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La loi normale — exercices

Sept énoncés, tous issus des séances et des sujets de BTS. Le même réflexe à chaque fois : où tombent les bornes par rapport à μ ± kσ ?

🎯

Le réflexe d'attaque

Avant tout calcul, écrire les six nombres μ−3σ, μ−2σ, μ−σ, μ+σ, μ+2σ, μ+3σ sur un axe. Neuf fois sur dix, les bornes de l'énoncé s'y trouvent déjà — et la réponse se lit sans calculatrice. Puis hachurer la zone cherchée : c'est ce qui empêche de confondre une queue avec son complémentaire.

01Lire les intervalles

1Le diamètre des pommes Facile

Dans un verger, on récolte un très grand nombre de pommes de la même variété, de la même maturité et dans les mêmes conditions de culture. Le diamètre X de ces pommes, en centimètres, suit la loi normale N(8 ; 2).

Quelle est la probabilité qu'une pomme choisie au hasard ait un diamètre compris entre 4 et 12 cm ?
Quelle est la probabilité qu'une pomme ait un diamètre inférieur à 4 cm ?
… un diamètre supérieur à 10 cm ?
… un diamètre inférieur à 8 cm ?
… un diamètre compris entre 6 et 12 cm ? (sans calculatrice)

✅ Correction

On place d'abord les repères, une fois pour toutes :

repères

μ = 8   σ = 2

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
    2      4     6     8    10     12     14

1. 4 = μ − 2σ et 12 = μ + 2σ : c'est l'intervalle à 2σ.

calcul — 1

P(4 ⩽ X ⩽ 12) = 0,95   à 10⁻²

Environ 95 % des pommes mesurent entre 4 et 12 cm de diamètre.

2. 4 est la borne gauche du même intervalle. Ce qui en sort, 0,05, se partage également entre les deux queues.

calcul — 2

Par complémentarité et par symétrie :
P(X < 4) = (1 − 0,95) / 2
         = 0,05 / 2
P(X < 4) = 0,025

Environ 2,5 % des pommes font moins de 4 cm.

3. 10 = μ + σ : on change d'intervalle.

calcul — 3

P(6 ⩽ X ⩽ 10) = 0,68

Par complémentarité et par symétrie :
P(X > 10) = (1 − 0,68) / 2
          = 0,32 / 2
P(X > 10) = 0,16

Environ 16 % des pommes dépassent 10 cm.

4. 8 = μ, l'axe de symétrie. Aucun calcul.

calcul — 4

P(X < 8) = 0,5

La moitié des pommes fait moins de 8 cm — c'est la moyenne.

5. Les bornes appartiennent à deux intervalles différents (6 = μ − σ, 12 = μ + 2σ). On passe par le complémentaire.

calcul — 5

P(X < 6)  = (1 − 0,68) / 2 = 0,16
P(X > 12) = (1 − 0,95) / 2 = 0,025

P(6 < X < 12) = 1 − P(X < 6) − P(X > 12)
              = 1 − 0,16 − 0,025
              = 0,815      à 10⁻³

Environ 81,5 % des pommes mesurent entre 6 et 12 cm.

Contrôle par encadrement : [6 ; 12] contient [6 ; 10] et est contenu dans [4 ; 12], donc la réponse doit être comprise entre 0,68 et 0,95. 0,815 y est ✔

🧰 À la calculatrice, pour comparer

Avec Low = 6, Up = 12, μ = 8, σ = 2, la machine rend 0,818 6 à 10⁻⁴. L'écart avec 0,815 vient des arrondis 0,68 et 0,95 — voir § 8 du cours. Les deux réponses sont justes, chacune pour sa consigne.

2Une loi N(20 ; 4) Facile

Z suit la loi normale N(20 ; 4). Déterminer, sans calculatrice :

P(16 < Z < 24)
P(Z > 24)
P(12 < Z < 28) puis P(Z ⩾ 28)

✅ Correction

repères

μ = 20   σ = 4

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
    8     12    16    20    24     28     32

calcul

1.  16 = μ−σ et 24 = μ+σ        → intervalle à 1σ
    P(16 < Z < 24) = 0,68

2.  24 = μ+σ, une queue de l'intervalle à 1σ
    P(Z > 24) = (1 − 0,68) / 2 = 0,16

3.  12 = μ−2σ et 28 = μ+2σ      → intervalle à 2σ
    P(12 < Z < 28) = 0,95
    P(Z ⩾ 28)      = (1 − 0,95) / 2 = 0,025

Exactement les mêmes nombres que pour les pommes — 0,68, 0,16, 0,95, 0,025. C'est bien la preuve que les intervalles de fluctuation ne dépendent ni de μ ni de σ. Seules les bornes changent.

02Complémentarité et symétrie

3La température d'octobre Moyen

En France, la température moyenne (en degrés Celsius) d'une journée d'octobre suit la loi normale de paramètres μ = 15 et σ = 3.

Sans calculatrice, préciser la probabilité (arrondie au centième) que lors d'une journée d'octobre la température soit comprise entre 12 °C et 18 °C.
Delphine et Jean-Hubert vont se marier un samedi du mois d'octobre. Ils espèrent que la température sera supérieure à 18 °C sans dépasser les 24 °C. Que peut-on leur dire ?

✅ Correction

repères

μ = 15   σ = 3

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
    6      9     12    15    18     21     24

1. 12 = μ − σ et 18 = μ + σ.

calcul — 1

On considère l'intervalle à 1σ :
   μ − σ = 15 − 3 = 12
   μ + σ = 15 + 3 = 18

P(12 < X < 18) = 0,68   à 10⁻²

Environ 68 % des journées d'octobre ont une température
comprise entre 12 °C et 18 °C.

2. On cherche P(18 < X < 24). Les bornes sont μ + σ et μ + 3σ : encore deux intervalles différents. On découpe la droite entière en quatre morceaux dont trois sont connus.

calcul — 2

La droite se partage en :
   X < 12   |   12 < X < 18   |   18 < X < 24   |   X > 24
   ────────     ─────────────      ┌─ cherché ─┐    ────────
   (1−0,68)/2       0,68                            (1−0,997)/2
    = 0,16                                             = 0,0015

P(18 < X < 24) = 1 − ( P(X < 12) + P(12 < X < 18) + P(X > 24) )
               = 1 − ( 0,16 + 0,68 + 0,0015 )
               = 1 − 0,8415
               = 0,1585

Ils ont environ 16 % de chances — un peu moins d'une sur six.
Autant prévoir une salle.

Le morceau X > 24 vaut 0,001 5 parce que 24 = μ + 3σ. C'est la seule difficulté de l'exercice : penser à tester aussi l'intervalle à 3σ, qu'on oublie volontiers. Contrôle : 0,158 5 doit être plus petit que 0,16 (= P(X > 18) tout entier, dont notre zone est une partie) ✔

🧰 Vérification machine

Low = 18, Up = 24, μ = 15, σ = 3 → 0,157 3. L'écart de 0,001 avec 0,158 5 vient, comme toujours, des arrondis des trois intervalles.

4Le taux d'hématocrite Moyen

Le taux d'hématocrite (en %) est le volume occupé par les globules rouges par rapport à la quantité de sang total. Ce taux, pour les hommes, est supposé suivre la loi normale de paramètres μ = 45,5 et σ = 3. Il est considéré comme normal s'il se situe dans l'intervalle [39,5 ; 51,5].

Quelle est la probabilité d'avoir un taux d'hématocrite normal ?
Lors d'un contrôle antidopage, le taux d'hématocrite du vainqueur du Tour de France 1996 aurait été supérieur à 60. Était-ce suspect ? Justifier à l'aide d'un calcul.

✅ Correction

repères

μ = 45,5   σ = 3

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ     μ     μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
  36,5   39,5   42,5   45,5   48,5   51,5   54,5

1. Les bornes de l'énoncé, 39,5 et 51,5, sont exactement μ − 2σ et μ + 2σ. L'intervalle « normal » du médecin est l'intervalle de fluctuation à 2σ.

calcul — 1

On considère l'intervalle à 2σ :
   μ − 2σ = 45,5 − 2 × 3 = 39,5
   μ + 2σ = 45,5 + 2 × 3 = 51,5

P(X ∈ [39,5 ; 51,5]) = 0,95   à 10⁻²

Conclusion : la probabilité d'avoir un taux d'hématocrite
normal est de 0,95.

2. On mesure d'abord l'écart en nombre de σ — c'est le raisonnement attendu.

calcul — 2

Écart entre 60 et la moyenne :   60 − 45,5 = 14,5
Combien de σ cela représente-t-il ?
   14,5 / 3 ≈ 4,83

60 est donc à près de 5 écarts-types de la moyenne,
bien au-delà de μ + 3σ = 54,5.

Or  P(X > μ + 3σ) = (1 − 0,997) / 2 = 0,0015
donc P(X > 60) < 0,0015

À la calculatrice :  P(X > 60) = 6,7 × 10⁻⁷
                              = 0,000 000 67

Oui, c'était extrêmement suspect : moins de 7 chances sur
10 millions qu'un tel taux soit naturel.

Sur la copie, les deux étages comptent : l'argument qualitatif (« au-delà de 3σ, donc suspect ») donne déjà la conclusion, et le calcul machine la chiffre. L'énoncé dit « justifier à l'aide d'un calcul » — il faut donc bien produire un nombre.

03Passer à la machine

5Les batteries de drones Moyen

Une entreprise s'intéresse à l'autonomie des batteries produites pour ses drones. On note X la variable aléatoire qui, à chaque batterie prélevée dans la production, associe sa durée d'autonomie en minutes. On admet que X suit la loi normale d'espérance 40 et d'écart-type 4.

Donner la durée moyenne d'autonomie d'une batterie.
Recopier et compléter la phrase suivante : « Environ 95 % des batteries ont une autonomie comprise entre …… et …… minutes. »
Une batterie dont l'autonomie est inférieure à 30 minutes est rejetée. Déterminer le pourcentage, arrondi à 0,01 % près, de batteries rejetées.
Soraya affirme que 16 % des batteries devraient tenir plus de 44 minutes. A-t-elle raison ?

✅ Correction

repères

μ = 40   σ = 4

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
   28     32     36    40    44     48     52

1. La durée moyenne, c'est μ par définition : 40 minutes.

2. « Environ 95 % », c'est le signal de l'intervalle à 2σ.

calcul — 2

μ − 2σ = 40 − 2 × 4 = 32
μ + 2σ = 40 + 2 × 4 = 48

« Environ 95 % des batteries ont une autonomie comprise
  entre 32 et 48 minutes. »

3. 30 ne tombe sur aucun repère : la calculatrice est obligatoire, et l'énoncé le confirme en demandant « à 0,01 % près ».

méthode — sur TI

On cherche P(X < 30), soit X ∈ ]−∞ ; 30]

  borne inf (Low) : −10^99
  borne sup (Up)  :  30
  μ               :  40
  σ               :   4

On trouve  P(X < 30) = 0,0062   à 10⁻⁴

soit 0,62 % des batteries rejetées.

Contrôle : 30 est entre μ − 3σ (28) et μ − 2σ (32), donc la réponse doit être comprise entre 0,001 5 et 0,025. 0,006 2 y est ✔

4. 44 = μ + σ : retour à la méthode sans calculatrice.

calcul — 4

μ + σ = 40 + 4 = 44
μ − σ = 40 − 4 = 36

Selon l'intervalle à 1σ :
   P(36 < X < 44) = 0,68   à 10⁻²

Par complémentarité et par symétrie :
   P(X > 44) = (1 − 0,68) / 2
   P(X > 44) = 0,16

Soraya a raison : 16 % des batteries devraient tenir plus
de 44 minutes.

6Les paquets de pâtes Moyen

Une machine remplit des paquets de pâtes dont le poids est supposé être de 500 g. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout paquet rempli par cette machine, associe son poids en grammes. On admet que X suit la loi normale N(500 ; 2).

On choisit au hasard un paquet rempli par cette machine. Quelle est la probabilité que ce paquet ait un poids compris entre 490 g et 505 g ?
Un grand magasin affirme qu'un de ses clients a acheté un paquet de moins de 480 g. Que peut-on en penser ?

✅ Correction

repères

μ = 500   σ = 2   ← un écart-type très petit devant la moyenne :
                    la machine est précise

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
   494    496   498   500   502    504     506

1. Ni 490 ni 505 ne figurent dans les repères : calculatrice.

méthode — sur TI

  Low :  490
  Up  :  505
  μ   :  500
  σ   :    2

P(490 ⩽ X ⩽ 505) = 0,993 8   à 10⁻⁴

Environ 99,4 % des paquets pèsent entre 490 g et 505 g.

Contrôle par encadrement. À gauche, 490 = μ − 5σ : ce qui se trouve en dessous est négligeable, donc P(490 < X < 505) ≈ P(X < 505). À droite, 505 = μ + 2,5σ tombe entre μ + 2σ (504) et μ + 3σ (506) — la réponse doit donc être comprise entre 1 − 0,025 = 0,975 et 1 − 0,001 5 = 0,998 5. 0,993 8 y est ✔

2. On situe 480 par rapport à la cloche.

calcul — 2

Écart entre 480 et la moyenne : 500 − 480 = 20
En nombre d'écarts-types :      20 / 2 = 10

480 est à DIX écarts-types de la moyenne, très loin
au-delà de μ − 3σ = 494.

Or  P(X < μ − 3σ) = 0,0015
donc P(X < 480) est infiniment plus petit encore :
     P(X < 480) ≈ 7,6 × 10⁻²⁴

Un tel paquet est, en pratique, impossible.
Trois explications sont plausibles :
  · le paquet ne provient pas de cette machine ;
  · la machine s'est déréglée (μ a baissé, ou σ a explosé) ;
  · le magasin se trompe, ou exagère.

7,6 × 10⁻²⁴ : un paquet sur cent mille milliards de milliards. Même en produisant un million de paquets par jour depuis l'âge de pierre, on n'en aurait jamais vu un seul. La bonne réponse à cette question n'est pas un nombre, c'est une conclusion argumentée — l'hypothèse « X ↝ N(500 ; 2) » doit être remise en cause.

💡 Une calculatrice affichera 0

Demandez P(X < 480) à une TI : elle répond 0. Ce n'est pas faux, c'est un dépassement de précision — la machine travaille avec une dizaine de chiffres significatifs et ne sait plus distinguer 7,6 × 10⁻²⁴ de zéro dans ce contexte. Sur la copie, écrire « la probabilité est nulle » serait mathématiquement inexact ; écrire « quasi nulle, de l'ordre de 10⁻²⁴ » ou simplement « l'événement est au-delà de 3σ, donc négligeable » est parfait.

04Est-ce suspect ? Et un retour au conditionnel

7La bouteille d'eau Difficile

La quantité d'eau contenue dans une bouteille d'eau d'une certaine marque, exprimée en litres, suit la loi normale d'espérance 1 litre et d'écart-type 0,02 litre. On choisit au hasard une bouteille de cette marque.

Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement un litre ?
Sans calculatrice, préciser la probabilité (arrondie au millième) que cette bouteille contienne entre 0,96 et 1 L.
Est-il probable que cette bouteille contienne plus de 1,1 L ? Expliquer.
En déduire la probabilité qu'une bouteille choisie au hasard contienne plus d'un litre, sachant qu'elle ne peut contenir au maximum que 1,1 L.

✅ Correction

repères

μ = 1   σ = 0,02

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ     μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
  0,94   0,96   0,98    1    1,02   1,04   1,06

1. La loi est continue.

calcul — 1

P(X = 1) = 0

En loi continue, la probabilité d'une valeur isolée est nulle :
aucune bouteille ne contient exactement 1,000 000 0 L.

2. 0,96 = μ − 2σ, et 1 = μ. La zone cherchée est donc la moitié gauche de l'intervalle à 2σ.

calcul — 2

Considérons l'intervalle à 2σ :
   μ − 2σ = 1 − 2 × 0,02 = 0,96
   μ + 2σ = 1 + 2 × 0,02 = 1,04

   P(0,96 < X < 1,04) = 0,95

Donc par symétrie (1 = μ coupe cet intervalle en deux moitiés
d'aires égales) :

   P(0,96 < X < 1) = 0,95 / 2
   P(0,96 < X < 1) = 0,475

Ici la symétrie sert à l'intérieur de l'intervalle, pas sur les queues. C'est le troisième usage de la même propriété — repérez-le, il tombe souvent.

3. On situe 1,1.

calcul — 3

μ + 3σ = 1 + 3 × 0,02 = 1,06

1,1 > 1,06 : la valeur est au-delà de l'intervalle à 3σ.

Or  P(X > μ + 3σ) = (1 − 0,997) / 2 = 0,0015
donc P(X > 1,1) < 0,0015

Non, ce n'est pas probable.

À la calculatrice :  P(X > 1,1) = 2,9 × 10⁻⁷
                                = 0,000 000 29
soit environ 3 chances sur 10 millions.

4. « sachant que » : c'est une probabilité conditionnelle. On applique la formule du chapitre 07.

calcul — 4

Nommons les deux événements :
   A : « la bouteille contient plus d'un litre »      (X > 1)
   B : « elle ne contient pas plus de 1,1 L »         (X ⩽ 1,1)

On cherche P_B(A), et la formule du chapitre 07 donne :

   P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) = P(1 < X ⩽ 1,1) / P(X ⩽ 1,1)

Numérateur :
   P(1 < X ⩽ 1,1) = P(X > 1) − P(X > 1,1)
                  = 0,5 − 0,000 000 29
                  ≈ 0,499 999 7

Dénominateur :
   P(X ⩽ 1,1) = 1 − P(X > 1,1)
              = 1 − 0,000 000 29
              ≈ 0,999 999 7

   P_B(A) = 0,499 999 7 / 0,999 999 7 ≈ 0,5

La probabilité vaut 0,5 (à 10⁻⁶ près).

Le résultat est presque exactement celui de P(X > 1) tout seul. Rien d'étonnant : conditionner par « X ⩽ 1,1 » revient à écarter un événement dont la probabilité est de 3 sur 10 millions — cela ne change pratiquement rien. Une condition quasi certaine n'informe quasiment pas. C'est exactement l'idée d'indépendance approchée vue au chapitre 07.

⚠️ Ne pas répondre « 0,5 » sans le calcul

La réponse numérique est bien 0,5, mais l'énoncé dit « en déduire » : il attend qu'on utilise explicitement le résultat de la question 3 dans la formule des probabilités conditionnelles. Écrire directement 0,5 parce que « 1 est la moyenne » rate la question posée et la moitié des points.

05Sujets complets

8PNEUTOP — Métropole, 13 mai 2019, Partie C Difficile

On admet que le nombre de pneus 4 saisons vendus par mois par le site « PNEUTOP » peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale de moyenne μ = 450 et d'écart-type σ = 15.

a. Déterminer P(435 ⩽ Y ⩽ 465). Arrondir le résultat au centième.
b. Interpréter le résultat par une phrase.
Le responsable du site veut connaître le nombre n de pneus 4 saisons qu'il doit avoir en stock en début de mois pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. Déterminer la plus petite valeur de n remplissant cette condition. Expliquer la démarche. Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.

✅ Correction

repères

μ = 450   σ = 15

  μ−3σ   μ−2σ   μ−σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
   405    420   435   450   465    480     495

1. a. 435 = μ − σ et 465 = μ + σ. L'énoncé demande un arrondi au centième : c'est l'annonce d'une réponse sans calculatrice.

calcul — 1a

On considère l'intervalle à 1σ :
   μ − σ = 450 − 15 = 435
   μ + σ = 450 + 15 = 465

P(435 ⩽ Y ⩽ 465) = 0,68   à 10⁻²

1. b. L'interprétation est notée à part : il faut une phrase complète, dans le contexte.

rédaction

La probabilité que le site vende entre 435 et 465 pneus
4 saisons au cours d'un mois est d'environ 0,68.

Autrement dit : environ 68 % des mois — soit un peu plus de
2 mois sur 3 — les ventes se situent entre 435 et 465 pneus.

2. Traduisons la condition. Être en rupture de stock, c'est que la demande dépasse le stock initial n.

calcul — 2, méthode du cours

Condition :  P(Y > n) < 0,05

0,05, c'est ce qui reste hors de l'intervalle à 2σ :
   μ − 2σ = 450 − 2 × 15 = 420
   μ + 2σ = 450 + 2 × 15 = 480

   P(420 < Y < 480) = 0,95   à 10⁻²

Par complémentarité et par symétrie :
   P(Y ⩾ 480) = (1 − 0,95) / 2
   P(Y ⩾ 480) = 0,025        ← inférieur à 0,05 ✔

donc n = 480 convient.

🔧 Corrigé — 480 convient, mais la plus petite valeur est 475

L'énoncé demande « la plus petite valeur de n ». Or 0,025 est deux fois plus petit que le 0,05 exigé : 480 prend beaucoup trop de marge. La méthode des 2σ trouve un seuil commode, pas le seuil minimal.

calcul — par encadrement à la calculatrice

On teste des valeurs, avec Low = n, Up = 10^99, μ = 450, σ = 15 :

   P(Y > 480) = 0,022 8    < 0,05   ✔ mais on peut descendre
   P(Y > 475) = 0,047 8    < 0,05   ✔ convient encore
   P(Y > 474) = 0,054 8    > 0,05   ✗ trop peu de stock

La plus petite valeur entière est n = 475.

Le responsable doit avoir 475 pneus en stock en début de mois.

Les deux réponses se défendent selon les moyens autorisés : 480 si l'on s'en tient aux trois intervalles, 475 avec la calculatrice — et c'est celle qui répond exactement à la question. La mention « toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte » confirme qu'un tâtonnement écrit est ce qui est attendu : montrez les essais.

9Binomiale ou normale ? Moyen

Pour chacune des situations, indiquer quelle loi modélise la variable aléatoire X, en précisant ses paramètres.

On prélève 40 sacs au hasard dans un stock important. La probabilité qu'un sac soit défectueux est 0,049 4. X est le nombre de sacs défectueux du prélèvement.
X est le poids, en grammes, d'un paquet sorti d'une machine réglée sur 500 g avec une régularité caractérisée par un écart-type de 2 g.
X est la durée d'autonomie, en minutes, d'une batterie de drone dont la production a une moyenne de 40 min et un écart-type de 4 min.
On interroge 200 clients. Chacun a 30 % de chances d'être satisfait. X est le nombre de clients satisfaits.

✅ Correction

Situation	X…	Loi	Pourquoi
1 — sacs défectueux	compte	`B(40 ; 0,049 4)`	n épreuves identiques et indépendantes, deux issues (défectueux / non), même probabilité p à chaque tirage
2 — poids d'un paquet	mesure	`N(500 ; 2)`	grandeur continue, moyenne et écart-type donnés
3 — autonomie	mesure	`N(40 ; 4)`	durée continue, moyenne et écart-type donnés
4 — clients satisfaits	compte	`B(200 ; 0,3)`	200 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes

🧰 Le tri en une question

Est-ce que X peut valoir 3,5 ? Si oui — un poids, une durée, un diamètre, un taux — c'est une loi normale. Si non, si X ne peut être que 0, 1, 2, 3… — un nombre d'objets, de clients, de pannes —, c'est une loi binomiale.

Un sujet de BTS enchaîne très souvent les deux sur le même contexte industriel : une Partie B qui compte les pièces défectueuses, une Partie C qui mesure la pièce. Ne transposez pas les réflexes : en binomiale, P(X ⩾ 3) = 1 − P(X ⩽ 2) avec un glissement d'un cran ; en normale, ⩽ et < sont identiques.

10Rappel binomiale — Métropole 2015, Partie B Moyen

On prélève au hasard 40 sacs pour vérification, le stock étant assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On rappelle que la probabilité qu'un sac soit défectueux est 0,049 4. X est la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 40 sacs, associe le nombre de sacs défectueux. Les probabilités demandées sont à arrondir à 10⁻³.

Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement il y ait exactement deux sacs défectueux.
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins trois sacs défectueux.
Calculer la probabilité qu'il y ait plus de 4 sacs défectueux.
Calculer l'espérance E(X) et interpréter le résultat.

✅ Correction

Cet exercice figure sur le même tableau que le cours de loi normale, en révision. Il est ici pour marquer le contraste : voir le chapitre 08 pour la méthode complète.

rédaction — 1

L'expérience aléatoire consiste à répéter n = 40 fois de suite
la même épreuve de Bernoulli.
Chaque épreuve n'a que 2 issues contraires :
   · le sac prélevé est défectueux — succès, de probabilité p = 0,0494 ;
   · sinon, échec, de probabilité q = 1 − p = 0,9506.
Les épreuves sont mutuellement indépendantes (tirage assimilé
à un tirage avec remise).

Conclusion :  X ↝ B(40 ; 0,0494)

calcul — 2 à 5

2.  P(X = 2) = 0,278   à 10⁻³
    (calculatrice : binomFdp / BinomialPD, n = 40, p = 0.0494, k = 2)

3.  P(X ⩾ 3) = 1 − P(X < 3)        par complémentarité
             = 1 − P(X ⩽ 2)        ← le glissement d'un cran
             = 1 − 0,683
    P(X ⩾ 3) = 0,317   à 10⁻³

4.  P(X > 4) = 1 − P(X ⩽ 4)        par complémentarité
             = 1 − 0,954
    P(X > 4) = 0,046   à 10⁻³

5.  E(X) = n × p = 40 × 0,0494 = 1,976

    Interprétation : en moyenne, un prélèvement de 40 sacs
    contient 1,976 sac défectueux.

Le contraste à retenir. Les deux questions ne se traitent pas pareil. En 4, > 4 et ⩽ 4 sont exactement contraires : simple complémentarité, rien à décaler. En 3, le contraire de ⩾ 3 est ⩽ 2 — c'est là qu'apparaît le glissement d'un cran, rendu nécessaire par le fait que P(X = 3) ≠ 0. En loi normale, ce glissement disparaît complètement, puisque P(X ⩾ 3) = P(X > 3) : c'est l'erreur d'importation la plus fréquente entre les deux chapitres.