Primitives et calcul intégral
Tout tient dans une seule idée : remonter la dérivée. La première moitié du chapitre apprend à le faire ; la seconde dit à quoi ça sert — calculer une aire, et calculer la moyenne d'une grandeur qui change en continu, ce qu'aucune somme divisée par le nombre de valeurs ne sait faire.
Résumé flash
F est une primitive de f lorsque F′ = f : la primitive
est ce qu'on dérivait pour obtenir f. Il n'y en a jamais une seule —
toutes diffèrent d'une constante K. Une intégrale, elle, est un
nombre, et le théorème fondamental le donne sans
mystère : ∫ab f(x) dx = [F(x)]ab
= F(b) − F(a), le K disparaissant par soustraction. Quatre familles de
primitives à connaître : xn → xn+1/(n+1),
eax → (1/a)eax,
eαx+β → (1/α)eαx+β et
u′/u → ln|u|. Enfin la valeur moyenne :
Vm = 1/(b−a) · ∫ab f, la hauteur
du rectangle qui a la même aire que la courbe.
🔑
#primitive #F'=f #constante-K
#integrale #theoreme-fondamental #F(b)-F(a)
#crochets #puissances #exponentielle
#u'-sur-u #ln #aire-sous-la-courbe
#unite-d-aire #valeur-moyenne
01L'idée : dériver à l'envers
Soit f définie sur un intervalle I. On dit que F est
une primitive de f sur I lorsque :
C'est tout. Il n'y a rien d'autre à comprendre : on cherche la fonction dont la dérivée est celle qu'on nous donne.
Dériver et primitiver sont deux opérations inverses, exactement comme multiplier et diviser.
| On part de | On dérive → | On primitive ← |
|---|---|---|
x² | 2x | de 2x, on remonte à x² |
x³ | 3x² | de 3x², on remonte à x³ |
ex | ex | de ex, on remonte à ex |
D'où la seule méthode de contrôle qui vaille : dérivez votre
réponse. Si vous retombez sur f, c'est juste. Vous n'avez besoin de
personne pour corriger.
À chaque primitive trouvée, faites le chemin inverse en une ligne :
Contrôle : (x³/3)′ = 3x²/3 = x² ✔
Trente secondes qui transforment une réponse incertaine en réponse démontrée. Écrivez-le sur la copie : c'est de la rédaction, pas du brouillon.
02La constante K
Une fonction n'a jamais une primitive, mais une famille entière. La raison tient en une ligne : la dérivée d'une constante est nulle.
Ces trois fonctions sont toutes des primitives de 2x. On les écrit d'un coup :
+ K coûte des points à chaque questionTant qu'on demande « une primitive », x² suffit. Dès qu'on
demande « l'ensemble des primitives » ou « les primitives », le
+ K fait partie de la réponse.
Lisez la question : une ou les. Un mot, un point.
Parce qu'on soustrait : (F(b) + K) − (F(a) + K) = F(b) − F(a). Le K s'en va
toujours. C'est la raison pour laquelle on ne l'écrit pas dans un calcul d'intégrale — et
pour laquelle on ne peut pas l'oublier là.
Preuve : (x²/2 + K)′ = 2x/2 + 0 = x ✔
Le réflexe : on monte l'exposant d'un cran (x → x²) puis on divise par le nouvel exposant (÷ 2). C'est exactement la formule de la section 4.
03Les primitives usuelles
| Fonction f(x) | Une primitive F(x) | Condition |
|---|---|---|
a constante | ax + K | — |
x | x²/2 + K | — |
xn | xn+1/(n+1) + K | n ≠ −1 |
ex | ex + K | — |
eax | (1/a)·eax + K | a ≠ 0 |
La primitivation, comme la dérivation, respecte l'addition et les facteurs constants :
une primitive de k·f est k·F
Donc une primitive de 3x² + 5 est 3·(x³/3) + 5x = x³ + 5x.
En revanche, il n'existe aucune règle pour un produit ou un
quotient. La primitive de f × g n'est pas F × G : c'est
le piège le plus fréquent du chapitre.
04Les puissances de x
L'exercice 1 du TD construit la formule au lieu de la donner. On dérive cinq fonctions, et la règle se lit dans le tableau obtenu.
| F(x) | F′(x) = f(x) | Ce qu'on en déduit |
|---|---|---|
1 | 0 | toute constante a pour dérivée 0 |
x | 1 | x est une primitive de 1 |
½x² | x | ½x² est une primitive de x |
⅓x³ | x² | ⅓x³ est une primitive de x² |
¼x⁴ | x³ | ¼x⁴ est une primitive de x³ |
La régularité saute aux yeux : l'exposant monte de 1, et l'on divise par ce nouvel exposant.
Avec α = −1 la formule donnerait x⁰/0 — une division par zéro. C'est
précisément le cas de f(x) = 1/x, dont la primitive est
ln|x| : la seule exception de toute la famille, et la raison pour laquelle le
logarithme existe.
Le chapitre de 1re année sur le logarithme prend ici tout son sens :
ln est exactement ce qui manque à cette formule.
α = 5, donc α + 1 = 6 : on monte l'exposant à 6 et on divise par 6.
Contrôle : (x⁶/6)′ = 6x⁵/6 = x⁵ ✔
05Les exponentielles
Même démarche dans l'exercice 2 : on dérive six fonctions et la formule apparaît.
| F(x) | F′(x) = f(x) |
|---|---|
ex | ex |
½e2x | e2x |
⅓e3x | e3x |
−e−x | e−x |
−½e−2x | e−2x |
100e0,01x | e0,01x |
Dériver eax donne a·eax : la dérivation
ajoute un facteur a. Pour remonter, il faut donc
l'annuler — d'où le 1/a.
La dernière ligne du tableau le montre de façon spectaculaire :
1/0,01 = 100. Le coefficient 100 n'est pas tombé du ciel.
Vérifiez toujours : (½e2x)′ = ½ × 2 × e2x = e2x ✔
Une primitive de e−x est (1/(−1))·e−x =
−e−x, et non e−x.
Le signe « moins » du coefficient est la faute la plus fréquente sur ce chapitre — et elle inverse le résultat de l'intégrale.
06Le préalable : dériver une composée
Le cours le dit sans détour : il n'y a pas de « règle automatique » pour trouver une primitive. On la reconnaît. Et on ne reconnaît que ce qu'on sait dériver — d'où ce rappel, qui est la vraie clé des deux sections suivantes.
| f | f′ |
|---|---|
ln x | 1/x |
ln u | u′/u |
ex | ex |
eu | u′·eu |
Trois lignes, toujours les mêmes, et l'exercice se rédige tout seul :
f(x) = ln(2x − 1)
On pose : u(x) = 2x − 1 donc u′(x) = 2
f = ln u donc f′ = u′/u
f′(x) = 2 / (2x − 1) sur Df = ]½ ; +∞[Le domaine n'est pas un détail décoratif : ln exige un
argument strictement positif, donc 2x − 1 > 0, donc
x > ½.
Même mécanique avec un produit, où la règle (uv)′ = u′v + uv′ se combine à
la composée :
f(x) = (0,5x − 4) · e^(−0,5x)
u(x) = 0,5x − 4 donc u′(x) = 0,5
v(x) = e^(−0,5x) donc v′(x) = −0,5 · e^(−0,5x)
f = uv donc f′ = u′v + uv′
f′(x) = 0,5·e^(−0,5x) + (0,5x − 4)·(−0,5·e^(−0,5x))
= 0,5·e^(−0,5x) · (1 − (0,5x − 4))
f′(x) = 0,5·(−0,5x + 5)·e^(−0,5x)Une dérivée laissée sous la forme 0,5e^(−0,5x) + (0,5x−4)(−0,5e^(−0,5x))
est juste, mais inexploitable : on ne peut pas en lire le signe. Comme
equelque chose > 0 toujours, une fois l'exponentielle
mise en facteur, le signe de la dérivée est celui du facteur restant —
un polynôme, dont le signe se lit d'un coup d'œil.
C'est la question 1.b de presque toutes les annales : « étudier le signe de f′ ». Elle est gratuite si l'on a factorisé, pénible sinon.
07Les exponentielles eαx+β
Le chapitre 12 donnait eax → (1/a)eax. La forme
complète en découle, et elle couvre tout ce qui tombe en annale.
Le β ne change rien : il est constant, sa dérivée est nulle,
le facteur qui sort en dérivant reste α. Seul le coefficient de
x compte.
La démonstration tient en une ligne, et c'est celle qu'on écrit sur la copie :
F(x) = −½ · e^(−2x+3)
u(x) = −2x + 3 donc u′(x) = −2
F = −½ e^u donc F′ = −½ · u′ · e^u
F′(x) = −½ × (−2) × e^(−2x+3)
F′(x) = e^(−2x+3) ✔ F est bien une primitive de e^(−2x+3)Pour f(x) = e−0,1x, la primitive est
(1/−0,1)e−0,1x = −10e−0,1x.
Le moins n'est pas une faute de recopie : il vient de 1/α avec
α négatif. L'oublier change le signe du résultat final, donc l'aire.
Le facteur 2 sort de l'intégrale :
I = 2 ∫₀¹⁰ e^(−0,1x) dx
f(x) = e^(−0,1x) a pour primitives F(x) = (1/−0,1)·e^(−0,1x) + K = −10e^(−0,1x) + K
I = 2 · (F(10) − F(0))
= 2 · (−10e^(−1) − (−10e⁰))
= −20(e^(−1) − 1)
= −20(1/e − 1)
I ≈ 12,64 u.a. (à 10⁻²)Rappel utile : e−1 = 1/e1 = 1/e ≈ 0,3679.
Le résultat est positif parce que 1/e − 1 est négatif — deux signes
moins qui se répondent.
08Le logarithme : la forme u′/u
C'est le manque annoncé au chapitre 12, et il se comble d'une seule ligne — lue à
l'envers, la dérivée de ln u est la formule de primitive.
Cas particulier, celui qu'on rencontre en premier :
La fraction est rarement offerte sous la bonne forme. La méthode : regarder le dénominateur, le dériver, et comparer au numérateur.
| f(x) | u | u′ | Une primitive |
|---|---|---|---|
2/(2x+1) | 2x+1 | 2 | ln|2x+1| |
2x/(x²+1) | x²+1 | 2x | ln(x²+1) |
5ex/(1+5ex) | 1+5ex | 5ex | ln(1+5ex) |
−2e−0,1x/(1+20e−0,1x) | 1+20e−0,1x | −2e−0,1x | ln(1+20e−0,1x) |
Le dernier cas paraît hostile ; il ne l'est pas.
(1+20e−0,1x)′ = 20 × (−0,1) × e−0,1x = −2e−0,1x,
qui est exactement le numérateur. Dérivez toujours le dénominateur avant de
conclure que l'exercice est infaisable.
La formule générale s'écrit ln|u|, parce que ln n'accepte pas
d'argument négatif. On n'a le droit de retirer les barres que si l'on a
montré que u > 0 sur l'intervalle de travail.
C'est le cas dans les trois dernières lignes du tableau : x²+1 ⩾ 1,
et une exponentielle est toujours strictement positive. Ce n'est pas le cas de
2x+1, qui change de signe en −½.
09L'intégrale est un nombre
Le cours l'écrit en toutes lettres, et c'est la phrase à retenir :
L'intégrale d'une fonction f sur un intervalle [a ; b] est un
nombre, qui peut s'interpréter comme une sorte de « somme » de toutes
les valeurs f(x) pour x variant de a à
b. Ce nombre est noté :
Le symbole ∫ est en fait la lettre S déformée — S comme somme. Ce n'est pas une décoration : c'est l'étymologie du signe.
Pour connaître votre moyenne de maths, vous additionnez vos notes et vous divisez par leur nombre. C'est possible parce qu'il y en a un nombre fini.
Maintenant, la température d'une salle serveur entre 8 h et 18 h. Elle change en continu : entre deux instants, il y en a toujours un troisième. On ne peut ni les compter ni les additionner. L'intégrale est précisément l'outil qui fait cette « somme » d'une infinité de valeurs — et qui rend un nombre fini au bout.
Le dx qui traîne à la fin n'est pas un ornement. Il porte un nom :
l'élément différentiel. Il dit selon quelle variable on somme, et il
redevient utile dès qu'il y en a plusieurs. En BTS, il sert surtout de repère :
∫ f(t) dt intègre par rapport au temps, ∫ f(x) dx
par rapport à une longueur ou à une quantité.
Un nombre : ici 2. Les bornes 0 et 2 « consomment » la variable — elle disparaît du résultat.
Test infaillible : s'il reste un x dans votre réponse, vous
avez écrit une primitive, pas une intégrale.
10Le théorème fondamental
Il peut paraître inattendu que le calcul d'une aire passe par une dérivée. C'est pourtant tout le programme de BTS, et c'est ce théorème qui fait le pont :
Si F désigne une primitive de f sur
[a ; b], c'est-à-dire une fonction F telle que
F′(x) = f(x) pour tout x ∈ [a ; b], alors :
Pour des raisons de lisibilité, le réel F(b) − F(a) se note aussi
[F(x)]ab.
Le polycopié écrit d'abord que la primitive est la notion « inverse » de la dérivée, puis le mot est rayé à la main. La rature a raison, et il vaut la peine de dire pourquoi : une fonction a une seule dérivée, mais une infinité de primitives, toutes séparées d'une constante. Une correspondance qui va dans un sens et pas dans l'autre n'est pas une inverse.
Le mot juste est réciproque à une constante près. Et c'est
exactement pour cela que le + K existe.
Dans F(b) − F(a), la constante se soustrait avec elle-même et s'annule :
on peut donc prendre n'importe quelle primitive. C'est pourquoi on ne
l'écrit pas dans un calcul d'intégrale.
Mais dès que la question dit « déterminer les primitives » ou « l'ensemble des primitives », l'oublier coûte des points — c'est la réponse qui devient fausse, pas la présentation.
I₂ = ∫₀² x³ dx
f(x) = x³ a pour primitives F(x) = ¼x⁴ + K
I₂ = F(2) − F(0)
= (¼ × 2⁴ + K) − (¼ × 0⁴ + K) ← les deux K se soustraient
= 4 − 0
= 4 u.a.11Calculer une intégrale
Une fois la primitive trouvée, le calcul est une simple soustraction.
- Trouver une primitive F de f — sans le K, il disparaîtra.
- Écrire les crochets :
[F(x)]avec les bornes. - Soustraire : F(borne du haut) − F(borne du bas).
Toujours dans cet ordre, toujours écrit en entier. Un jury corrige la méthode autant que le résultat.
C'est F(haut) − F(bas). Inverser change le signe du résultat, et un correcteur le repère immédiatement — une aire ne peut pas être négative quand la courbe est au-dessus de l'axe.
Contrôle de bon sens : si f est positive sur [a ; b] et que votre
intégrale sort négative, c'est le sens de la soustraction qu'il faut revoir.
Une primitive de x³ : F(x) = x⁴/4
∫₀² x³ dx = [x⁴/4]₀²
= 2⁴/4 − 0⁴/4
= 16/4 − 0
= 4Contrôle : (x⁴/4)′ = 4x³/4 = x³ ✔
12L'aire sous la courbe, et l'unité d'aire
Le calcul précédent n'est pas qu'une gymnastique : lorsque f est
positive sur [a ; b], l'intégrale mesure exactement
l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses — plus
précisément la surface limitée par la courbe, l'axe, et les deux droites verticales
d'équation x = a et x = b.
∫02 x dx = 2. Vérifions sans aucun calcul
d'intégrale : la courbe de f(x) = x est une droite, la surface sous elle
entre 0 et 2 est un triangle de base 2 et de hauteur 2, donc d'aire
(2 × 2)/2 = 2. ✔
Chaque fois que la fonction est affine, vous pouvez recalculer l'intégrale à la main. Faites-le : c'est trente secondes, et cela attrape un signe oublié.
Le résultat d'une intégrale s'exprime en unités d'aire : une u.a. est l'aire du rectangle bâti sur une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Tant que le repère n'a pas d'unité physique, on ne peut pas dire mieux.
Dans une annale, en revanche, les axes ont un sens — des minutes, des mégapascals, des centaines d'euros. L'interprétation vaut des points, et elle est toujours demandée.
Sur un intervalle où la courbe passe sous l'axe, l'intégrale compte cette portion négativement. Une intégrale nulle ne veut donc pas dire « aucune aire » : elle peut vouloir dire « autant au-dessus qu'en dessous ».
Dans les annales de BTS, les fonctions modélisent des quantités physiques positives. Vérifiez-le une fois, dites-le en une ligne, et le problème disparaît.
13La valeur moyenne
C'est la notion nouvelle du chapitre, et celle que le cours annonce dès sa première phrase : l'intégrale sert à calculer la moyenne d'une quantité qui évolue de façon continue.
On somme toutes les valeurs (c'est l'intégrale), puis on divise par la
« taille » de l'ensemble sur lequel on fait la moyenne — c'est-à-dire par la longueur
b − a de l'intervalle. Exactement comme une moyenne ordinaire.
Il existe une lecture géométrique, et c'est la plus utile : Vm est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a exactement la même aire que la surface sous la courbe.
Versez la surface sous la courbe dans un bac large de b − a : le niveau
auquel elle se stabilise, c'est la valeur moyenne. Ce qui dépasse comble ce qui manque.
Exemple 1 — valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 10]
F(x) = ½x²
Vₘ = 1/(10 − 0) · ∫₀¹⁰ x dx
= (1/10) · (½ × 10² − ½ × 0²)
= (1/10) × 50
Vₘ = 5
Exemple 2 — valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 10]
F(x) = x³/3
Vₘ = (1/10) · ∫₀¹⁰ x² dx
= (1/10) · (10³/3 − 0³/3)
= (1/10) × 1000/3
Vₘ = 100/3 ≈ 33,33Sur [0 ; 10], la fonction x va de 0 à 10 régulièrement : sa
moyenne est le milieu, 5. ✔
La fonction x² va de 0 à 100, mais elle reste longtemps petite avant de
s'envoler. Sa moyenne doit donc être nettement sous 50 : 33,33 est
cohérent, 50 aurait dû alerter.
Parce que cette formule ne regarde que les deux bouts et ignore tout ce qui se passe entre. Elle ne serait juste que si la fonction était affine.
Contre-exemple immédiat, avec x² sur [0 ; 10] :
(0 + 100)/2 = 50, alors que la vraie valeur moyenne est
100/3 ≈ 33,33. L'écart est de 50 %.
C'est exactement ce que l'intégrale apporte : elle tient compte de toutes les valeurs, pas des extrémités.
14Ce qui manque encore
Ce chapitre est écrit à partir de deux cours successifs. Le premier donnait la primitive et l'intégrale ; le second y a ajouté le logarithme, les exponentielles composées et la valeur moyenne. Trois points du programme ne sont dans aucune des deux sources, et ils sont dits ici plutôt que comblés en silence.
| Attendu au programme | État |
|---|---|
| Primitive de 1/x → ln|x|, et la forme u′/u | traité — section 8 |
| Primitives de eαx+β | traité — section 7 |
| Valeur moyenne d'une fonction | traité — section 13 |
| Primitives de sin et cos | absent des sources |
| Intégration par parties | absent des sources |
| Aire entre deux courbes | absent des sources |
Une fiche dit ce qu'elle ne couvre pas plutôt que de deviner. À compléter dès que la suite du cours sera donnée.
Les trois annales des exercices suivent toutes le même plan : étude de fonction, puis primitive, puis valeur moyenne, puis interprétation. Le calcul intégral n'y apparaît jamais seul — il arrive après une dérivée, un tableau de variation et un théorème des valeurs intermédiaires.
Autrement dit : réviser ce chapitre sans réviser les chapitres 4 (dérivées) et 6 (logarithme et exponentielle) ne sert à rien. C'est la même question, en trois parties.
La calculatrice du site
reprend le clavier et les applications de la machine. Dans son application
Fonctions, le menu calculer propose « une intégrale » :
on donne les bornes a et b, et l'aire apparaît hachurée
sous la courbe. Pratique pour vérifier une primitive trouvée à la
main — et elle rappelle que l'aire est algébrique, ce qui est sous l'axe
comptant en négatif.
Attention : l'épreuve se passe avec la vraie machine. Un outil qui s'ouvre dans un navigateur sert à réviser, pas à remplacer l'entraînement au clavier physique — et il ne remplace surtout pas le calcul exact, qui est ce qu'on vous demande de savoir poser.