Les quatre exercices du cours, question par question, avec la rédaction attendue. Chaque valeur a été recalculée depuis les séries brutes — et l'une d'elles ne correspondait pas au corrigé d'origine. Le cours · La fiche
Le tableau donne la distance parcourue par les étudiants de BTS pour se rendre à leur lycée.
| distance (km) | [0 ; 2[ | [2 ; 4[ | [4 ; 6[ | [6 ; 8[ | [8 ; 10[ | [10 ; 14[ | [14 ; 20[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| centre xi | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 12 | 17 |
| nb d'étudiants ni | 32 | 50 | 59 | 48 | 24 | 19 | 18 |
1. Déterminer l'effectif total de la population étudiée.
n = 32 + 50 + 59 + 48 + 24 + 19 + 18 = 250C'est ce 250 qui servira de dénominateur à tous les pourcentages de l'exercice.
2. Donner, en pourcentage de l'effectif total, le nombre d'étudiants parcourant moins de 6 km, puis plus de 10 km.
Moins de 6 km, ce sont les trois premières classes ; plus de 10 km, les deux dernières.
moins de 6 km : (32 + 50 + 59) / 250 x 100 = 141 / 250 x 100 = 56,4 %
plus de 10 km : (19 + 18) / 250 x 100 = 37 / 250 x 100 = 14,8 %La classe [6 ; 8[ commence à 6 : ses étudiants parcourent 6 km ou
plus, ils ne sont donc pas « à moins de 6 km ». Les crochets disent exactement
où couper, et c'est leur seule raison d'être.
3. Calculer la moyenne et l'écart-type, puis le pourcentage d'étudiants parcourant une distance située dans [x̄ − σ ; x̄ + σ].
La calculatrice, avec les centres en List 1 et les effectifs en List 2 :
x = 6,25 (6,252 exactement)
σ = 4,21 (σx = 4,2043 ; sx = 4,2127 -> voir l'encart)D'où les bornes de l'intervalle :
x − σ = 6,25 − 4,21 = 2,04 = 2 a 1 pres
x + σ = 6,25 + 4,21 = 10,46 = 10 a 1 pres
[x − σ ; x + σ] = [2 ; 10]Les classes dont le centre tombe dans [2 ; 10] sont celles de centres 3, 5, 7 et 9 :
(50 + 59 + 48 + 24) / 250 x 100 = 181 / 250 x 100 = 72,4 %La somme de ses propres effectifs donne 181, et
181 / 250 = 0,724, soit 72,4 % — donc
72 % à 1 % près, pas 73 %. Les effectifs retenus sont les bons,
c'est la division qui a glissé d'un dixième.
Rien d'autre ne change : la conclusion du cours tient toujours, puisque 72,4 % est bien « une grande majorité », entre les 2/3 (66,7 %) et les 3/4 (75 %) annoncés.
La définition du cours — V = (1/n) Σ ni(xi − x̄)² — donne
σx = 4,2043, soit 4,20. La valeur
4,21 est sx, l'autre ligne de l'écran, où l'on
divise par n − 1 : 4,2127.
Ici cela ne change rien — les deux donnent les mêmes bornes
arrondies, donc le même intervalle [2 ; 10]. Mais il faut savoir
laquelle des deux lignes on lit : le cours définit σx.
La taille moyenne d'un enfant entre 6 et 33 mois. x est
l'âge en mois, y la taille en centimètres.
| x (mois) | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y (cm) | 66 | 71 | 74 | 77 | 80 | 83 | 85 | 88 | 90 | 92 |
1. Déterminer la valeur du coefficient de corrélation linéaire obtenu par la méthode des moindres carrés, et interpréter ce résultat.
r = 0,9939 a 10⁻⁴ presLa rédaction attendue, et elle vaut des points à elle seule :
« r est très proche de 1, donc la corrélation linéaire entre
x et y est très forte : on peut envisager une
régression linéaire (ajustement affine). »
Donner la valeur sans l'interpréter, c'est répondre à la moitié de la question — l'énoncé dit « et interpréter ce résultat ».
2. Donner l'équation de la droite de régression linéaire de y en x. a et b seront arrondis à 10−2.
a = 0,9374 -> 0,94
b = 62,3212 -> 62,32
y = 0,94 x + 62,32« De y en x » impose le sens :
y s'écrit en fonction de x. L'autre droite — de
x en y — est une droite différente.
3. a) Quelle est la taille moyenne d'un enfant de 3 ans ? b) À quel âge la taille moyenne d'un enfant est-elle de 75 cm ?
a) 3 ans, c'est 36 mois — la série est en mois.
y = 0,94 x 36 + 62,32
y = 33,84 + 62,32
y = 96,16
soit 96 cm a 1 cm presb) Cette fois y est connu : on résout.
0,94 x + 62,32 = 75
0,94 x = 12,68
x = 12,68 / 0,94
x = 13,4894...
soit 13,5 mois a 10⁻¹ presOublier la conversion : remplacer x par 3 au lieu
de 36 donne 65,1 cm — la taille d'un nouveau-né, pour un enfant de trois ans.
Un résultat se relit.
Remplacer au lieu de résoudre en b) : la question donne une
taille, pas un âge. On ne peut pas « remplacer x par 75 ».
L'évolution de 1955 à 1995 de l'espérance de vie des hommes et des
femmes en France. x est le rang de l'année à partir de
1955.
| Année | 1955 | 1965 | 1975 | 1985 | 1995 |
|---|---|---|---|---|---|
| rang x | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
| hommes h | 65 | 67,5 | 69 | 71,3 | 73 |
| femmes f | 71,2 | 74,4 | 76,9 | 79,4 | 82 |
2. et 3. Pour chacune des deux séries : déterminer le coefficient de corrélation linéaire avec x, l'interpréter, puis donner l'équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés.
hommes : r = 0,997 a 10⁻³ h = 0,198 x + 65,2
femmes : r = 0,999 a 10⁻³ f = 0,266 x + 71,46Dans les deux cas, la même phrase : r est très proche de 1, donc la
corrélation linéaire est très forte, et l'ajustement affine est légitime.
0,266 > 0,198 : l'espérance de vie des femmes augmente
plus vite que celle des hommes. Les deux droites divergent —
et c'est exactement ce que la question suivante va chiffrer.
4. a) Donner une estimation de l'espérance de vie des hommes et des femmes en 2000.
2000, c'est le rang x = 45 (2000 − 1955).
h = 0,198 x 45 + 65,2 = 8,91 + 65,2 = 74,11 ans
f = 0,266 x 45 + 71,46 = 11,97 + 71,46 = 83,43 ans
ecart : 83,43 − 74,11 = 9,32 ansLe rang se calcule par rapport à l'année d'origine du tableau, pas à l'année en cours. Une erreur de rang décale toute la fin de l'exercice.
4. b) À partir de quelle année l'écart entre les deux espérances de vie dépassera-t-il 10 ans ?
L'écart s'écrit comme une fonction de x : on soustrait les deux droites,
et on résout l'inéquation.
f − h > 10
(0,266 x + 71,46) − (0,198 x + 65,2) > 10
0,266 x − 0,198 x + 71,46 − 65,2 > 10
0,068 x + 6,26 > 10
0,068 x > 3,74
x > 3,74 / 0,068
x > 55Le rang 55 correspond à 1955 + 55 = 2010.
−(0,198x + 65,2) donne −0,198x − 65,2. Oublier le
second donne 0,068x + 136,66 > 10, vrai pour tout
x — et une réponse « dès 1955 » qu'on devrait trouver suspecte.
Et ici on divise par 0,068, qui est
positif : le sens de l'inégalité ne change pas. Il changerait
si le coefficient était négatif — c'est la seule chose à surveiller dans une
inéquation.
Un institut de recherche démographique a établi l'évolution de la
population d'une grande ville. t désigne le rang de l'année,
ρ l'effectif de la population en millions d'habitants.
| rang ti | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif ρi | 5 | 5,6 | 6,1 | 6,8 | 7,6 | 8,4 |
On renonce à un ajustement affine pour une série de points : on effectue le changement
de variable yi = ln ρi.
1. Compléter le tableau dans lequel les valeurs approchées sont arrondies à 10−3.
t | 0 5 10 15 20 25
ρ | 5 5,6 6,1 6,8 7,6 8,4
y=lnρ| 1,609 1,723 1,808 1,917 2,028 2,128Une seule touche à chaque fois : ln appliqué à la valeur de
ρ. C'est la ligne sur laquelle portera tout le reste de l'exercice —
une erreur ici se propage jusqu'à la dernière question.
2. et 3. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série (ti ; yi), arrondi à 10−3, puis l'équation de la droite de régression de y en t sous la forme y = at + b, a et b arrondis à 10−3.
r = 0,999 a 10⁻³ pres
y = 0,021 t + 1,610r est calculéLe coefficient porte sur (t ; y), pas sur (t ; ρ).
C'est tout l'intérêt du changement de variable : le nuage d'origine n'est pas
rectiligne, le nuage transformé l'est — et r = 0,999 le prouve.
4. En déduire une expression de ρ en fonction de t de la forme ρ = α eβt, où la constante α sera arrondie à 10−1 et la constante β à 10−2.
On défait le changement de variable, puis on sépare l'exponentielle en deux.
y = ln ρ <=> ρ = e^y
ρ = e^(0,021 t + 1,610)
ρ = e^1,610 x e^(0,021 t) ← e^(u+v) = e^u x e^v
ρ = 5,0 x e^(0,02 t) ← α = e^1,610 = 5,0028 -> 5,0
β = 0,021 -> 0,02L'énoncé demande β à 10−2 :
0,021 devient 0,02. Ce n'est pas un
détail de présentation — la question suivante en dépend, et les deux valeurs ne
donnent pas la même population.
5. À l'aide du résultat précédent, donner une estimation de l'effectif de la population l'année de rang 35, arrondie à 10−1.
ρ = 5,0 x e^(0,02 x 35)
ρ = 5,0 x e^0,7
ρ = 5,0 x 2,0138
ρ = 10,07
soit 10,1 millions d'habitants a 0,1 pres5,0 × e0,021 × 35 = 10,43 : trois dixièmes de million
d'écart, soit 330 000 habitants, pour un millième sur
β. L'exponentielle amplifie tout ce qu'on lui donne.
Ce n'est pas une raison pour « faire mieux que l'énoncé » : le barème attend la valeur obtenue avec les arrondis demandés. Mais il faut savoir que l'écart existe, et d'où il vient — c'est exactement la même mécanique que les 1 650 € de l'hôtel, dans le cours.