le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement
à un tirage AVEC REMISE : les épreuves sont indépendantes.

Conclusion :  X ↝ B(n ; p)

La phrase « le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise » n'est pas du décor : c'est l'énoncé qui vous offre l'hypothèse d'indépendance. Il faut la citer.

📐 M5 et M6 · Les lois continues

	Loi normale	Loi exponentielle
Signalée par	« moyenne μ et écart-type σ »	« durée de vie », « de paramètre λ »
On calcule	calculatrice, ou intervalles μ ± kσ	`P(T > t) = e^−λt`
Question type	« la plus grande valeur de k telle que P(Y > k) ⩾ 0,95 »	« déterminer λ », « la durée moyenne »
Piège	Casio inverse μ et σ	oublier le signe moins dans l'exposant

Dans les deux cas, ⩽ et < sont interchangeables : ce sont des lois continues, contrairement à la binomiale.

06Le fil de l'analyse

L'exercice 1 est presque toujours le même : une fonction modélisant un bénéfice ou un coût, à optimiser.

📐 M7 · L'étude de fonction, dans l'ordre

Partie A — lecture graphique. On lit le maximum, on résout f(x) = k à la règle. Laisser les traits de construction apparents : ils sont notés.
Dériver — souvent un produit avec une exponentielle, donc u'v + uv' puis factorisation.
Étudier le signe de f' — l'exponentielle étant toujours positive, le signe est celui du facteur polynomial.
Tableau de variations avec les valeurs aux bornes et à l'extremum.
Résoudre f(x) = k par balayage à la calculatrice.
Partie C — interpréter : revenir aux unités de l'énoncé (centaines d'ordinateurs, centaines d'euros).

🧰 Le balayage — démontrer qu'il y a une unique solution

C'est la seule question un peu technique de l'exercice 1, et elle se rédige toujours pareil.

rédaction

Sur [1 ; 5], f est continue et STRICTEMENT CROISSANTE
(d'après le tableau de variations).

f(1) ≈ 65,50  et  f(5) ≈ 147,15,  or  65,50 < 100 < 147,15.

Donc l'équation f(x) = 100 admet une UNIQUE solution sur [1 ; 5].
On l'appelle α.

Encadrement par balayage à la calculatrice :
   f(1)    ≈  65,50 < 100   et  f(2)    ≈ 107,25 > 100  →  1 < α < 2
   f(1,7)  ≈  96,80 < 100   et  f(1,8)  ≈ 100,47 > 100  →  1,7 < α < 1,8
   f(1,78) ≈  99,75 < 100   et  f(1,79) ≈ 100,11 > 100  →  1,78 < α < 1,79

Donc  α ≈ 1,78  (au centième).

Trois ingrédients obligatoires : la monotonie (lue sur le tableau), l'encadrement de k entre les deux valeurs extrêmes, et le balayage écrit. Donner directement « α ≈ 1,78 » sans les trois rapporte très peu.

⚠️ Les unités du modèle

« Si la start-up fabrique x centaines d'ordinateurs, le bénéfice en centaines d'euros est modélisé par f(x) ».

Le maximum f(5) ≈ 147,15 ne veut donc pas dire « 147 € » mais 14 715 €, obtenu pour 500 ordinateurs — pas 5. Et l'intervalle [1,78 ; 10,76] se traduit par entre 178 et 1 076 ordinateurs.

C'est l'erreur la plus fréquente de la partie C, et elle coûte tous les points de l'interprétation alors que le calcul était juste.

07Les contrôles de sortie

Six vérifications, dix secondes chacune. Elles attrapent l'essentiel des erreurs.

🧰 La check-list

Toute probabilité est entre 0 et 1. Un résultat de 1,4 ou de −0,2 est faux, sans discussion.
Les branches d'un nœud somment à 1 sur l'arbre.
Une probabilité inverse est cohérente : si la cause A produit 65 % du total et est plus souvent défectueuse, P_D(A) doit dépasser 0,65.
Dériver baisse le degré d'un cran, toujours.
Un maximum local est au-dessus d'un minimum local. Si le tableau dit l'inverse, une valeur est fausse.
Le résultat a un sens physique : un pourcentage ne dépasse pas 100, un nombre d'ordinateurs est entier, une durée est positive.

💡 Le contrôle n° 5 a attrapé une erreur dans une copie notée 20/20

Sur le contrôle « études de fonctions », une copie ayant obtenu 20/20 annonce, pour f(x) = x³ − 2x² + x − 1, un maximum local de −1,29 en x = 1/3 et un minimum local de −1 en x = 1.

Impossible : le maximum y est plus bas que le minimum. La cause est une erreur d'évaluation répétée quatre fois — le terme −2x² calculé comme −2x. Les vraies valeurs sont f(1/3) = −23/27 ≈ −0,85 et f(1) = −1, cette fois dans le bon ordre. Le détail est dans les exercices.

Ni l'élève ni le correcteur ne l'ont vue. Un tableau de variations se relit toujours de haut en bas : les flèches et les valeurs doivent raconter la même histoire.

08Les erreurs qui coûtent

⚠️ Les dix classiques, par ordre de fréquence

Oublier la phrase d'interprétation — c'est un quart des points de chaque question, et elle ne demande aucun calcul.
Confondre P_A(D) et P(A ∩ D) — « x % des cartes de A » est une conditionnelle.
Oublier les unités du modèle — « centaines d'ordinateurs », « centaines d'euros ».
Donner un résultat sans la formule qui l'a produit.
Ne pas justifier la loi binomiale avant de l'utiliser.
Sauter une question parce que la précédente a échoué — les parties sont indépendantes, et les résultats sont souvent donnés.
Se tromper d'arrondi — la précision demandée est une consigne.
Inverser μ et σ sur une calculatrice Casio.
Un tableau de variations sans valeurs, seulement des flèches.
Ne pas confronter les solutions au domaine pour une équation avec un logarithme.

📐 La stratégie des deux heures

10 min — lire les deux exercices en entier. Repérer les questions dont le résultat est donné, et les parties indépendantes.
45 min — l'exercice qui vous paraît le plus sûr, en entier, interprétations comprises.
45 min — le second exercice.
15 min — revenir aux questions laissées, écrire les interprétations manquantes, passer la check-list du § 7.

Le dernier quart d'heure est le plus rentable de l'épreuve : il ne contient que des points qui ne demandent aucun calcul.