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Primitives et calcul intégral — exercices

Quatre TD pour installer les formules, puis trois annales entières, puis six sujets type contrôle. Les annales comptent double : elles montrent que l'intégrale n'arrive jamais seule, mais toujours après une dérivée et un tableau de variation.

📌

Comment s'en servir

Chaque correction est repliée. Cherchez d'abord, ouvrez ensuite : une correction lue avant d'avoir essayé ne laisse aucune trace. Les trois annales et les six sujets se traitent en conditions d'épreuve — énoncé seul, calculatrice, et le temps indiqué.

🔑 #primitives #puissances #exponentielle #u'-sur-u #ln #annales #valeur-moyenne #TVI #tableau-de-variation

01Primitives des fonctions puissances

1Dériver, puis interpréter Facile

Dans chaque cas, calculer la dérivée f_i de la fonction F_i indiquée, puis interpréter le résultat en termes de primitive de f_i :

F₁(x) = 1 F₂(x) = x F₃(x) = ½x² F₄(x) = ⅓x³ F₅(x) = ¼x⁴

✅ Correction

F_i(x)	Calcul de la dérivée	f_i(x)	Interprétation
`1`	dérivée d'une constante	`0`	`1` est une primitive de `0`
`x`	`(x)′ = 1`	`1`	`x` est une primitive de `1`
`½x²`	`½ × 2x = x`	`x`	`½x²` est une primitive de `x`
`⅓x³`	`⅓ × 3x² = x²`	`x²`	`⅓x³` est une primitive de `x²`
`¼x⁴`	`¼ × 4x³ = x³`	`x³`	`¼x⁴` est une primitive de `x³`

🧰 Le coefficient est toujours « celui qui annule »

Regardez la colonne du calcul : le ½ annule le 2 qui descend de x², le ⅓ annule le 3 de x³, le ¼ annule le 4 de x⁴. Les fractions de l'énoncé ne sont pas là pour compliquer : elles sont là pour que la dérivée tombe juste.

C'est toute l'idée de la formule à trouver en question 2.

2En déduire la formule générale Moyen

En déduire une formule générale donnant une primitive F de f(x) = x^α, où α est un réel différent de −1.

✅ Correction

F(x) = x^α+1 / (α + 1) + K, α ≠ −1

Démonstration. On dérive la formule proposée et on doit retomber sur x^α :

calcul

F(x) = x^(α+1) / (α+1)

F′(x) = (α+1) · x^(α+1−1) / (α+1)      ← la dérivée de x^n est n·x^(n−1)
      = (α+1) · x^α / (α+1)
      = x^α                             ✔

Contrôle sur la question 1 : pour α = 2, la formule donne x³/3 — c'est bien F₄. Pour α = 0, elle donne x¹/1 = x — c'est bien F₂, primitive de x⁰ = 1.

⚠️ Pourquoi la formule exclut α = −1

Avec α = −1, le dénominateur α + 1 vaut 0 : la formule n'a plus de sens. C'est exactement le cas f(x) = 1/x, dont la primitive est ln|x|.

Ce n'est pas une restriction arbitraire de l'énoncé : c'est une division par zéro. Sachez le dire ainsi en contrôle.

3Application : calculer deux intégrales Facile

I₁ = ∫₀² x dx I₂ = ∫₀² x³ dx

✅ Correction

calcul — I₁

f(x) = x = x¹         donc α = 1
F(x) = x^(1+1)/(1+1) = x²/2

I₁ = [x²/2]₀²
   = 2²/2 − 0²/2
   = 4/2 − 0
   = 2

calcul — I₂

f(x) = x³             donc α = 3
F(x) = x^(3+1)/(3+1) = x⁴/4

I₂ = [x⁴/4]₀²
   = 2⁴/4 − 0⁴/4
   = 16/4 − 0
   = 4

💡 I₁ = 2 se vérifie sans intégrale

Entre 0 et 2, la droite y = x délimite un triangle rectangle de base 2 et de hauteur 2. Son aire vaut 2 × 2 / 2 = 2.

C'est la seule intégrale du TD que la géométrie sait confirmer : profitez-en pour valider votre compréhension du mécanisme.

🧰 La borne 0 simplifie tout

Quand la borne basse est 0 et que la primitive est une puissance de x, F(0) = 0. La soustraction disparaît et il ne reste que F(b).

Écrivez quand même la ligne − F(0) : elle montre que vous connaissez la méthode. Ce n'est gratuit qu'une fois écrit.

02Primitives des fonctions exponentielles

4Dériver six exponentielles Moyen

F₁(x) = e^x F₂(x) = ½e^2x F₃(x) = ⅓e^3x F₄(x) = −e^−x F₅(x) = −½e^−2x F₆(x) = 100e^0,01x

✅ Correction

On utilise à chaque ligne la dérivée composée (e^ax)′ = a·e^ax.

F_i(x)	Calcul	f_i(x)
`e^x`	`1 × e^x`	`e^x`
`½e^2x`	`½ × 2 × e^2x`	`e^2x`
`⅓e^3x`	`⅓ × 3 × e^3x`	`e^3x`
`−e^−x`	`−1 × (−1) × e^−x`	`e^−x`
`−½e^−2x`	`−½ × (−2) × e^−2x`	`e^−2x`
`100e^0,01x`	`100 × 0,01 × e^0,01x`	`e^0,01x`

⚠️ Les deux signes moins de la ligne 4

(−e^−x)′ : un moins vient du coefficient, l'autre de l'exposant. (−1) × (−1) = +1 — le résultat est +e^−x.

Un seul des deux oublié, et la primitive a le signe inverse. Écrivez les deux facteurs, ne les faites pas de tête.

💡 La ligne 6 est la plus parlante

100 × 0,01 = 1. Le coefficient 100 de F₆ est exactement 1 / 0,01 : c'est la formule de la question suivante, écrite d'avance.

5En déduire la formule générale Moyen

En déduire une formule générale donnant une primitive F de f(x) = e^ax, où a est un réel non nul.

✅ Correction

F(x) = (1/a) · e^ax + K, a ≠ 0

Démonstration.

calcul

F(x) = (1/a) · e^(ax)

F′(x) = (1/a) · a · e^(ax)      ← la dérivation fait descendre le a
      = e^(ax)                   ✔

Contrôle sur la question 1 : a = 2 donne ½e^2x (= F₂) · a = −1 donne −e^−x (= F₄) · a = 0,01 donne 100e^0,01x (= F₆). Les six lignes du tableau sont des cas particuliers de cette seule formule.

⚠️ Pourquoi a ≠ 0

Si a valait 0, le 1/a serait une division par zéro. Et la fonction elle-même deviendrait e⁰ = 1, une constante — dont la primitive est x, pas une exponentielle.

6Application : trois intégrales Moyen

I₁ = ∫₀¹ e^2x dx I₂ = ∫₀² e^x/2 dx I₃ = ∫₀¹⁰ 2e^0,1x dx

Les trois exposants sont positifs — énoncé vérifié sur la feuille de la copie A.

✅ Correction

calcul — I₁

f(x) = e^(2x)          donc a = 2
F(x) = (1/2) · e^(2x)

I₁ = [½e^(2x)]₀¹
   = ½e² − ½e⁰
   = ½(e² − 1)
   ≈ ½(7,389056 − 1)
   ≈ 3,194528

calcul — I₂

f(x) = e^(x/2)         donc a = 1/2
F(x) = (1 / (1/2)) · e^(x/2) = 2 e^(x/2)

I₂ = [2e^(x/2)]₀²
   = 2e^(1) − 2e⁰
   = 2e − 2
   = 2(e − 1)
   ≈ 2(2,718282 − 1)
   ≈ 3,436564

calcul — I₃

f(x) = 2e^(0,1x)       donc a = 0,1, et le facteur 2 sort de l'intégrale
F(x) = 2 × (1 / 0,1) · e^(0,1x) = 20 e^(0,1x)

I₃ = [20e^(0,1x)]₀¹⁰
   = 20e^(1) − 20e⁰
   = 20(e − 1)
   ≈ 20 × 1,718282
   ≈ 34,365637

🧰 I₃ vaut exactement dix fois I₂ — et ce n'est pas un hasard

Les deux intégrales valent c × (e − 1) : l'exposant atteint exactement 1 à la borne haute dans les deux cas (2/2 = 1 et 0,1 × 10 = 1), donc e¹ des deux côtés. Seul le coefficient devant diffère : 2 pour I₂, 20 pour I₃.

Intégrale	Forme exacte	Valeur approchée
I₁	½(e² − 1)	≈ 3,194528
I₂	2(e − 1)	≈ 3,436564
I₃	20(e − 1)	≈ 34,365637

Un contrôle gratuit : si I₃ ne vaut pas 10 × I₂, l'un des deux est faux. Les bornes ont été choisies pour cela.

💡 Pourquoi la question 1 fait dériver des exposants négatifs

Les trois intégrales ont toutes un exposant positif. Alors à quoi servent F₄ = −e^−x et F₅ = −½e^−2x de la question 1 ?

À couvrir le cas général. La formule demandée en question 2 vaut pour tout réel a non nul — négatif compris. Sans ces deux lignes, on pourrait croire qu'elle ne marche que pour a > 0, et rater le double signe moins de (−e^−x)′.

Et l'exposant négatif reviendra : c'est le cas de la loi exponentielle, où e^−λt décrit une durée de vie.

⚠️ e⁰ = 1, pas 0

À la borne 0, e^a×0 = e⁰ = 1. Le terme − F(0) ne disparaît donc pas, contrairement aux primitives de puissances de l'exercice 1.

C'est la faute la plus fréquente du passage puissances → exponentielles : on garde le réflexe « la borne 0 annule tout ». Ici, elle vaut 1.

03Primitives par le logarithme

1Dériver, puis interpréter Facile

Calculer la dérivée de chaque fonction, puis interpréter le résultat en termes de primitive. En déduire une formule générale donnant une primitive de f(x) = 1/(x + α), où α est un réel fixé.

F₁(x) = ln x F₂(x) = ln(x + 1) F₃(x) = ln(x − 2)

✅ Correction

F_i(x)	Dérivée	Interprétation
`ln x`	`1/x`	`ln x` est une primitive de `1/x` sur `]0 ; +∞[`
`ln(x + 1)`	`1/(x + 1)`	primitive de `1/(x+1)` sur `]−1 ; +∞[`
`ln(x − 2)`	`1/(x − 2)`	primitive de `1/(x−2)` sur `]2 ; +∞[`

Dans les trois cas u′ = 1, donc (ln u)′ = u′/u = 1/u. D'où la formule générale :

f(x) = 1/(x + α) → F(x) = ln|x + α| + K

Les barres de valeur absolue ne sont pas un ornement : elles étendent la formule à l'intervalle où x + α est négatif. On ne les retire que si l'on a montré que x + α > 0.

2Reconnaître la forme u′/u Moyen

Interpréter la formule de dérivation (ln u)′ = u′/u en termes de primitive, puis en déduire dans chaque cas une primitive F_i de la fonction f_i :

f₁(x) = 2/(2x + 1) f₂(x) = 2x/(x² + 1) f₃(x) = 5e^x/(1 + 5e^x) f₄(x) = −2e^−0,1x/(1 + 20e^−0,1x)

✅ Correction

La lecture à l'envers de (ln u)′ = u′/u donne : toute fonction de la forme u′/u admet ln|u| pour primitive. La méthode est donc toujours la même — dériver le dénominateur, et vérifier qu'on retombe sur le numérateur.

f_i(x)	u	u′	F_i(x)
`2/(2x+1)`	`2x + 1`	`2`	`ln\|2x + 1\| + K`
`2x/(x²+1)`	`x² + 1`	`2x`	`ln(x² + 1) + K`
`5e^x/(1+5e^x)`	`1 + 5e^x`	`5e^x`	`ln(1 + 5e^x) + K`
`−2e^−0,1x/(1+20e^−0,1x)`	`1 + 20e^−0,1x`	`−2e^−0,1x`	`ln(1 + 20e^−0,1x) + K`

Le quatrième cas, en détail — c'est celui qui fait peur, et il ne demande qu'une dérivation :

calcul

u(x) = 1 + 20e^(−0,1x)
u′(x) = 20 × (−0,1) × e^(−0,1x)
u′(x) = −2e^(−0,1x)          ← exactement le numérateur

donc f₄ = u′/u  et  F₄(x) = ln(1 + 20e^(−0,1x)) + K

Pourquoi pas de valeur absolue sur les trois derniers ? x² + 1 ⩾ 1, et une exponentielle est toujours strictement positive : les trois dénominateurs sont positifs partout. Seul 2x + 1 change de signe, en −½.

04Primitives diverses

3Tout le formulaire d'un coup Moyen

Déterminer, dans chaque cas, une primitive F_i de la fonction f_i indiquée :

f₁(x) = x + 1 f₂(x) = 2x − 3 f₃(x) = 6x² − 2x + 4 f₄(x) = 2e^−x

f₅(x) = 5e^0,01x f₆(x) = 1/(2x + 1) f₇(x) = e^x/(1 + 2e^x)

✅ Correction

f_i(x)	Une primitive F_i(x)	Contrôle : F′ = f
`x + 1`	`½x² + x`	`(½x²+x)′ = x + 1` ✔
`2x − 3`	`x² − 3x`	`(x²−3x)′ = 2x − 3` ✔
`6x² − 2x + 4`	`2x³ − x² + 4x`	`(2x³−x²+4x)′ = 6x² − 2x + 4` ✔
`2e^−x`	`−2e^−x`	`(−2e^−x)′ = −2×(−1)e^−x = 2e^−x` ✔
`5e^0,01x`	`500e^0,01x`	`(500e^0,01x)′ = 500×0,01×e^0,01x = 5e^0,01x` ✔
`1/(2x + 1)`	`½·ln\|2x + 1\|`	`½ × 2/(2x+1) = 1/(2x+1)` ✔
`e^x/(1 + 2e^x)`	`½·ln(1 + 2e^x)`	`½ × 2e^x/(1+2e^x) = e^x/(1+2e^x)` ✔

⚠️ Les deux derniers demandent un facteur de rattrapage

Pour 1/(2x+1), le numérateur vaut 1 alors que u′ = 2 : la forme u′/u n'est donc pas donnée telle quelle. On écrit 1/(2x+1) = ½ × 2/(2x+1) et le ½ se traîne jusqu'à la primitive. Même mécanique pour f₇, où u′ = 2e^x vaut le double du numérateur.

Écrire ln|2x+1| sans le ½ est l'erreur la plus fréquente du TD. Le contrôle par dérivation la trouve immédiatement — elle donne 2/(2x+1), soit le double de ce qu'on voulait.

Le 500 de f₅ surprend, mais c'est bien 1/0,01. Un coefficient minuscule dans l'exposant produit un facteur énorme devant la primitive.

05Pour s'entraîner davantage

Quatre calculs supplémentaires, dans l'esprit du TD. Ils ne viennent pas de l'énoncé du professeur : ils sont ajoutés pour l'entraînement, et signalés comme tels.

7Quatre primitives à trouver Facile

Donner une primitive de chacune de ces fonctions, puis vérifier en dérivant.

f(x) = 3x² + 5 g(x) = x⁵ h(x) = 4e^2x k(x) = 7

✅ Correction

Fonction	Une primitive	Contrôle par dérivation
`3x² + 5`	`x³ + 5x`	`3x² + 5` ✔
`x⁵`	`x⁶/6`	`6x⁵/6 = x⁵` ✔
`4e^2x`	`2e^2x`	`2 × 2 × e^2x = 4e^2x` ✔
`7`	`7x`	`7` ✔

Pour 4e^2x : le facteur 4 reste devant, et la formule donne 4 × (1/2) e^2x = 2e^2x.

8Deux intégrales de contrôle Moyen

J₁ = ∫₁³ x² dx J₂ = ∫₀¹ e^−x dx

✅ Correction

calcul — J₁

F(x) = x³/3

J₁ = [x³/3]₁³
   = 27/3 − 1/3
   = 9 − 0,333333
   = 26/3 ≈ 8,666667

calcul — J₂

f(x) = e^(−x)          donc a = −1
F(x) = −e^(−x)

J₂ = [−e^(−x)]₀¹
   = −e^(−1) + 1
   = 1 − e^(−1)
   ≈ 1 − 0,367879
   ≈ 0,632121

🧰 Ici, la borne basse n'est pas 0

Pour J₁, F(1) = 1/3 ne s'annule pas : la soustraction est réelle. C'est le cas le plus fréquent en contrôle, et celui où l'on se trompe d'ordre.

Et notez le contraste avec l'exercice 6 : là, l'exposant était positif et le coefficient aussi (+2e^x/2) ; ici l'exposant est négatif, donc le coefficient l'est aussi (−e^−x).

06Annale — le bénéfice d'une start-up

🧰 L'énoncé

Une start-up fabrique entre 100 et 2 000 ordinateurs par jour. On admet que si elle fabrique x centaines d'ordinateurs, le bénéfice en centaines d'euros est modélisé par :

f(x) = 80x·e^−0,2x, avec x ∈ [1 ; 20]

Deux fois le mot « centaines ». C'est là que se joue la partie C, et c'est là qu'on perd des points en répondant « 147 euros » au lieu de « 14 715 euros ».

4Partie A — étude graphique Facile

À l'aide du graphique fourni en annexe, en laissant les traits de construction apparents :

déterminer le maximum de la fonction f sur [1 ; 20] ;
résoudre l'équation f(x) = 100, avec la précision permise par le graphique.

✅ Correction

1. La courbe semble atteindre son maximum, environ 147, en x = 5.

2. La droite d'équation y = 100 coupe la courbe en deux points. On lit S = {1,8 ; 10,8}.

🧭 « Avec la précision permise par le graphique »

Cette formule autorise une lecture au dixième, et exige les traits de construction. Une réponse juste sans trait ne vaut pas tous les points ; un trait propre avec une lecture à 0,1 près les vaut tous.

Ne cherchez pas à être plus précis que le graphique : c'est la partie B qui donnera la valeur exacte. Ici, 1,8 suffit.

5Partie B — étude de la fonction Moyen

a. Justifier que, pour tout x ∈ [1 ; 20], f′(x) = 80e^−0,2x(1 − 0,2x).
b. Étudier le signe de f′(x) sur [1 ; 20].
c. En déduire le tableau de variation de f (images arrondies au centième).
Démontrer que l'équation f(x) = 100 admet une unique solution sur [1 ; 5], puis en déterminer une valeur approchée au centième. On admet que sur [5 ; 20] l'équation admet également une unique solution, égale à environ 10,76.

✅ Correction

1.a. C'est un produit, donc (uv)′ = u′v + uv′ :

calcul

u(x) = x           donc  u′(x) = 1
v(x) = e^(−0,2x)   donc  v′(x) = −0,2·e^(−0,2x)

f = 80uv     donc  f′ = 80(u′v + uv′)
f′(x) = 80(1 × e^(−0,2x) + x × (−0,2·e^(−0,2x)))
      = 80·e^(−0,2x) × (1 − 0,2x)          ← on factorise par e^(−0,2x)

On a bien  f′(x) = 80e^(−0,2x)(1 − 0,2x)

1.b. 80 > 0, et pour tout réel x, e^−0,2x > 0. Par produit, f′(x) est du signe de (1 − 0,2x).

calcul

1 − 0,2x > 0
   −0,2x > −1
       x < 5          ← on divise par −0,2, donc l'inégalité change de sens

Donc f′(x) > 0 sur [1 ; 5[, f′(5) = 0, et f′(x) < 0 sur ]5 ; 20].

1.c. Tableau de variation :

x	1	5	20
`f′(x)`	+	0	−
`f(x)`	`65,50` ↗	`147,15`	↘ `29,31`

🔧 Corrigé — f(20) vaut 29,31 au centième, pas 29,30

Le corrigé manuscrit écrit 29,30. Or f(20) = 1600e⁻⁴ = 29,305 022 2… : le troisième chiffre décimal est un 5 suivi de décimales non nulles, donc l'arrondi au centième est 29,31.

Le cas est limite — 29,3050 — et c'est exactement pour cela qu'il se recopie de travers. Recalculé par verif-maths.py.

2. Application du théorème des valeurs intermédiaires :

méthode

f est continue sur [1 ; 5]  (produit de fonctions continues)
f(1) = 65,50 < 100 < 147,15 = f(5)

Donc il existe au moins une solution à f(x) = 100 sur [1 ; 5].
Or f est strictement croissante sur [1 ; 5],
donc cette solution est UNIQUE.  On la note α.

Recherche de la valeur approchée, par balayage à la calculatrice :

calcul

f(1,787) = 99,999  (à 10⁻³)   <  100
f(1,788) = 100,04  (à 10⁻²)   >  100

donc  1,787 < α < 1,788

α ≈ 1,79   (à 10⁻²)

🔧 Corrigé — f(1,788) vaut 100,04 et non 100,01

Le corrigé manuscrit annonce 100,01. f(1,788) = 100,035 4…, soit 100,04 au centième.

L'erreur est sans conséquence sur le résultat : l'encadrement f(1,787) < 100 < f(1,788) reste vrai, donc α ≈ 1,79 tient. Mais une valeur écrite sur une copie est une valeur qu'on affirme.

6Partie C — interprétation Moyen

Déterminer le bénéfice maximal à l'euro près réalisé par la start-up, et le nombre d'ordinateurs fabriqués pour le réaliser.
Entre quelles valeurs doit être compris le nombre d'ordinateurs fabriqués pour que la start-up réalise un bénéfice supérieur ou égal à 10 000 euros ?

✅ Correction

1. Le maximum de f est atteint en x = 5 et vaut f(5) = 400/e = 147,151 7… centaines d'euros.

calcul

Bénéfice   : 147,1517… centaines d'euros
             × 100  →  14 715,177…  →  14 715 € à l'euro près

Production : x = 5 centaines d'ordinateurs
             × 100  →  500 ordinateurs

2. Un bénéfice de 10 000 € correspond à 100 centaines d'euros. On cherche donc les x tels que f(x) ⩾ 100.

D'après le tableau de variation et la question B.2, f(x) = 100 a exactement deux solutions, α ≈ 1,787 et β ≈ 10,766. Comme f croît puis décroît, f(x) ⩾ 100 exactement sur [α ; β].

calcul

x ∈ [1,787… ; 10,766…]  centaines d'ordinateurs

En nombre entier d'ordinateurs :
  178  →  9 974,73 €   insuffisant
  179  →  10 010,73 €  ✔
  1076 →  10 006,92 €  ✔
  1077 →  9 996,21 €   insuffisant

La start-up doit fabriquer entre 179 et 1 076 ordinateurs par jour.

⚠️ Les bornes s'arrondissent vers l'intérieur

Arrondir α ≈ 1,787 à 1,79 puis annoncer « 179 » est juste ici, mais c'est un hasard. La règle sûre : arrondir la borne basse vers le haut et la borne haute vers le bas, puis vérifier les deux valeurs à la calculatrice. Un arrondi qui élargit l'intervalle inclut des productions qui ne rapportent pas 10 000 €.

Ici β ≈ 10,766 : arrondi au centième cela ferait 10,77, donc 1 077 ordinateurs — et 1 077 ne rapporte que 9 996 €. La vérification coûte dix secondes.

07Annale — la résistance du béton

🧰 L'énoncé — BTS, groupement B1, session 2025, partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f(t) = −35e^−0,06t + 35

f(t) désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascals, à l'issue de t jours de séchage.

7Étude complète et valeur moyenne Moyen

Quelle est la résistance du béton après 7 jours de séchage ? Après 72 heures ? Arrondir au dixième.
Vérifier que, pour tout réel t de [0 ; +∞[, on a f′(t) = 2,1e^−0,06t.
Déterminer le signe de f′(t) et en déduire le sens de variation de f.
Déterminer la limite de f(t) lorsque t tend vers l'infini. Interpréter le résultat.
Le fabricant affirme que la résistance après 28 jours correspond à 80 % de la résistance finale. Cette affirmation est-elle juste ?
On considère F(t) = (1750/3)e^−0,06t + 35t. Montrer que F est une primitive de f.
Déterminer une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours.

✅ Correction

1. Attention à la deuxième : 72 heures = 3 jours. La fonction est en jours, l'énoncé change d'unité en cours de question.

calcul

f(7) = −35e^(−0,06×7) + 35 = −35e^(−0,42) + 35 = 12,003…  →  12,0 MPa
f(3) = −35e^(−0,06×3) + 35 = −35e^(−0,18) + 35 =  5,765…  →   5,8 MPa

2. La constante 35 a une dérivée nulle :

calcul

f′(t) = −35 × (−0,06) × e^(−0,06t) + 0
      = 2,1·e^(−0,06t)          car −35 × (−0,06) = 2,1   ✔

3. 2,1 > 0 et une exponentielle est toujours strictement positive, donc f′(t) > 0 sur [0 ; +∞[ : f est strictement croissante. Le béton ne perd jamais en résistance en séchant — le modèle est cohérent.

4. Quand t → +∞, −0,06t → −∞ donc e^−0,06t → 0, et donc :

lim_t→+∞ f(t) = −35 × 0 + 35 = 35

Interprétation : la résistance du béton tend vers 35 MPa sans jamais l'atteindre. C'est la résistance finale du matériau.

5. On compare la valeur à 28 jours aux 80 % annoncés :

calcul

f(28) = −35e^(−0,06×28) + 35 = −35e^(−1,68) + 35 = 28,476…  ≈  28,5 MPa

80 % de la résistance finale : 0,80 × 35 = 28 MPa

28,5 ⩾ 28  →  l'affirmation du fabricant est JUSTE.

6. Il suffit de dériver F et de retomber sur f :

calcul

F(t) = (1750/3)·e^(−0,06t) + 35t

F′(t) = (1750/3) × (−0,06) × e^(−0,06t) + 35

(1750/3) × (−0,06) = −105/3 = −35

F′(t) = −35e^(−0,06t) + 35 = f(t)      ✔

Donc F est une primitive de f sur [0 ; +∞[.

7. Valeur moyenne sur [0 ; 28] :

calcul

M = 1/(28 − 0) · ∫₀²⁸ f(t) dt = (1/28)·[F(t)]₀²⁸ = (1/28)·(F(28) − F(0))

F(28) = (1750/3)·e^(−1,68) + 35 × 28 = 108,718… + 980 = 1 088,718…
F(0)  = (1750/3)·e⁰ + 0              = 583,333…

M = (1 088,718… − 583,333…) / 28
  = 505,385… / 28
  = 18,049…

M ≈ 18,0 MPa

💡 Pourquoi 18 et pas 14 ?

La moyenne des deux extrémités donnerait (f(0) + f(28))/2 = (0 + 28,5)/2 = 14,2. La vraie valeur moyenne est 18,0, nettement plus haute — parce que le béton durcit vite au début et reste longtemps proche de sa valeur finale. La courbe passe le plus clair du temps en haut.

C'est exactement ce que l'intégrale capte et qu'une demi-somme rate. Si vos deux valeurs sont proches, méfiez-vous : vous avez peut-être fait la mauvaise moyenne.

08Annale — la teneur en matière grasse

🧰 L'énoncé — BTS, groupement D1, 14 mai 2024, partie C

On considère la fonction f définie sur [0 ; 10] par :

f(t) = 0,152 − 0,062e^−0,5t

Elle modélise la teneur en matière grasse du produit en fonction du temps t, en minutes, écoulé depuis le démarrage de la période de transition. On admet que le plus grand réel t ∈ [0 ; 10] tel que f(t) ⩽ 0,149 vaut environ 6 au dixième près.

💡 D'où sort ce 6, et pourquoi le vérifier

L'énoncé vous donne cette valeur : vous n'avez pas à la calculer, et la borne d'intégration de la question 2 reste 6. Mais savoir la retrouver coûte trois lignes, et évite de rester bloqué le jour où l'énoncé ne la donne pas.

calcul

f(t) ⩽ 0,149
0,152 − 0,062·e^(−0,5t) ⩽ 0,149
        −0,062·e^(−0,5t) ⩽ −0,003
              e^(−0,5t) ⩾ 0,003 / 0,062 = 0,048 387…     ← on divise par −0,062 : l'inégalité change de sens
                   −0,5t ⩾ ln(0,048 387…) = −3,028 5…
                       t ⩽ 6,057 0…                      ← on divise par −0,5 : elle change encore de sens

Deux changements de sens, pas un. C'est la faute classique sur ce type d'inéquation : chaque division par un nombre négatif retourne le symbole. Si vous n'en faites qu'un, vous trouvez t ⩾ 6,057 et vous concluez l'inverse.

Le résultat exact est 6,057 0… : c'est 6 à l'unité près, et 6,1 au dixième près. L'énoncé écrit « environ 6 au dixième près » ; si vous trouvez 6,06 ou 6,1, vous n'avez pas fait d'erreur. Cela ne change rien aux réponses : la question 2 demande explicitement l'intégrale de 0 à 6.

8Primitive, aire et interprétation Moyen

On considère F(t) = 0,152t + 0,124e^−0,5t. Vérifier que F est une primitive de f sur [0 ; 10].
a. Déduire de la question précédente que l'arrondi à 10⁻⁴ de ∫₀⁶ f(t) dt est 0,794 2.
b. Hachurer sur le graphique fourni en annexe le domaine dont l'aire est égale à la valeur de cette intégrale.
c. On note m = (1/6)·∫₀⁶ f(t) dt. Calculer l'arrondi de m à 10⁻³ et interpréter la valeur obtenue dans le contexte de l'exercice.

✅ Correction

1. On dérive F :

calcul

F(t) = 0,152t + 0,124·e^(−0,5t)

F′(t) = 0,152 + 0,124 × (−0,5) × e^(−0,5t)

0,124 × (−0,5) = −0,062

F′(t) = 0,152 − 0,062·e^(−0,5t) = f(t)      ✔

Donc F est une primitive de f sur [0 ; 10].

2.a. Le théorème fondamental s'applique directement :

calcul

∫₀⁶ f(t) dt = F(6) − F(0)

F(6) = 0,152 × 6 + 0,124·e^(−3) = 0,912 + 0,006 173… = 0,918 173…
F(0) = 0 + 0,124·e⁰             = 0,124

∫₀⁶ f(t) dt = 0,918 173… − 0,124 = 0,794 173 6…

Arrondi à 10⁻⁴ :  0,794 2      ✔  (valeur annoncée par l'énoncé)

2.b. Le domaine à hachurer est celui compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les deux droites verticales t = 0 et t = 6.

🧭 Les quatre frontières, à tracer toutes les quatre

Un domaine d'intégration a toujours quatre bords : la courbe en haut, l'axe des abscisses en bas, et une verticale à chaque borne. Hachurer sans tracer les deux verticales, c'est laisser le correcteur deviner où le domaine s'arrête.

Ici la borne gauche est l'axe des ordonnées lui-même (t = 0), mais la borne droite t = 6 doit être tracée explicitement.

2.c. m est la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] :

calcul

m = (1/6) × 0,794 173 6…
  = 0,132 362…

Arrondi à 10⁻³ :  m ≈ 0,132

Interprétation. Sur les six premières minutes de la période de transition, la teneur moyenne en matière grasse du produit est d'environ 0,132, soit 13,2 %.

⚠️ « Interpréter » n'est pas « recopier le nombre »

La question vaut des points pour la phrase, pas pour le calcul. Elle doit contenir trois choses : la grandeur (teneur en matière grasse), l'intervalle (les six premières minutes), et le fait qu'il s'agit d'une moyenne, pas d'une valeur à un instant donné.

Contrôle de cohérence : f varie de 0,090 à 0,152 sur l'intervalle. Une moyenne de 0,132 est bien comprise entre les deux, et plutôt proche du haut — cohérent avec une courbe qui monte vite puis s'aplatit.

09S'entraîner — six sujets type contrôle

Six sujets calqués sur les annales ci-dessus : même enchaînement de questions, mêmes pièges, seules les fonctions et les valeurs changent. Plus une série d'échauffement qui isole chaque geste. Cherchez avant d'ouvrir la correction — elle est sous chaque énoncé, et c'est le seul endroit où elle ne sert à rien si on la lit d'abord.

Exercice 1 — une fonction qui ne fait que décroître

Soit f(x) = (x + 2)e^−x sur l'intervalle [0 ; 4].

Calculer f′(x) et la factoriser.
En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 4].
Vérifier que F(x) = −(x + 3)e^−x est une primitive de f.
Calculer I = ∫₀⁴ f(x) dx en valeur exacte, puis à 10⁻³ près.
En déduire la valeur moyenne de f sur [0 ; 4].

1. C'est un produit u·v avec u = x + 2 et v = e^−x, donc u′ = 1 et v′ = −e^−x :

f′(x) = e^−x − (x + 2)e^−x = (1 − x − 2)e^−x = −(x + 1)e^−x

Toujours factoriser par l'exponentielle : c'est elle qui décide du signe, et elle est toujours strictement positive.

2. Sur [0 ; 4] : e^−x > 0 et x + 1 ⩾ 1 > 0, donc f′(x) < 0. f est strictement décroissante, de f(0) = 2 à f(4) = 6e⁻⁴ ≈ 0,110.

3. On dérive F, on ne l'intègre pas. Produit avec u = −(x + 3), u′ = −1 :

F′(x) = −e^−x + (x + 3)e^−x = (x + 3 − 1)e^−x = (x + 2)e^−x = f(x) ✓

4. I = F(4) − F(0) = −7e⁻⁴ − (−3) = 3 − 7e⁻⁴

soit I ≈ 2,872 à 10⁻³ près.

5. La valeur moyenne vaut I / (4 − 0) :

m = (3 − 7e⁻⁴) / 4 ≈ 0,718

On divise par la LONGUEUR de l'intervalle, pas par sa borne supérieure. Ici les deux valent 4 parce qu'on part de 0 — ce ne sera pas toujours le cas, et c'est l'erreur la plus fréquente.

Exercice 2 — une saturation : la charge d'un condensateur

La tension aux bornes d'un condensateur en charge est modélisée, en volts, par g(x) = 5 − 4e^−0,5x où x est le temps en secondes, sur [0 ; 6].

Calculer g′(x) et en déduire le sens de variation.
Donner g(0), et g(6) à 10⁻³ près.
Déterminer la limite de g en +∞. Qu'est-ce que cela signifie pour le montage ?
Vérifier que G(x) = 5x + 8e^−0,5x est une primitive de g, puis calculer ∫₀⁶ g(x) dx.
En déduire la tension moyenne sur les six premières secondes.

1. (e^ax+b)′ = a·e^ax+b, ici a = −0,5 :

g′(x) = −4 × (−0,5)e^−0,5x = 2e^−0,5x > 0

g est strictement croissante sur [0 ; 6].

2. g(0) = 5 − 4 = 1 V. g(6) = 5 − 4e⁻³ ≈ 4,801 V.

3. Quand x → +∞, e^−0,5x → 0, donc g(x) → 5. La droite d'équation y = 5 est asymptote horizontale : le condensateur se charge vers 5 V et ne les atteint jamais tout à fait.

4. G′(x) = 5 + 8 × (−0,5)e^−0,5x = 5 − 4e^−0,5x = g(x) ✓

∫₀⁶ g = G(6) − G(0) = (30 + 8e⁻³) − 8 = 22 + 8e⁻³ ≈ 22,398

5. m = (22 + 8e⁻³) / 6 ≈ 3,733 V.

Le résultat est cohérent : la tension part de 1 V, finit près de 4,8 V, et sa moyenne tombe entre les deux — plus près du haut, parce que la charge est rapide au début. Un résultat hors de l'encadrement signale une faute de calcul.

Exercice 3 — trouver un maximum, puis une moyenne

Soit h(x) = x²e^−x sur [0 ; 5].

Montrer que h′(x) = x(2 − x)e^−x.
Dresser le tableau de signe de h′, puis le tableau de variation de h. Préciser le maximum.
Vérifier que H(x) = −(x² + 2x + 2)e^−x est une primitive de h.
Calculer ∫₀⁵ h(x) dx, en valeur exacte puis à 10⁻³ près.
En déduire la valeur moyenne de h sur [0 ; 5].

1. Produit avec u = x² et v = e^−x :

h′(x) = 2xe^−x − x²e^−x = (2x − x²)e^−x = x(2 − x)e^−x

2. e^−x > 0 : le signe est celui de x(2 − x). Sur [0 ; 5], x ⩾ 0, donc tout se joue sur 2 − x.

sur ]0 ; 2[ : 2 − x > 0, donc h′ > 0 — h croît ;
en x = 2 : h′ = 0 — maximum ;
sur ]2 ; 5] : 2 − x < 0, donc h′ < 0 — h décroît.

Le maximum vaut h(2) = 4e⁻² ≈ 0,541, et h(5) = 25e⁻⁵ ≈ 0,168.

3. Produit avec u = −(x² + 2x + 2), u′ = −(2x + 2) :

H′(x) = −(2x + 2)e^−x + (x² + 2x + 2)e^−x

= (x² + 2x + 2 − 2x − 2)e^−x = x²e^−x = h(x) ✓

4. ∫₀⁵ h = H(5) − H(0) = −37e⁻⁵ − (−2) = 2 − 37e⁻⁵ ≈ 1,751

5. m = (2 − 37e⁻⁵) / 5 ≈ 0,350

Le maximum de h vaut 0,541 et sa moyenne 0,350 : une moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de la fonction. C'est la vérification la plus rapide qui soit, et elle ne coûte rien.

Échauffement — dix gestes isolés

Dix questions courtes. Chacune isole un seul geste : si l'une bloque, c'est précisément là qu'il faut retourner dans le cours.

Dériver f(t) = −35e^−0,06t + 35 sur [0 ; +∞[.
Dériver g(t) = 0,152 − 0,062e^−0,5t sur [0 ; 10].
Calculer 1/(−0,06) : en fraction, puis arrondi au centième.
Calculer 1/(−0,25).
Donner une primitive de t ↦ e^−0,5t.
Donner une primitive de la fonction constante t ↦ 0,152.
f(t) = −8e^−0,02t + 8 et F(t) = 400e^−0,02t + 8t : montrer que F est une primitive de f.
Calculer l'intégrale de e^−0,5t entre 0 et 2 : valeur exacte, puis arrondi au dix-millième.
Limite de −35e^−0,06t + 35 quand t tend vers +∞.
f(t) = 0,152 − 0,062e^−0,5t, de primitive F(t) = 0,152t + 0,124e^−0,5t : valeur moyenne de f sur [0 ; 6], au millième.

f′(t) = 2,1e^−0,06t. La règle : (e^at+b)′ = a·e^at+b, donc −35 × (−0,06) = 2,1. Le signe moins disparaît, et c'est lui qu'on oublie.
g′(t) = 0,031e^−0,5t : −0,062 × (−0,5) = 0,031. La constante 0,152 s'évapore en dérivant.
1/(−0,06) = −100/6 = −50/3 ≈ -16,67.
1/(−0,25) = −4 exactement.
−2e^−0,5t : on divise par le coefficient de t, soit 1/(−0,5) = −2. C'est l'opération inverse de la question 1.
0,152t.
F′(t) = 400 × (−0,02)e^−0,02t + 8 = −8e^−0,02t + 8 = f(t). On dérive la primitive annoncée ; on ne cherche jamais à intégrer pour vérifier.
[−2e^−0,5t] de 0 à 2 = −2e⁻¹ + 2 = 2(1 − e⁻¹) ≈ 1,2642.
e^−0,06t → 0, donc la limite est 35 : une asymptote horizontale.
F(6) − F(0) = 0,918174 − 0,124 = 0,794174, divisé par 6 : ≈ 0,132.

Les trois gestes qui reviennent dans les six sujets sont là : dériver une exponentielle composée, reconnaître une primitive en la dérivant, et diviser une intégrale par la longueur de l'intervalle.

Sujet 1 — la charge d'un condensateur

Partie B. Étude de fonction. On considère u(t) = −80e^−0,05t + 80 sur [0 ; +∞[. u(t) est la tension aux bornes d'un condensateur en charge, en volts, après t secondes.

Quelle est la valeur après 10 secondes ? Après une demi-minute ? Arrondir au dixième.
Vérifier que u′(t) = 4e^−0,05t.
Déterminer le signe de u′(t), en déduire le sens de variation.
Déterminer la limite de u(t) en +∞ et l'interpréter.
Le fabricant affirme qu'au bout de 30 secondes, on atteint 80 % de la valeur finale. Est-ce juste ?
Montrer que U(t) = 1600e^−0,05t + 80t est une primitive de u.
Valeur moyenne sur les 30 premières secondes, au dixième. On rappelle M = 1/(b − a) × ∫_a^b h(t) dt.

u(10) = 31,5 V et u(30) = 62,1 V. Une demi-minute, c'est t = 30 : la conversion fait partie de la question.
u′(t) = −80 × (−0,05)e^−0,05t = 4e^−0,05t. Deux signes moins font un plus.
Une exponentielle est toujours strictement positive, et 4 aussi : u′(t) > 0, donc u est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
e^−0,05t → 0, donc u(t) → 80. La tension plafonne à 80 V : c'est la tension du générateur.
80 % de 80 font 64 V, or u(30) = 62,1 V, soit 77,7 % : l'affirmation est fausse.
U′(t) = 1600 × (−0,05)e^−0,05t + 80 = −80e^−0,05t + 80 = u(t). On dérive, on ne devine pas.
M = 1/30 × (U(30) − U(0)) = 1/30 × (2757,008 − 1600,000) ≈ 38,6 V.

La question 5 est un piège de lecture : on compare une valeur à un seuil, et il faut écrire les deux. Donner seulement « oui » ou « non » ne vaut aucun point.

Sujet 2 — la montée en température d'un four

Partie B. Étude de fonction. On considère θ(t) = −120e^−0,04t + 120 sur [0 ; +∞[. θ(t) est la température dans un four, en degrés Celsius, après t minutes de chauffe.

Quelle est la valeur après 15 minutes ? Après une heure ? Arrondir au dixième.
Vérifier que θ′(t) = 4,8e^−0,04t.
Déterminer le signe de θ′(t), en déduire le sens de variation.
Déterminer la limite de θ(t) en +∞ et l'interpréter.
Le fabricant affirme qu'au bout de 50 minutes, on atteint 90 % de la valeur finale. Est-ce juste ?
Montrer que Θ(t) = 3000e^−0,04t + 120t est une primitive de θ.
Valeur moyenne sur la première heure, au dixième. On rappelle M = 1/(b − a) × ∫_a^b h(t) dt.

θ(15) = 54,1 °C et θ(60) = 109,1 °C. Une heure, c'est t = 60 puisque t compte des minutes.
θ′(t) = −120 × (−0,04)e^−0,04t = 4,8e^−0,04t. Deux signes moins font un plus.
Une exponentielle est toujours strictement positive, et 4,8 aussi : θ′(t) > 0, donc θ est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
e^−0,04t → 0, donc θ(t) → 120. Le four plafonne à 120 °C : c'est sa consigne.
90 % de 120 font 108 °C, or θ(50) = 103,8 °C, soit 86,5 % : l'affirmation est fausse.
Θ′(t) = 3000 × (−0,04)e^−0,04t + 120 = −120e^−0,04t + 120 = θ(t). On dérive, on ne devine pas.
M = 1/50 × (Θ(50) − Θ(0)) = 1/50 × (6406,006 − 3000,000) ≈ 74,5 °C.

La question 5 est un piège de lecture : on compare une valeur à un seuil, et il faut écrire les deux. Donner seulement « oui » ou « non » ne vaut aucun point.

Sujet 3 — le durcissement d'un enduit

Partie B. Étude de fonction. On considère f(t) = −50e^−0,03t + 50 sur [0 ; +∞[. f(t) est la dureté d'un enduit, en mégapascals, après t jours de séchage.

Quelle est la valeur après 7 jours ? Après 72 heures ? Arrondir au dixième.
Vérifier que f′(t) = 1,5e^−0,03t.
Déterminer le signe de f′(t), en déduire le sens de variation.
Déterminer la limite de f(t) en +∞ et l'interpréter.
Le fabricant affirme qu'au bout de 56 jours, on atteint 80 % de la valeur finale. Est-ce juste ?
Montrer que F(t) = (5000/3)e^−0,03t + 50t est une primitive de f.
Valeur moyenne sur les 56 premiers jours, au dixième. On rappelle M = 1/(b − a) × ∫_a^b h(t) dt.

f(7) = 9,5 MPa et f(3) = 4,3 MPa. 72 heures, c'est t = 3 : t compte des JOURS, et l'énoncé change d'unité exprès.
f′(t) = −50 × (−0,03)e^−0,03t = 1,5e^−0,03t. Deux signes moins font un plus.
Une exponentielle est toujours strictement positive, et 1,5 aussi : f′(t) > 0, donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
e^−0,03t → 0, donc f(t) → 50. La dureté plafonne à 50 MPa : c'est la dureté finale de l'enduit.
80 % de 50 font 40 MPa, or f(56) = 40,7 MPa, soit 81,4 % : l'affirmation est juste.
F′(t) = (5000/3) × (−0,03)e^−0,03t + 50 = −50e^−0,03t + 50 = f(t). On dérive, on ne devine pas.
M = 1/56 × (F(56) − F(0)) = 1/56 × (3110,623 − 1666,667) ≈ 25,8 MPa.

La question 5 est un piège de lecture : on compare une valeur à un seuil, et il faut écrire les deux. Donner seulement « oui » ou « non » ne vaut aucun point.

Sujet 4 — le taux d'humidité d'un local

Partie C. On considère f(t) = 0,240 − 0,090e^−0,25t sur [0 ; 12]. Elle modélise le taux d'humidité d'un local technique en fonction du temps t, en heures, depuis la mise en route de la ventilation.

Vérifier que F(t) = 0,240t + 0,36e^−0,25t est une primitive de f.
En déduire que l'arrondi au dix-millième de l'intégrale de f entre 0 et 8 vaut 1,6087.
a. On note m cette intégrale divisée par 8. Calculer son arrondi au millième et l'interpréter.
b. Hachurer le domaine dont l'aire vaut cette intégrale.

F′(t) = 0,240 + 0,36 × (−0,25)e^−0,25t = 0,240 − 0,090e^−0,25t = f(t), et F est dérivable sur l'intervalle : c'est bien une primitive.
F(8) − F(0) = 1,968721 − 0,360000 = 1,608721 ≈ 1,6087.
a. m = 1,6087 / 8 ≈ 0,201. Sur les 8 premières heures, le taux d'humidité moyen est d'environ 20,1 %.
b. Le domaine est compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations t = 0 et t = 8 :

Le domaine hachuré va de 0 à 8 sous la courbe de f

La question 2 dit « en déduire » : elle attend qu'on se serve de la primitive de la question 1, pas qu'on recommence. Et m n'est pas la moyenne de deux valeurs — c'est l'aire, étalée sur la largeur.

Sujet 5 — la concentration d'un réactif

Partie C. On considère f(t) = 0,085 − 0,045e^−0,40t sur [0 ; 10]. Elle modélise la concentration d'un réactif dans une cuve, en mol·L⁻¹, en fonction du temps t, en minutes.

Vérifier que F(t) = 0,085t + 0,1125e^−0,40t est une primitive de f.
En déduire que l'arrondi au dix-millième de l'intégrale de f entre 0 et 5 vaut 0,3277.
a. On note m cette intégrale divisée par 5. Calculer son arrondi au millième et l'interpréter.
b. Hachurer le domaine dont l'aire vaut cette intégrale.

F′(t) = 0,085 + 0,1125 × (−0,40)e^−0,40t = 0,085 − 0,045e^−0,40t = f(t), et F est dérivable sur l'intervalle : c'est bien une primitive.
F(5) − F(0) = 0,440225 − 0,112500 = 0,327725 ≈ 0,3277.
a. m = 0,3277 / 5 ≈ 0,066. Sur les 5 premières minutes, la concentration moyenne est d'environ 0,066 mol·L⁻¹.
b. Le domaine est compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations t = 0 et t = 5 :

Le domaine hachuré va de 0 à 5 sous la courbe de f

Sujet 6 — la teneur en eau d'un granulat

Partie C. On considère f(t) = 0,180 − 0,075e^−0,60t sur [0 ; 10]. Elle modélise la teneur en eau d'un granulat en fonction du temps t, en minutes, depuis le début de l'humidification.

Vérifier que F(t) = 0,180t + 0,125e^−0,60t est une primitive de f.
En déduire que l'arrondi au dix-millième de l'intégrale de f entre 0 et 4 vaut 0,6063.
a. On note m cette intégrale divisée par 4. Calculer son arrondi au millième et l'interpréter.
b. Hachurer le domaine dont l'aire vaut cette intégrale.

F′(t) = 0,180 + 0,125 × (−0,60)e^−0,60t = 0,180 − 0,075e^−0,60t = f(t), et F est dérivable sur l'intervalle : c'est bien une primitive.
F(4) − F(0) = 0,731340 − 0,125000 = 0,606340 ≈ 0,6063.
a. m = 0,6063 / 4 ≈ 0,152. Sur les 4 premières minutes, la teneur en eau moyenne est d'environ 15,2 %.
b. Le domaine est compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations t = 0 et t = 4 :

Le domaine hachuré va de 0 à 4 sous la courbe de f