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Statistiques — une et deux variables

Deux chapitres en un. Le premier résume une série de nombres par deux valeurs : la moyenne et l'écart-type. Le second cherche un lien entre deux séries, et s'en sert pour prévoir. Les exercices · La fiche · Le QCM

📌

Résumé flash

Une variable : la moyenne dit où est le centre, l'écart-type dit si la série est groupée ou dispersée, et l'intervalle [x̄−σ ; x̄+σ] contient la grande majorité de la population.

Deux variables : si r est proche de 1 ou de −1, le nuage est quasi aligné et on peut poser une droite dessus — y = ax + b — qui sert à prévoir.

Et si le nuage monte trop vite : on pose y = ln C, on ajuste cette série-là, et on revient par C = e^y.

🔑 #moyenne #ecart-type #centre-de-classe #intervalle-1-sigma #nuage-de-points #correlation #moindres-carres #regression #calcul-previsionnel #changement-de-variable #ajustement-exponentiel #arrondis

01 Deux statistiques, pas une

Le mot « statistiques » recouvre deux questions qui n'ont rien à voir, et c'est la première chose à savoir trier en devoir.

Ce que chaque moitié du chapitre cherche
Une variable	Deux variables
Une seule mesure, prise sur beaucoup d'individus : la distance domicile-lycée de 250 étudiants.	Deux mesures prises sur les mêmes individus : l'âge et la taille d'un enfant, mois après mois.
Question : à quoi ressemble cette série ? Où est son centre, est-elle groupée ou étalée ?	Question : ces deux mesures sont-elles liées ? Et si oui, peut-on deviner l'une à partir de l'autre ?
Outils : la moyenne `x̄`, l'écart-type `σ`.	Outils : le coefficient `r`, la droite `y = ax + b`.

Un sujet d'examen donne presque toujours un tableau à deux lignes pour la seconde question et à deux lignes aussi pour la première — valeurs et effectifs. Ce qui les distingue : dans une série à une variable, la seconde ligne compte des individus (« nb d'étudiants ») ; dans une série à deux variables, elle mesure autre chose (« taille en cm »).

02 La moyenne pondérée

Quand une valeur revient plusieurs fois, on ne l'écrit pas plusieurs fois : on note son effectif. La moyenne tient compte de ce poids.

calcul

        n1 x1 + n2 x2 + ... + np xp        1
   x = ------------------------------  =  --- Σ ni xi       ← n = Σ ni
                    n                      n

C'est la même moyenne que d'habitude : on additionne toutes les valeurs — chacune autant de fois qu'elle apparaît — et on divise par le nombre total d'individus.

⚠️ Diviser par le bon nombre

On divise par n, l'effectif total, pas par le nombre de colonnes du tableau. Sept colonnes et 250 étudiants : c'est 250 le diviseur.

03 Des classes : on prend le centre

Souvent le tableau ne donne pas des valeurs mais des intervalles : « de 0 à 2 km », « de 2 à 4 km ». On ne sait donc pas ce que vaut chaque mesure. La règle est posée une fois pour toutes :

🛠️ La règle du centre de classe

Lorsque les valeurs se présentent sous forme d'intervalles, on prend le centre des intervalles.

calcul

   centre de [a ; b]  =  (a + b) / 2

Exemple : [0 ; 2[ donne 1, [10 ; 14[ donne 12, [14 ; 20[ donne 17. Attention, les classes n'ont pas toutes la même largeur — on recalcule chaque centre, on ne continue pas une suite.

Ce centre devient le xi de la formule précédente, et tout le reste suit comme si le tableau avait donné des valeurs exactes.

🤔 Pourquoi a-t-on le droit de faire ça ?

On ne l'a pas, à la rigueur : le centre est une approximation. Elle se justifie en supposant les valeurs réparties à peu près uniformément dans chaque classe — ce qui est raisonnable quand les classes sont étroites. Le résultat est donc approché, et c'est pour cela qu'un énoncé dit toujours « à 10⁻¹ près » ou « à 1 % près ».

04 L'écart-type : ce qu'il mesure

Deux classes peuvent avoir la même moyenne et n'avoir rien à voir : l'une où tout le monde est à 10, l'autre où la moitié est à 0 et l'autre à 20. La moyenne ne dit rien de l'étalement. L'écart-type, si.

On mesure la distance de chaque valeur à la moyenne, on l'élève au carré pour que les écarts négatifs ne compensent pas les positifs, et on en prend la moyenne : c'est la variance. Sa racine carrée est l'écart-type, qui a l'avantage d'être dans la même unité que les données.

calcul

            1
   V(x) = --- Σ ni (xi − x)²            ← la variance, en unite²
            n

   σ  = √ V(x)                           ← l'ecart-type, dans l'unite des donnees

💡 Ce qu'il faut retenir, et ce qu'on ne calcule jamais à la main

Plus l'écart-type est élevé, plus la série est dispersée (hétérogène). Plus il est petit, plus elle est groupée (homogène).

En BTS, il est donné par la calculatrice. La formule est là pour comprendre ce que le nombre veut dire, pas pour être appliquée sur sept classes à la main.

05 L'intervalle à un écart-type

C'est l'intervalle [x̄ − σ ; x̄ + σ], et sa propriété est ce qui rend l'écart-type utile :

🛠️ « Intervalle à 1σ »

Dans cet intervalle, on trouve une grande majorité de la population — de l'ordre de 2/3 à 3/4.

Une question d'examen classique : calculer le pourcentage d'individus qui s'y trouvent, et constater qu'il tombe bien dans cette fourchette.

La méthode en devoir, dans l'ordre :

calcul

   1.  x  et  σ          ← la calculatrice
   2.  x − σ  et  x + σ  ← arrondis COMME L'ENONCE le demande
   3.  on lit dans le tableau les classes qui tombent dedans
   4.  on additionne leurs effectifs, on divise par n, x 100

⚠️ Arrondir les bornes change les classes retenues

Avec x̄ = 6,25 et σ = 4,21, les bornes valent 2,04 et 10,46. Arrondies à l'unité : [2 ; 10]. Si on avait arrondi vers le haut — [3 ; 11] — on changerait la liste des classes, donc le résultat. L'arrondi demandé fait partie de la question.

06 La calculatrice, et ses DEUX écarts-types

La marche à suivre, sur une Casio Graph :

calcul

   MENU  ->  STAT
   EDIT  ->  List 1 : les valeurs xi      (les CENTRES de classe s'il y a des classes)
             List 2 : les effectifs ni
   CALC  ->  SET   : 1Var XList = List 1,  1Var Freq = List 2
   CALC  ->  1VAR  : la calculatrice affiche x, σx, sx, n ...

⚠️ Deux lignes ressemblent à l'écart-type. Une seule est la bonne

L'écran affiche σx et sx. Ce ne sont pas des doublons :

calcul

   σx  =  √( (1/n)     Σ ni (xi − x)² )     ← celui du cours : on divise par n
   sx  =  √( (1/(n−1)) Σ ni (xi − x)² )     ← l'estimation sur un echantillon

Sur la série des 250 distances, σx = 4,20 et sx = 4,21 : dix millièmes d'écart, invisibles — jusqu'au jour où le barème les distingue. La définition du cours est celle de σx, et c'est celle qu'on prend, sauf énoncé qui dit explicitement le contraire.

Plus n est grand, plus les deux se rapprochent : diviser par 249 ou par 250 ne change presque rien. Sur une série de 12 valeurs, en revanche, l'écart devient visible — 2,74 contre 2,86.

07 Deux variables : le nuage de points

On a maintenant deux mesures par individu. Chaque individu devient un point (xi ; yi), et l'ensemble s'appelle le nuage de points.

Le nuage se trace avant tout calcul, et il répond déjà à la question : est-ce aligné ? Le coefficient r ne fera que chiffrer ce que l'œil voit.

⚠️ Les échelles sont données, et elles ne sont pas les mêmes sur les deux axes

« 2 cm pour 1 en x, 1 cm pour 10 000 en C » : c'est une consigne de construction, pas un détail. Un nuage tracé à une autre échelle a une autre allure — et comme la question suivante demande souvent « quelle allure ? », l'échelle fait partie de la réponse.

08 Le coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation linéaire, noté r, mesure à quel point le nuage est aligné. Il vaut toujours entre −1 et 1, et la calculatrice le donne en même temps que la droite.

calcul

   r = +1   les points sont EXACTEMENT sur une droite croissante
   r = −1   ... sur une droite decroissante
   r =  0   aucune tendance lineaire

   |r| proche de 1  ->  l'ajustement affine est legitime

🛠️ La phrase à écrire, et elle rapporte des points

Un énoncé ne demande jamais seulement la valeur : il demande d'interpréter. La formule attendue, mot pour mot :

« r est très proche de 1, donc la corrélation linéaire entre x et y est très forte : on peut envisager une régression linéaire (ajustement affine). »

⚠️ Corrélation n'est pas causalité

r dit que deux séries varient ensemble. Il ne dit pas que l'une cause l'autre. L'âge d'un enfant ne « cause » pas sa taille au sens où on pourrait la fixer ; les deux suivent la croissance. En devoir, on écrit « lien linéaire fort », jamais « donc x provoque y ».

🤔 r = −0,98 : la corrélation est-elle faible ?

Non, elle est très forte. C'est |r| qui mesure la force ; le signe ne dit que le sens. −0,98 décrit un nuage presque parfaitement aligné, et décroissant. L'ajustement affine est tout aussi légitime qu'avec +0,98.

09 La droite de régression

Une fois r jugé suffisant, on pose sur le nuage la droite qui le résume : la droite de régression de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.

🔗 Pourquoi « moindres carrés »

Parmi toutes les droites possibles, on garde celle qui rend la somme des carrés des écarts verticaux la plus petite. Les carrés, encore : comme pour la variance, ils empêchent un écart au-dessus de compenser un écart en dessous, et ils pénalisent lourdement les points très éloignés.

calcul

   MENU -> STAT, List 1 : les xi, List 2 : les yi
   CALC -> SET  : 2Var XList = List 1, 2Var YList = List 2
   CALC -> REG -> X  ->  ax+b

   la calculatrice rend  a,  b   et  r

⚠️ « de y en x » n'est pas « de x en y »

L'énoncé précise toujours le sens, et les deux droites sont différentes : l'une minimise les écarts verticaux, l'autre les écarts horizontaux. « Droite de régression de y en x » veut dire y = ax + b — y s'exprime en fonction de x.

Les coefficients s'arrondissent comme l'énoncé le demande, en général à 10⁻² : on écrit y = 0,94x + 62,32, et on précise « a et b arrondis à 10⁻² ».

10 Le calcul prévisionnel

C'est à cela que sert la droite : deviner une valeur qu'on n'a pas mesurée. Deux questions, et elles se traitent dans deux sens opposés.

Les deux sens d'une même droite
La question	Ce qu'on fait
« Quelle taille à 3 ans ? »	`x` est connu (36 mois) : on remplace et on calcule `y`.
« À quel âge mesure-t-on 75 cm ? »	`y` est connu : on résout l'équation `0,94x + 62,32 = 75`.

calcul

   0,94 x + 62,32 = 75
   0,94 x         = 75 − 62,32
   0,94 x         = 12,68
        x         = 12,68 / 0,94
        x         = 13,5   a 10⁻¹ pres        ← soit 13 mois et demi

⚠️ Une unité se convertit AVANT de remplacer

La série donne l'âge en mois. « 3 ans » doit donc devenir 36, pas 3. Remplacer x par 3 donne 65 cm — la taille d'un nourrisson de trois mois, ce qui devrait alerter.

Et le résultat se relit : une réponse de 13,5 mois pour 75 cm est cohérente ; une réponse de 13,5 ans ne l'aurait pas été.

💡 Jusqu'où a-t-on le droit de prévoir ?

La droite a été construite sur des âges de 6 à 33 mois. L'utiliser à 36 mois est raisonnable : on prolonge à peine. L'utiliser à 300 mois (25 ans) annoncerait 343 cm. Le modèle n'est valable que près de l'intervalle observé, et un énoncé qui demande une prévision lointaine attend souvent qu'on le dise.

11 Le piège des arrondis

C'est le point du chapitre qui coûte le plus de points, et il tient en une phrase : dans une exponentielle, un arrondi se paie cher.

Sur le calcul prévisionnel d'un hôtel — mêmes données, deux chemins, tous deux écrits au tableau :

calcul

   y7 = 0,41 x 7 + 8,06 = 10,93

   chemin A : on arrondit y7 a 10⁻¹      chemin B : on garde 10,93
      y7 = 10,9                             C7 = e^10,93
      C7 = e^10,9 = 54 176 €                C7 = 55 826 €

                        ecart : 1 650 €

⚠️ 1 650 € d'écart, et aucune faute de calcul

Les deux chemins sont corrects ligne par ligne. L'écart vient d'un seul arrondi, à trois centièmes près, placé avant l'exponentielle — qui l'amplifie. e^10,93 vaut 3 % de plus que e^10,9, et 3 % de 55 000 €, cela fait 1 650 €.

La règle : on arrondit le plus tard possible, et surtout jamais juste avant une exponentielle — sauf si l'énoncé le demande explicitement.

🛠️ Quand l'énoncé impose l'arrondi, il fait partie de la réponse

Un sujet d'examen écrit par exemple : « α sera arrondie à 10⁻¹ et β à 10⁻² ». Alors β = 0,0207 devient 0,02, et c'est avec 0,02 qu'on finit le calcul — même si 0,021 serait plus précis.

calcul

   avec β = 0,02  (impose)   : ρ = 5,0 x e^(0,02 x 35)  = 10,1 millions
   avec β = 0,021 (plus juste) : ρ = 5,0 x e^(0,021 x 35) = 10,4 millions

Trois dixièmes de million, soit 300 000 habitants, pour un millième sur β. Le barème attend la valeur demandée : on suit l'énoncé, on ne fait pas mieux que lui.

12 Quand le nuage n'est pas droit : le changement de variable

Parfois le nuage monte de plus en plus vite : il n'a pas une allure rectiligne, mais une allure exponentielle. Poser une droite dessus n'aurait aucun sens. La parade est un changement de variable.

L'idée tient en une propriété du logarithme : il transforme une croissance multiplicative en croissance additive. Si C est de la forme α e^βx, alors ln C = ln α + βx — une droite.

🛠️ Les quatre étapes, toujours les mêmes

calcul

   1.  on POSE          y = ln C          ← et on remplit la ligne des yi
   2.  on AJUSTE       (x ; y) par la droite des moindres carres :  y = ax + b
   3.  on PREVOIT      y7 = a x 7 + b
   4.  on REVIENT      C7 = e^(y7)                ← changement de variable a l'envers

Le retour repose sur e^{ln C} = C : l'exponentielle défait exactement ce que le logarithme a fait.

💡 L'autre écriture, celle que demande l'examen

Au lieu de prévoir une valeur, un sujet demande souvent d'exprimer C en fonction de x sous la forme C = α e^βx. C'est la même chose, écrite autrement :

calcul

   y = ax + b   et   C = e^y

   C = e^(ax + b)  =  e^b x e^(ax)        ← e^(u+v) = e^u x e^v

   donc   α = e^b     et     β = a

Sur l'exemple de l'hôtel : b = 8,06 donne α = e^8,06 = 3 165,29 et β = 0,41. La forme C = 3 165,29 e^0,41x redonne bien 55 826 € — c'est le chemin B de la section précédente, celui qui n'arrondit rien en route.

🤔 Pourquoi ln et pas une autre transformation ?

Parce que c'est celle qui redresse exactement une exponentielle. ln(α e^βx) = ln α + βx : le résultat est une fonction affine de x, sans approximation. Pour un nuage en forme de puissance (y = αx^β), c'est un autre changement qu'il faudrait — ln sur les deux variables. On choisit la transformation d'après l'allure observée, pas au hasard.

13 Récap en 2 minutes

⚡ Une variable

Classes → centres. (a+b)/2, chaque classe à son tour.

x̄ dit où est le centre, σ dit si c'est groupé. Plus σ est grand, plus c'est dispersé.

[x̄−σ ; x̄+σ] contient 2/3 à 3/4 de la population.

σx et sx sur la calculatrice : le cours, c'est σx.

⚡ Deux variables

Tracer le nuage d'abord, aux échelles données.

r proche de ±1 → « la corrélation linéaire est très forte : on peut envisager un ajustement affine ».

y = ax + b par les moindres carrés ; on remplace pour prévoir y, on résout pour retrouver x.

Nuage courbe → y = ln C, on ajuste, puis C = e^y.

Les arrondis : le plus tard possible — sauf si l'énoncé les impose, auquel cas ils font partie de la réponse.

La suite logique du chapitre, ce sont les quatre exercices corrigés : une série à classes, une régression simple, deux séries comparées par une inéquation, et un sujet d'examen complet avec changement de variable.