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DST & annales — sujets corrigés

Trois sujets complets, corrigés question par question, avec le barème et les contrôles. Et une copie notée 20/20 qui contient pourtant une erreur.

🎯

Comment s'en servir

Faire le sujet en deux heures, corrections masquées. Puis ouvrir les corrigés, et comparer non pas les résultats, mais la rédaction : la formule est-elle posée avant les chiffres ? l'arbre est-il dessiné ? la phrase d'interprétation est-elle là ? C'est là que se jouent les points, comme l'explique le § 4 du cours.

01La start-up

1BTS Métropole mai 2022 — exercice 1 10 points

Une start-up fabrique entre 100 et 2 000 ordinateurs par jour. On admet que si la start-up fabrique x centaines d'ordinateurs, le bénéfice en centaines d'euros est modélisé par :

f(x) = 80x e^−0,2x, avec x ∈ [1 ; 20]

Partie A — étude graphique. À l'aide du graphique, en laissant les traits de construction apparents :

déterminer le maximum de f sur [1 ; 20] ;
résoudre l'équation f(x) = 100, avec la précision permise par le graphique.

Partie B — étude de la fonction f.

a. Justifier que pour tout x de [1 ; 20], f'(x) = 80e^−0,2x(1 − 0,2x).
b. Étudier le signe de f'(x) sur [1 ; 20].
c. En déduire le tableau de variation de f (images arrondies au centième).
Démontrer que l'équation f(x) = 100 admet une unique solution sur [1 ; 5], puis en déterminer une valeur approchée au centième. On admet que sur [5 ; 20] l'équation admet également une unique solution, égale à environ 10,76.

Partie C — interprétation.

Déterminer le bénéfice maximal à l'euro près et le nombre d'ordinateurs fabriqués pour le réaliser.
Entre quelles valeurs doit être compris le nombre d'ordinateurs pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 10 000 euros ?

✅ Correction

Partie A. Lecture graphique, avec les traits.

rédaction

1. Le maximum de f sur [1 ; 20] est d'environ 147.

2. Les solutions de f(x) = 100 sont environ 1,8 et 10,8.

Les traits de construction sont notés : une horizontale à y = 100 jusqu'à la courbe, puis deux verticales vers l'axe des abscisses. Sans eux, la réponse est considérée comme devinée.

Partie B.1.a — la dérivée. C'est un produit, avec une exponentielle composée.

calcul

f(x) = 80x · e^(−0,2x)          c'est un PRODUIT u·v

  u  = 80x                       v  = e^(−0,2x)
  u' = 80                        v' = (−0,2) e^(−0,2x)      ← (e^w)' = w' e^w

  (uv)' = u'v + uv'

f'(x) = 80 × 1 × e^(−0,2x) + 80x × (−0,2) × e^(−0,2x)

On FACTORISE par 80 e^(−0,2x), commun aux deux termes :

f'(x) = 80 e^(−0,2x) (1 − 0,2x)          ← le résultat demandé  ✔

Le résultat étant donné par l'énoncé, on sait où l'on doit tomber : c'est un cadeau. Et même en ratant cette question, on peut utiliser la formule pour toute la suite — voir § 3 du cours.

Contrôle numérique en x = 1,5 : la dérivée calculée point par point vaut 41,49, et la formule donne 80e^−0,3(1 − 0,3) = 41,49 ✔ Une seule valeur suffit à valider une dérivée.

Partie B.1.b — le signe. L'exponentielle ne change rien.

calcul

· Pour tout réel t, e^t > 0, donc 80 e^(−0,2x) > 0 pour tout x.
  Le signe de f'(x) est donc CELUI DE (1 − 0,2x).

· 1 − 0,2x > 0  ⟺  1 > 0,2x  ⟺  x < 5
· 1 − 0,2x = 0  ⟺  x = 5

Donc  f'(x) > 0 sur [1 ; 5[  et  f'(x) < 0 sur ]5 ; 20].

Partie B.1.c — le tableau. Avec les trois valeurs.

calcul

f(1)  = 80 × 1 × e^(−0,2)      = 80 e^(−0,2)  ≈  65,50
f(5)  = 80 × 5 × e^(−0,2×5)    = 400 e^(−1)   ≈ 147,15
f(20) = 80 × 20 × e^(−0,2×20)  = 1600 e^(−4)  ≈  29,31

  x     │  1              5              20
  ──────┼──────────────────────────────────
  f'(x) │       +         0        −
  ──────┼──────────────────────────────────
  f(x)  │ 65,50 ╱      147,15      ╲  29,31

Trois contrôles : f' s'annule en 5 et la flèche y change de sens ✔ ; le maximum 147,15 est bien au-dessus des deux valeurs aux bornes, 65,50 et 29,31 ✔ ; et la lecture graphique de la partie A annonçait « environ 147 » ✔ Les deux parties doivent concorder — c'est le contrôle gratuit du sujet.

Partie B.2 — le balayage. Trois ingrédients obligatoires.

rédaction

Sur [1 ; 5], f est continue et STRICTEMENT CROISSANTE (tableau).
f(1) ≈ 65,50  et  f(5) ≈ 147,15,  or  65,50 < 100 < 147,15.

Donc l'équation f(x) = 100 admet une UNIQUE solution sur [1 ; 5].
On la note α.

Encadrement par balayage à la calculatrice :

  f(1)    ≈  65,50 < 100   et  f(2)    ≈ 107,25 > 100  →  1    < α < 2
  f(1,7)  ≈  96,80 < 100   et  f(1,8)  ≈ 100,47 > 100  →  1,7  < α < 1,8
  f(1,78) ≈  99,75 < 100   et  f(1,79) ≈ 100,11 > 100  →  1,78 < α < 1,79

Donc  α ≈ 1,78  au centième.

Le balayage descend d'un chiffre par ligne : l'unité, puis le dixième, puis le centième. Écrire les trois lignes — c'est la « trace de recherche » que le barème récompense, bien plus que la valeur finale.

Contrôle : la lecture graphique donnait « environ 1,8 » et « environ 10,8 » ; le calcul donne 1,78 et 10,76 ✔ Cohérent avec la précision d'un graphique.

Partie C — l'interprétation. Toute la difficulté est dans les unités.

rédaction — C.1

Le bénéfice maximal est atteint au maximum de f, soit en x = 5.
Ce maximum vaut f(5) = 400 e^(−1) ≈ 147,15.

Or f(x) est en CENTAINES D'EUROS et x en CENTAINES d'ordinateurs :

  · bénéfice maximum = 147,15 × 100 ≈ 14 715 euros
  · obtenu pour       = 5 × 100     =    500 ordinateurs

rédaction — C.2

Un bénéfice ⩾ 10 000 euros correspond à f(x) ⩾ 100
(puisque f est en centaines d'euros).

D'après les questions précédentes, f(x) ⩾ 100 pour x compris
entre 1,78 et 10,76.

En ordinateurs :  1,78 × 100 = 178   et   10,76 × 100 = 1 076

Il faut donc fabriquer entre 178 et 1 076 ordinateurs.

⚠️ « 147 euros pour 5 ordinateurs » — l'erreur qui annule la partie C

Le calcul est juste, l'interprétation est fausse, et la partie C vaut à elle seule plusieurs points. Relire la première phrase de l'énoncé avant d'écrire la dernière : elle définit toujours les unités du modèle.

Contrôle de bon sens : une start-up qui fabrique jusqu'à 2 000 ordinateurs par jour ne gagne pas 147 € — et « 5 ordinateurs » ne cadre pas avec un intervalle qui va de 100 à 2 000.

02Les cartes mères

2DST semestre 2 (25/26) = Métropole mai 2022, exercice 2 10 points

Le directeur d'une entreprise fabriquant des cartes mères souhaite optimiser la production mensuelle. Il possède deux sites, A et B. Le site A produit 65 % des cartes mères, le reste provient de B. Il a constaté que 0,8 % des cartes produites par A sont défectueuses, alors que sur B la part des cartes défectueuses est de 0,5 %.

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A. On prélève une carte au hasard. On note A, B et D les événements correspondants.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
a. Déterminer P(A ∩ D) et interpréter.
b. Montrer que P(D) = 0,006 95 et interpréter.
Une carte défectueuse a été prélevée. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de A ? Arrondir au millième.

Partie B. On considère ici que la probabilité qu'une carte soit défectueuse vaut 0,007. Les cartes sont vendues par lots de 30 ; le stock est assez important pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise. X dénombre les cartes défectueuses d'un lot de 30. Arrondir à 10⁻².

Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
a. Calculer la probabilité qu'aucune carte ne soit défectueuse.
b. En déduire la probabilité qu'au moins une carte présente un défaut.

Partie C. Y modélise le débit du bus FSB en Mo/s, et suit la loi normale de moyenne μ = 1350 et d'écart-type σ = 33.

Déterminer P(1317 ⩽ Y ⩽ 1383). Arrondir à 10⁻³.
Déterminer la plus grande valeur de l'entier k tel que P(Y > k) ⩾ 0,95.

✅ Correction

Partie A.1 — l'arbre.

arbre

                    0,008
              ┌───────────── D          P(A∩D) = 0,65 × 0,008
    0,65      │
  ┌───── A ───┤
  │           │  0,992
  │           └───────────── D̄
  │
  │  0,35        0,005
  └───── B ───┬───────────── D          P(B∩D) = 0,35 × 0,005
              │
              │  0,995
              └───────────── D̄

1er niveau : la CAUSE (le site)       →  P(A) = 0,65, P(B) = 1 − 0,65 = 0,35
2e niveau  : la CONSÉQUENCE (défaut)  →  CONDITIONNELLES P_A(D) = 0,008

Contrôle : les branches de chaque nœud somment à 1 — 0,65 + 0,35 = 1 ✔ 0,008 + 0,992 = 1 ✔ 0,005 + 0,995 = 1 ✔

⚠️ « 0,8 % des cartes de A sont défectueuses »

C'est P_A(D) = 0,008 — une conditionnelle, donc une branche du second niveau. Ce n'est pas P(A ∩ D), qui vaut 0,005 2. Et il faut convertir : 0,8 % = 0,008.

calcul — A.2.a

P(A ∩ D) = P(A) × P_A(D)         ← produit le long d'une branche
         = 0,65 × 0,008
P(A ∩ D) = 0,005 2

INTERPRÉTATION : la probabilité qu'une carte prélevée au hasard
vienne de l'usine A ET soit défectueuse est de 0,005 2, soit
environ 0,52 % de la production totale.

calcul — A.2.b

D'après la formule des probabilités totales :

P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D)       ← somme des FEUILLES contenant D
     = 0,005 2 + 0,35 × 0,005
     = 0,005 2 + 0,001 75
P(D) = 0,006 95                   ← le résultat demandé  ✔

INTERPRÉTATION : environ 0,695 % des cartes de la production
totale sont défectueuses.

On multiplie le long d'une branche et on additionne les feuilles. Contrôle de plausibilité : 0,695 % est bien compris entre 0,5 % (le meilleur site) et 0,8 % (le moins bon), et plus près de 0,8 % puisque A produit la majorité ✔

calcul — A.3

On remonte l'arbre : on connaît la conséquence, on cherche la cause.

           P(A ∩ D)      0,005 2
P_D(A) = ──────────── = ──────────── ≈ 0,748
             P(D)         0,006 95

La probabilité qu'une carte défectueuse vienne de l'usine A
est d'environ 0,748.

Contrôle : A produit 65 % du total et est le site le plus défectueux ; P_D(A) doit donc dépasser 0,65. C'est le cas : 0,748 ✔ Une réponse inférieure à 0,65 serait forcément fausse.

Partie B.1 — justifier la loi. C'est la moitié des points.

rédaction

L'expérience consiste à répéter 30 fois la même épreuve de Bernoulli :
prélever une carte et regarder si elle est défectueuse.

Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   · succès : la carte est défectueuse, de probabilité p = 0,007 ;
   · échec  : elle ne l'est pas, de probabilité 1 − p = 0,993.

Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement
à un TIRAGE AVEC REMISE : les 30 épreuves sont indépendantes et se
déroulent dans les mêmes conditions.

Conclusion :  X ↝ B(30 ; 0,007)

calcul — B.2

a.  P(X = 0) = (1 − 0,007)^30
             = 0,993^30
             ≈ 0,81            à 10⁻²

b.  P(X ⩾ 1) = 1 − P(X = 0)    ← par complémentarité
             ≈ 1 − 0,81
             ≈ 0,19

Environ 19 % des lots de 30 cartes contiennent au moins
une carte défectueuse.

« En déduire » signifie : utiliser le a. Refaire le calcul par P(X⩾1) = P(X=1) + P(X=2) + … serait juste mais ne répondrait pas à la consigne — et prendrait dix fois plus de temps.

Partie C — la loi normale.

calcul — C.1

μ = 1350, σ = 33.  On teste les bornes :

   μ − σ = 1350 − 33 = 1317
   μ + σ = 1350 + 33 = 1383            ← c'est l'intervalle à 1σ !

P(1317 ⩽ Y ⩽ 1383) ≈ 0,683             (à 10⁻³)

Réglages calculatrice : Low = 1317, Up = 1383, μ = 1350, σ = 33.

Les bornes tombent exactement sur μ ± σ : ce n'est pas un hasard. L'énoncé demande 10⁻³, donc on donne la valeur machine 0,683 et non l'arrondi 0,68 du cours — voir chapitre 10, § 8.

calcul — C.2

On cherche la PLUS GRANDE valeur entière k telle que P(Y > k) ⩾ 0,95.

Plus k est grand, plus P(Y > k) est PETITE : on cherche donc le
dernier k avant que la probabilité ne passe sous 0,95.

Par approximations successives à la calculatrice :

   P(Y > 1295) ≈ 0,952  ⩾ 0,95   ✔ convient
   P(Y > 1296) ≈ 0,949  < 0,95   ✗ ne convient plus

Donc la plus grande valeur de l'entier k est  k = 1295.

Comme pour PNEUTOP au chapitre 10, c'est un problème inverse : on impose la probabilité et on cherche la borne. Vérifier les deux côtés — que k convient, et que k+1 ne convient pas — fait partie de la réponse.

03Le pare-feu

3BTS blanc semestre 2 2026 — exercice 2 10 points

Les trois parties A, B et C sont indépendantes. Les résultats seront arrondis si nécessaire au millième.

Partie A. Un pare-feu analyse les connexions réseau pour détecter les attaques. 1 % des connexions sont malveillantes. Le pare-feu détecte correctement une attaque avec une probabilité de 0,99. Mais il a un taux de faux positifs de 5 pour 1000 : la probabilité qu'il signale à tort une connexion légitime est de 0,005.

A : « la connexion correspond à une attaque » · T : « le pare-feu considère que la connexion correspond à une attaque ».

a. Déterminer P(A). b. Modéliser par un arbre pondéré.
Calculer P(T).
L'administrateur estime le pare-feu bien configuré si, lorsqu'une connexion est considérée comme une attaque, il y a 95 % de chances que ce soit effectivement une attaque.
a. Calculer P_T(A). b. Le pare-feu est-il bien configuré ? Justifier.

Partie B. On suppose ici que la probabilité qu'une connexion soit malveillante est de 0,06. X est le nombre de connexions malveillantes dans un échantillon de 50, assimilé à un tirage avec remise.

Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
a. Calculer la probabilité qu'exactement deux connexions soient malveillantes.
b. Calculer la probabilité qu'au moins une connexion soit malveillante.
Déterminer le nombre moyen de connexions malveillantes par échantillon de 50.

Partie C. La durée d'efficacité, en mois, d'une configuration de pare-feu est modélisée par une variable Y suivant une loi exponentielle de paramètre λ. La probabilité qu'une configuration ait une durée d'efficacité supérieure à 6 mois est égale à 0,4.

Déterminer la valeur de λ.
Quelle est la durée moyenne d'efficacité d'une configuration ?

✅ Correction

calcul — A.1

a.  1 % des connexions sont malveillantes :

    P(A) = 0,01        et donc  P(Ā) = 1 − 0,01 = 0,99

b.                   0,99
              ┌───────────── T          attaque DÉTECTÉE
    0,01      │
  ┌───── A ───┤
  │           │  0,01
  │           └───────────── T̄         attaque MANQUÉE
  │
  │  0,99        0,005
  └───── Ā ───┬───────────── T          FAUX POSITIF
              │
              │  0,995
              └───────────── T̄         connexion légitime, non signalée

Les deux données de l'énoncé sont des conditionnelles : « détecte une attaque avec une probabilité de 0,99 » est P_A(T) = 0,99 ; « signale à tort une connexion légitime » est P_Ā(T) = 0,005. Toutes deux au second niveau.

calcul — A.2

Formule des probabilités totales :

P(T) = P(A ∩ T) + P(Ā ∩ T)
     = P(A) × P_A(T)  +  P(Ā) × P_Ā(T)
     = 0,01 × 0,99    +  0,99 × 0,005
     = 0,009 9        +  0,004 95
P(T) = 0,014 85       ≈ 0,015

Le pare-feu signale environ 1,5 % des connexions comme des attaques.

calcul — A.3.a

           P(A ∩ T)      0,009 9
P_T(A) = ──────────── = ──────────── ≈ 0,667
             P(T)        0,014 85

Quand le pare-feu crie à l'attaque, il n'a raison que dans
environ 66,7 % des cas.

rédaction — A.3.b

L'administrateur exige P_T(A) ⩾ 0,95.

Or  P_T(A) ≈ 0,667  <  0,95.

NON, le pare-feu n'est PAS bien configuré :
une alerte sur trois environ est un faux positif.

💡 Pourquoi un détecteur à 99 % se trompe une fois sur trois

Le résultat surprend, et c'est exactement pour cela qu'il est au sujet. Sur 10 000 connexions :

calcul

  · 100 attaques réelles (1 %)   →  99 détectées
  · 9 900 connexions légitimes   →  49,5 signalées à tort (0,5 %)

  Total d'alertes : 99 + 49,5 = 148,5
  Vraies alertes  : 99

  99 / 148,5 ≈ 0,667                    ← on retrouve P_T(A)

Les faux positifs sont rares en proportion mais nombreux en valeur absolue, parce qu'ils s'appliquent à une population immense. C'est le même phénomène pour un test médical d'une maladie rare, ou pour un antivirus.

Conséquence métier, et c'est le fond de la question : pour améliorer un IDS, réduire le taux de faux positifs est plus efficace qu'augmenter le taux de détection. Passer de 99 % à 99,9 % de détection ne changerait presque rien ; diviser les faux positifs par dix ferait monter P_T(A) au-dessus de 95 %.

rédaction — B.1

On répète 50 fois la même épreuve de Bernoulli : prélever une
connexion et regarder si elle est malveillante.

Deux issues contraires :
   · succès : la connexion est malveillante, p = 0,06 ;
   · échec  : elle est légitime, 1 − p = 0,94.

L'échantillon est assimilé à un tirage AVEC REMISE : les épreuves
sont indépendantes.

Conclusion :  X ↝ B(50 ; 0,06)

calcul — B.2 et B.3

a.  P(X = 2) = C(50, 2) × 0,06² × 0,94^48
             = 1225 × 0,0036 × 0,94^48
    P(X = 2) ≈ 0,226

b.  P(X ⩾ 1) = 1 − P(X = 0)              ← par complémentarité
             = 1 − 0,94^50
             = 1 − 0,045
    P(X ⩾ 1) ≈ 0,955

3.  E(X) = n × p = 50 × 0,06 = 3

    En moyenne, un échantillon de 50 connexions contient
    3 connexions malveillantes.

Contrôle : E(X) = 3, donc « exactement 2 » doit être une valeur fréquente — 0,226, soit une fois sur quatre environ ✔ Et avec une moyenne de 3, il serait surprenant qu'un échantillon n'en contienne aucune : 0,045 seulement, d'où P(X ⩾ 1) ≈ 0,955 ✔

calcul — C.1

Y suit une loi exponentielle de paramètre λ, donc :

     P(Y > t) = e^(−λt)                  ← fonction de fiabilité

Données :  P(Y > 6) = 0,4

     e^(−6λ) = 0,4
  ln(e^(−6λ)) = ln(0,4)                  ← logarithme des deux côtés
        −6λ   = ln(0,4)
          λ   = −ln(0,4) / 6
          λ   ≈ 0,916 / 6
          λ   ≈ 0,153

Vérification : e^(−0,153 × 6) = e^(−0,917) ≈ 0,400   ✔

calcul — C.2

Pour une loi exponentielle, la durée moyenne est l'espérance :

     E(Y) = 1 / λ
          = 1 / 0,152 715
     E(Y) ≈ 6,548 mois

Une configuration de pare-feu reste efficace en moyenne
6,5 mois environ, soit un peu plus d'un semestre.

Contrôle de cohérence : la moyenne (6,55 mois) est un peu supérieure à la durée de 6 mois dépassée par 40 % des configurations. C'est normal pour une loi exponentielle — seuls 37 % du parc atteignent la durée moyenne, et ici on en est à 40 % pour 6 mois, juste en dessous de la moyenne ✔

04Une copie 20/20 … fausse

4Contrôle « études de fonctions » du 18/12 Difficile

Étudier le signe puis les variations, sur I = [−10 ; 10], de :

f(x) = 2x − 3
f(x) = x² − 2x + 1
f(x) = −x² + 4x + 5
f(x) = x³ − 2x² + x − 1

Une copie de la classe, notée 20/20, contient pourtant une erreur. La trouverez-vous ?

✅ Correction

calcul — 1 et 2

1.  f(x) = 2x − 3,  affine avec a = 2 > 0
    racine :  2x − 3 = 0  ⟺  x = 3/2 = 1,5

      x    │ −10        1,5        10
      ─────┼────────────────────────────
      f(x) │      −      0      +

2.  f(x) = x² − 2x + 1,   a = 1, b = −2, c = 1
    Δ = (−2)² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0    →  une racine double
    x₀ = −b/2a = 2/2 = 1
    (et en effet x² − 2x + 1 = (x − 1)²)

      x    │ −10         1         10
      ─────┼────────────────────────────
      f(x) │      +      0      +        ← signe de a partout

⚠️ « a = 2 > 0, donc f est croissante et positive »

La copie écrit cela au début de la question 1. Croissante ≠ positive. Une droite croissante est négative avant sa racine — c'est d'ailleurs ce que son propre tableau montre deux lignes plus bas.

C'est la confusion signe/variations du chapitre 03, en une phrase. Elle n'a pas coûté de points ici parce que la suite était juste, mais sur une question de cours elle en coûterait.

calcul — 3

f(x) = −x² + 4x + 5,   a = −1, b = 4, c = 5

Δ = 4² − 4 × (−1) × 5 = 16 + 20 = 36,  √Δ = 6

x₁ = (−4 − 6)/(2 × (−1)) = −10/(−2) =  5
x₂ = (−4 + 6)/(2 × (−1)) =   2/(−2) = −1

⚠ Ici x₁ = 5 est PLUS GRAND que x₂ = −1, parce que a < 0.
  Dans le tableau, on range les racines dans l'ORDRE CROISSANT :

      x    │ −10      −1        5       10
      ─────┼──────────────────────────────
      f(x) │     −     0    +    0    −     ← a = −1 < 0

Variations :  f'(x) = −2x + 4, racine x = 2
              f(2) = −4 + 8 + 5 = 9   (MAXIMUM)

C'est l'illustration parfaite de la remarque du chapitre 03 : le nom des racines n'a aucune importance, leur ordre sur l'axe en a. Avec a < 0, la formule « x₁ avec −√Δ » donne la plus grande.

Question 4 — c'est ici qu'est l'erreur.

calcul — ce que fait la copie

f(x) = x³ − 2x² + x − 1

f'(x) = 3x² − 4x + 1
Δ = (−4)² − 4 × 3 × 1 = 16 − 12 = 4,  √Δ = 2
x₁ = (4 − 2)/6 = 2/6 = 1/3        x₂ = (4 + 2)/6 = 1        ← JUSTE  ✔

  x     │ −10      1/3       1        10
  ──────┼──────────────────────────────
  f'(x) │    +     0    −    0    +          ← JUSTE  ✔

Valeurs annoncées par la copie :

  f(−10) = −991      f(1/3) = −1,29     f(1) = −1     f(10) = 989

⚠️ Le tableau se contredit lui-même

La flèche monte jusqu'en x = 1/3, puis descend jusqu'en x = 1. Donc f(1/3) est un maximum local et f(1) un minimum local.

Or la copie annonce f(1/3) = −1,29 et f(1) = −1 : le maximum serait plus bas que le minimum. Impossible. C'est le contrôle n° 5 de la check-list.

calcul — les vraies valeurs

f(x) = x³ − 2x² + x − 1

f(−10) = (−10)³ − 2(−10)² + (−10) − 1
       = −1000  − 2 × 100  − 10 − 1
       = −1000  − 200      − 10 − 1  =  −1 211

f(1/3) = 1/27 − 2/9 + 1/3 − 1
       = 1/27 − 6/27 + 9/27 − 27/27
       = −23/27  ≈  −0,85                  ← le MAXIMUM local

f(1)   = 1 − 2 + 1 − 1  =  −1              ← le minimum local

f(10)  = 1000 − 2 × 100 + 10 − 1
       = 1000 − 200 + 10 − 1  =  809

  x     │ −10        1/3        1         10
  ──────┼─────────────────────────────────────
  f'(x) │    +       0     −    0     +
  ──────┼─────────────────────────────────────
  f(x)  │ −1211 ╱  −0,85  ╲   −1    ╱   809

Cette fois −0,85 > −1 : le maximum est bien au-dessus du minimum  ✔

🔧 Corrigé — l'erreur : −2x² évalué comme −2x

Les quatre valeurs de la copie s'expliquent par une seule et même faute, répétée : le terme −2x² a été calculé sans élever x au carré.

x	Valeur de la copie	Le calcul qu'elle a fait	Valeur juste
−10	−991	`−1000 + 20 − 10 − 1`	−1 211
1/3	−1,29	`0,037 − 0,667 + 0,333 − 1`	−0,85
1	−1	—	−1 ✔ (x² = x quand x = 1)
10	989	`1000 − 20 + 10 − 1`	809

La valeur en x = 1 est juste par accident : 1² = 1, l'erreur y est invisible. C'est ce qui l'a rendue difficile à repérer.

Ni l'élève ni le correcteur ne l'ont vue, et la copie a eu 20/20. Le tableau de signe, la dérivée et les racines étaient justes — seule l'évaluation numérique était fausse.

La leçon. Un tableau de variations se relit de haut en bas : les flèches et les valeurs doivent raconter la même histoire. Deux contrôles de dix secondes auraient suffi : « mon maximum est-il au-dessus de mon minimum ? » et « f(−10) et f(10) ont-ils l'ordre de grandeur d'un cube, soit environ ±1 000 ? ».

Contrôle d'ordre de grandeur : pour x = 10, le terme dominant est x³ = 1 000 et −2x² = −200. Une réponse de 989 supposerait un −2x² de seulement −20 — visiblement trop petit pour un terme en x² évalué en 10.

5DST 1 — semestre 1 : étude de fonctions et calcul intégral

Le devoir surveillé du 9 octobre 2026, deux exercices. Le premier est un calcul d'intégrales sec : deux primitives à retrouver, rien de plus. Le second est un sujet d'annale complet — tableau de valeurs, dérivée à démontrer, signe, variations, maximum, primitive admise, intégrale et valeur moyenne. C'est exactement la structure décrite au chapitre 6 du cours, et il vaut la peine de la reconnaître avant de commencer.

🧭 Avant de poser le stylo : lire la question 4

La question 4 donne la primitive F et dit « on admet ». Deux conséquences immédiates : on n'a pas à la chercher, et on a le droit de s'en servir même si l'on a séché sur les questions précédentes. Les questions d'un sujet d'analyse sont presque toujours indépendantes dans ce sens-là — le début aide la fin, jamais l'inverse.

13Exercice 1 · Deux intégrales Facile

Calculer ∫₁¹⁰ f(x) dx pour :

1. f(x) = x² − 2x + 1 · 2. f(x) = e^(−3x)

✅ Correction

1. Une primitive terme à terme.

calcul

f(x) = x² − 2x + 1

Primitive terme a terme :
  x²   ->  x³/3
  −2x  ->  −x²
  1    ->  x

F(x) = x³/3 − x² + x

∫₁¹⁰ f = F(10) − F(1)

F(10) = 1000/3 − 100 + 10 = 1000/3 − 90
F(1)  =    1/3 −   1 +  1 =    1/3

F(10) − F(1) = 999/3 − 90 = 333 − 90 = 243

💡 Le contrôle en deux secondes

x² − 2x + 1 = (x − 1)². Une primitive est donc (x − 1)³/3, et l'intégrale vaut 9³/3 = 729/3 = 243. Même résultat, par un chemin indépendant : c'est ce qu'on appelle vérifier.

Cette reconnaissance vaut aussi pour le signe : un carré est positif, donc l'intégrale devait être positive.

2. Une exponentielle composée, forme e^(ax).

calcul

f(x) = e^(−3x)                 forme e^(ax) avec a = −3

Primitive :  (1/a) e^(ax)  =  −(1/3) e^(−3x)

∫₁¹⁰ f = [ −(1/3) e^(−3x) ]₁¹⁰

       = −(1/3) e^(−30) + (1/3) e^(−3)

       = (e^(−3) − e^(−30)) / 3          valeur exacte

       ≈ (0,049787068 − 0,000000000) / 3

       ≈ 0,0166                          arrondi au dix-millieme

⚠️ Le signe du coefficient

La primitive de e^(ax) est (1/a)·e^(ax). Avec a = −3, le facteur est −1/3 : oublier le signe donne −0,0166, c'est-à-dire une aire négative sous une courbe qui ne passe jamais sous l'axe. Le signe du résultat est un contrôle gratuit.

Deuxième contrôle, tout aussi gratuit : e^(−30) vaut 9,4 × 10⁻¹⁴. Il ne pèse rien devant e^(−3) — mais on l'écrit quand même dans la valeur exacte, parce que « négligeable » n'est pas « nul ».

14Exercice 2 · La ligne d'assemblage Difficile

Une ligne d'assemblage produit entre 20 000 et 40 000 ordinateurs par an. Si elle en produit x milliers, le bénéfice associé, en milliers d'euros, est

f(x) = (45 − x)·e^(0,1x) − 10 sur [20 ; 40].

Compléter le tableau de valeurs pour x = 20, 25, 30, 35, 40, au centième.
a. Montrer que f′(x) = (−0,1x + 3,5)·e^(0,1x) · b. Étudier son signe · c. En déduire le tableau de variation.
Déterminer le nombre d'ordinateurs à fabriquer pour un bénéfice maximal, et donner ce bénéfice à la dizaine d'euros près.
On admet que F(x) = (550 − 10x)·e^(0,1x) − 10x est une primitive de f. a. Montrer que ∫₃₀⁴⁰ f(x) dx = 150e⁴ − 250e³ − 100 · b. En déduire le bénéfice moyen, à la dizaine d'euros, entre 30 000 et 40 000 ordinateurs.

✅ Correction

1. Le tableau de valeurs. Cinq calculs, à la calculatrice.

calcul

f(20) = (45 − 20) e^(0,1×20) − 10 = 25 e²   − 10 = 184,7264 − 10 ≈ 174,73
f(25) = (45 − 25) e^(2,5)    − 10 = 20 e^2,5 − 10 = 243,6499 − 10 ≈ 233,65
f(30) = (45 − 30) e^(3)      − 10 = 15 e³   − 10 = 301,2831 − 10 ≈ 291,28
f(35) = (45 − 35) e^(3,5)    − 10 = 10 e^3,5 − 10 = 331,1545 − 10 ≈ 321,15
f(40) = (45 − 40) e^(4)      − 10 =  5 e⁴   − 10 = 272,9908 − 10 ≈ 262,99

`x`	20	25	30	35	40
`f(x)`	174,73	233,65	291,28	321,15	262,99

Le tableau n'est pas décoratif : il monte puis descend, avec un sommet entre 30 et 40. La question 3 est déjà à moitié répondue, et la question 2 n'aura qu'à le démontrer.

2.a. La dérivée. Un produit, puis une factorisation.

calcul

f(x) = (45 − x) · e^(0,1x) − 10        PRODUIT u·v, moins une constante

  u  = 45 − x                  v  = e^(0,1x)
  u' = −1                      v' = 0,1 · e^(0,1x)      ← (e^w)' = w' e^w

(uv)' = u'v + uv'

f'(x) = (−1) e^(0,1x) + (45 − x) × 0,1 × e^(0,1x)

On FACTORISE par e^(0,1x), commun aux deux termes :

f'(x) = e^(0,1x) × [ −1 + 0,1(45 − x) ]
      = e^(0,1x) × [ −1 + 4,5 − 0,1x ]
      = e^(0,1x) × ( 3,5 − 0,1x )

      = (−0,1x + 3,5) · e^(0,1x)               ← la forme demandee

🧭 « Montrer que » : on part du membre de gauche

Le résultat est donné. La seule chose qui rapporte des points, c'est le chemin : dériver, puis factoriser jusqu'à tomber exactement sur l'écriture de l'énoncé. Partir du résultat pour le dériver à l'envers ne démontre rien et se voit tout de suite.

Le −10 disparaît : la dérivée d'une constante est nulle. C'est le point que l'on oublie le plus souvent — pas parce qu'il est difficile, parce qu'on ne le regarde pas.

2.b. Le signe. Un facteur toujours positif, un facteur affine.

calcul

· Pour tout reel t, e^t > 0.  Donc e^(0,1x) > 0 pour tout x.
  Le signe de f'(x) est donc CELUI DE (−0,1x + 3,5).

· −0,1x + 3,5 > 0  ⟺  3,5 > 0,1x  ⟺  x < 35
· −0,1x + 3,5 = 0  ⟺  x = 35
· −0,1x + 3,5 < 0  ⟺  x > 35

Sur [20 ; 40] :   f'(x) > 0 sur [20 ; 35[
                  f'(35) = 0
                  f'(x) < 0 sur ]35 ; 40]

2.c. Le tableau de variation.

`x`	20	→	35	→	40
`f′(x)`		+	0	−
`f(x)`	174,73	croît	321,15	décroît	262,99

Les trois valeurs du tableau sont déjà calculées à la question 1. On les recopie, on n'en refait aucune.

3. Le maximum, et sa valeur en euros.

calcul

Le maximum est atteint en x = 35.

x est en MILLIERS d'ordinateurs  ->  35 000 ordinateurs par an.

f(35) = 10 e^3,5 − 10 = 321,1545196...   en MILLIERS d'euros

      = 321 154,5196...  euros

A la dizaine d'euros pres :  321 150 €

⚠️ Deux unités, deux pièges, et ils ne se compensent pas

x est en milliers d'ordinateurs : la réponse est 35 000, pas 35. Et f(x) est en milliers d'euros : le bénéfice est 321 150 €, pas 321,15 €.

« À la dizaine d'euros près » impose de descendre jusqu'aux euros avant d'arrondir. Répondre « 321,15 milliers d'euros » ne répond pas à la question posée.

4.a. L'intégrale. La primitive est donnée : on l'applique.

calcul

∫₃₀⁴⁰ f(x) dx = F(40) − F(30)        avec F(x) = (550 − 10x) e^(0,1x) − 10x

F(40) = (550 − 400) e^(0,1×40) − 10×40 = 150 e⁴ − 400
F(30) = (550 − 300) e^(0,1×30) − 10×30 = 250 e³ − 300

F(40) − F(30) = (150 e⁴ − 400) − (250 e³ − 300)
              =  150 e⁴ − 400 − 250 e³ + 300
              =  150 e⁴ − 250 e³ − 100           ← la forme demandee

⚠️ Le moins devant la parenthèse

−(250e³ − 300) vaut −250e³ + 300. C'est l'endroit exact où se perd le point : −400 + 300 = −100, et non −700. Écrire la parenthèse avant de la développer coûte trois secondes.

💡 Vérifier qu'on nous a donné la bonne primitive

« On admet » ne veut pas dire « on ne peut pas vérifier ». En trente secondes :

calcul

F(x)  = (550 − 10x) e^(0,1x) − 10x

F'(x) = (−10) e^(0,1x) + (550 − 10x) × 0,1 e^(0,1x) − 10
      = e^(0,1x) [ −10 + 55 − x ] − 10
      = (45 − x) e^(0,1x) − 10
      = f(x)                                      ✓

Le faire une fois rassure sur tout le reste de l'exercice. Et le jour où une primitive donnée est fausse — cela arrive —, c'est la seule façon de s'en apercevoir.

4.b. Le bénéfice moyen.

calcul

Valeur moyenne de f sur [a ; b] :   m = (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx

Ici a = 30, b = 40, donc b − a = 10 :

m = (1/10) × (150 e⁴ − 250 e³ − 100)

  = 15 e⁴ − 25 e³ − 10                 valeur exacte

  = 15 × 54,598150 − 25 × 20,085537 − 10

  = 818,97225 − 502,13842 − 10

  = 306,8338274...                     en MILLIERS d'euros

  = 306 833,83 €   ->   306 830 €      a la dizaine d'euros pres

🧭 Le contrôle de vraisemblance

Sur [30 ; 40], f vaut 291,28 au début, culmine à 321,15, et redescend à 262,99. Une moyenne de 306,83 milliers d'euros tombe bien entre le minimum et le maximum de l'intervalle — c'est la seule chose qu'on puisse vérifier sans refaire le calcul, et elle attrape la plupart des fautes de frappe.

Elle est aussi plus proche du maximum que du minimum, ce qui est cohérent : la courbe passe plus de temps en haut qu'en bas sur cet intervalle.

🔧 Ce que ce DST réutilise, chapitre par chapitre

Question	Ce qu'il faut savoir	Où c'est
Ex. 1.1	primitives d'un polynôme	chapitre 12
Ex. 1.2	primitive de `e^(ax)`	chapitre 12
Ex. 2.2a	dérivée d'un produit, `(e^w)′ = w′e^w`	chapitre 4
Ex. 2.2b–c	signe d'un produit, tableau de variation	chapitre 3
Ex. 2.4a	théorème fondamental, `F(b) − F(a)`	chapitre 12
Ex. 2.4b	valeur moyenne	chapitre 12

Rien d'autre. Un DST d'analyse ne demande jamais une connaissance de plus — il demande de les enchaîner sans en perdre une en route.