Accueil/Mathématiques /Chapitre 09 /Exercices corrigés

Lois uniforme & exponentielle — exercices

Des rectangles, puis des exponentielles — et le logarithme pour remonter.

🎯

Deux réflexes, à chaque exercice

Dessiner pour la loi uniforme : le rectangle donne la largeur, et la largeur donne la réponse. Et vérifier le sens pour l'exponentielle : « fonctionne encore » diminue quand t grandit, « tombe en panne » augmente. Un résultat qui va dans le mauvais sens signale un « 1 − » oublié.

01Loi uniforme

1Trois probabilités sur U[0 ; 10] Facile

X suit la loi uniforme sur [0 ; 10]. Calculez P(X < 3), P(X ⩾ 6) et P(3 < X ⩽ 8).

✅ Correction

Densité constante : 1/(10 − 0) = 1/10. Chaque probabilité est l'aire d'un rectangle de hauteur 1/10.

calcul

P(X < 3)     = largeur × hauteur = (3 − 0)  × 1/10 = 0,3
P(X ⩾ 6)     =                     (10 − 6) × 1/10 = 0,4
P(3 < X ⩽ 8) =                     (8 − 3)  × 1/10 = 0,5

🧰 Le contrôle par la somme

Les trois zones [0;3[, [3;6[ et [6;10] recouvrent tout l'intervalle sans se chevaucher :

calcul

P(X < 3) + P(3 ⩽ X < 6) + P(X ⩾ 6)
= 0,3    + 0,3           + 0,4      = 1     ✔

Notez que P(3 < X ⩽ 8) et P(3 ⩽ X < 8) donnent le même résultat : en continu, une borne isolée a une probabilité nulle. Il n'y a rien à décaler, contrairement au chapitre 08.

2Alice et Brigitte Moyen

Brigitte se rend à la bibliothèque entre 15 h et 16 h ; Alice arrive à 15 h 20. Le délai d'arrivée de Brigitte, en minutes après 15 h, suit U_{[0 ; 60]}. Calculez la probabilité de :

Brigitte arrive avant Alice ;
Alice attend Brigitte plus de 20 minutes ;
Alice attend Brigitte moins de 5 minutes.

✅ Correction

Densité 1/60. Alice arrive à la minute 20.

calcul

1) « Brigitte arrive avant Alice » ⟺ X < 20
   P(X < 20) = (20 − 0)/60 = 20/60 ≈ 0,33

2) « Alice attend plus de 20 min » ⟺ Brigitte arrive après la minute 40
   P(X > 40) = (60 − 40)/60 = 20/60 ≈ 0,33

3) « Alice attend moins de 5 min » ⟺ 20 < X < 25
   P(20 < X < 25) = (25 − 20)/60 = 5/60 ≈ 0,08

⚠️ La troisième question est la seule qui piège

« Alice attend moins de 5 minutes » ne veut pas dire X < 5. Si Brigitte arrive avant la minute 20, Alice n'attend pas du tout — c'est Brigitte qui attend.

Pour qu'Alice attende, il faut X > 20. Et pour qu'elle attende moins de 5 minutes, il faut X < 25. D'où l'intervalle ]20 ; 25[.

Dessinez l'axe du temps et placez Alice avant de calculer.

Toute la difficulté d'un exercice de loi uniforme est la traduction en intervalle. Le calcul qui suit est une division.

3Le standardiste Moyen

Un standardiste réduit l'attente en transférant au plus vite les appels. La durée d'attente T est comprise entre 10 secondes et 1 minute, et suit une loi uniforme.

Donner la loi de T et la valeur de sa densité.
Calculer P(T < 20) et P(T > 40).
Calculer la durée d'attente moyenne.

✅ Correction

calcul

1) T ↝ U[10 ; 60]      (1 minute = 60 secondes)

   densité = 1/(60 − 10) = 1/50     ← et NON 1/60

2) P(T < 20) : T ne peut pas descendre sous 10,
   donc l'événement est en réalité 10 ⩽ T < 20, de largeur 10.

   P(T < 20) = 10/50 = 0,2

   P(T > 40) = (60 − 40)/50 = 20/50 = 2/5 = 0,4

3) E(T) = (10 + 60)/2 = 35 secondes

⚠️ Les deux erreurs de cet exercice

Prendre 1/60 comme densité. L'intervalle ne commence pas à zéro : sa longueur est 50, pas 60.
Prendre 20 comme largeur pour P(T < 20). La largeur se lit sur le dessin : de 10 à 20, soit 10.

Les deux erreurs se cumulent : 20/60 = 0,33 au lieu de 0,2 — près du double.

Contrôle : E(T) = 35 s est bien le milieu de [10 ; 60] ✔ Et 0,2 + 0,4 = 0,6, donc il reste 0,4 pour l'intervalle [20 ; 40] — de largeur 20, soit 20/50 = 0,4 ✔

02Lire R et F

4Traduire une phrase Facile

T est la durée de vie d'un composant, en heures. Écrivez chaque événement avec R ou F, puis donnez la formule exponentielle correspondante.

« le composant fonctionne encore au bout de 2 000 heures »
« le composant tombe en panne avant 500 heures »
« le composant a une durée de vie d'au moins 1 000 heures »
« le composant tombe en panne entre 1 000 et 2 000 heures »

✅ Correction

Phrase	Événement	Fonction	Formule
1	T > 2 000	R(2000)	`e^−2000λ`
2	T < 500	F(500)	`1 − e^−500λ`
3	T ⩾ 1 000 = T > 1 000	R(1000)	`e^−1000λ`
4	1 000 < T < 2 000	R(1000) − R(2000)	`e^−1000λ − e^−2000λ`

R comme reliability : ça tient encore
F comme failure : c'est tombé en panne

Le cas 3 mérite attention : « au moins 1 000 heures » s'écrit T ⩾ 1 000, identique à T > 1 000 puisque la variable est continue. Ne cherchez pas à décaler d'un cran.

5Justifier le modèle Moyen

Sur un grand lot d'ampoules, on relève la proportion encore en fonctionnement :

t (h)	0	500	1 000	1 500	2 000	2 500	3 000
R(t)	1	0,78	0,60	0,47	0,37	0,28	0,22

Une régression exponentielle donne R(t) = e^{−0,000 5 t}. Vérifiez que ce modèle colle aux relevés, puis expliquez pourquoi un modèle linéaire ne conviendrait pas.

✅ Correction

calcul — vérification du modèle

t = 500  :  e^(−0,25) = 0,778 8   relevé 0,78   écart 0,001
t = 1000 :  e^(−0,50) = 0,606 5   relevé 0,60   écart 0,007
t = 1500 :  e^(−0,75) = 0,472 4   relevé 0,47   écart 0,002
t = 2000 :  e^(−1,00) = 0,367 9   relevé 0,37   écart 0,002
t = 2500 :  e^(−1,25) = 0,286 5   relevé 0,28   écart 0,007
t = 3000 :  e^(−1,50) = 0,223 1   relevé 0,22   écart 0,003

Tous les écarts sont inférieurs à 0,01 : le modèle est excellent.

Pourquoi pas une droite :

calcul — les baisses successives

de    0 à  500 :  1 − 0,78 = 0,22
de  500 à 1000 :  0,78 − 0,60 = 0,18
de 1000 à 1500 :  0,60 − 0,47 = 0,13
de 2500 à 3000 :  0,28 − 0,22 = 0,06

La baisse RALENTIT. Une droite aurait une baisse constante.

Et une droite finirait par passer sous zéro — impossible pour une probabilité. L'exponentielle, elle, tend vers 0 sans jamais l'atteindre.

💡 Ce que dit le coefficient de corrélation

La régression affiche r = −0,999 886. Plus |r| est proche de 1, mieux le modèle colle. Le signe négatif indique simplement que R décroît.

Et a = 1,001 5 ≈ 1 confirme que R(0) = 1 — toutes les ampoules fonctionnent au départ. C'est un contrôle de cohérence physique, pas seulement statistique.

03Calculs exponentiels

6Les trois ampoules Facile

La durée de vie T d'une ampoule suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,000 5. Calculez, à 10⁻⁴ :

P(A), A : « l'ampoule fonctionne encore au bout de 1 000 heures » ;
P(B), B : « … au bout de 1 500 heures » ;
P(C), C : « … au bout de 500 heures » ;
la probabilité que l'ampoule grille avant 1 000 heures.

✅ Correction

calcul

1) P(A) = R(1000) = e^(−0,0005 × 1000) = e^(−0,5)  ≈ 0,606 5
2) P(B) = R(1500) = e^(−0,0005 × 1500) = e^(−0,75) ≈ 0,472 4
3) P(C) = R(500)  = e^(−0,0005 × 500)  = e^(−0,25) ≈ 0,778 8

4) « grille avant 1 000 h » : c'est le contraire de A
   P(T < 1000) = F(1000) = 1 − R(1000)
                          = 1 − 0,606 5
                          = 0,393 5

Interprétations : 60,65 % des ampoules dépassent 1 000 heures, 47,24 % dépassent 1 500 heures, et 39,35 % grillent avant 1 000 heures.

Trois contrôles gratuits : les valeurs décroissent quand t augmente (0,7788 > 0,6065 > 0,4724) ✔ ; toutes sont entre 0 et 1 ✔ ; et P(A) + P(T < 1000) = 0,6065 + 0,3935 = 1 ✔

7Le monstre du jeu vidéo Moyen

Dans un jeu vidéo apparaît un monstre dont la durée de vie T suit une loi exponentielle de paramètre λ (en min⁻¹). Le jeu est programmé pour que la durée de vie moyenne soit de 10 minutes.

Justifier que λ = 0,1 min⁻¹.
Calculer, au centième : A « le monstre est encore en vie après dix minutes de jeu », B « le monstre périt avant vingt minutes de jeu », C « le monstre est encore en vie à la dixième minute et périt avant la vingtième ».
Déterminer la durée de « demi-vie » m telle que P(T ⩽ m) = 0,5.

✅ Correction

calcul — 1

Pour une loi exponentielle, E(T) = 1/λ.
L'énoncé donne E(T) = 10 minutes, donc :

1/λ = 10     →     λ = 0,1 min⁻¹

calcul — 2

A : T > 10
P(A) = e^(−0,1 × 10) = e^(−1) ≈ 0,37

B : T < 20
P(B) = 1 − e^(−0,1 × 20) = 1 − e^(−2) = 1 − 0,135 3 ≈ 0,86

C : 10 < T < 20
P(C) = R(10) − R(20) = e^(−1) − e^(−2)
                     = 0,367 9 − 0,135 3
                     = 0,232 5 ≈ 0,23

calcul — 3 : la demi-vie

P(T ⩽ m) = 0,5
1 − e^(−0,1 m) = 0,5
    e^(−0,1 m) = 0,5

ln des deux membres :
      −0,1 m = ln(0,5) = −0,693 1
           m = 0,693 1 / 0,1
           m ≈ 6,93 minutes

💡 Moyenne 10 min, médiane 6,9 min

La moitié des monstres meurent avant 6,9 minutes, alors que la durée de vie moyenne est de 10 minutes. Ce n'est pas contradictoire : la loi est très asymétrique. Beaucoup de monstres meurent vite, quelques-uns survivent longtemps et tirent la moyenne vers le haut.

médiane = ln 2 / λ ≈ 0,693 / λ
toujours inférieure à la moyenne 1/λ

Contrôle de cohérence entre les trois résultats : P(C) = P(A) − P(T > 20) = 0,3679 − 0,1353 = 0,2325 ✔ Et P(T > 20) = 1 − P(B) = 1 − 0,8647 = 0,1353 ✔

04Sans mémoire

8L'ampoule qui a déjà servi Difficile

Avec λ = 0,000 5, calculez la probabilité qu'une ampoule fonctionne encore au bout de 1 500 heures sachant qu'elle a déjà fonctionné 1 000 heures. Comparez à P(C) = R(500). Que concluez-vous ?

✅ Correction

On cherche P_A(B) avec A : T > 1 000 et B : T > 1 500.

calcul

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)

Or B implique A : si T > 1500, alors T > 1000.
Donc A ∩ B = B.

P_A(B) = P(B) / P(A)
       = e^(−0,75) / e^(−0,5)
       = e^(−0,75 + 0,5)          ← e^a / e^b = e^(a−b)
       = e^(−0,25)
       = 0,778 8

… ce qui est EXACTEMENT P(C) = R(500).

Conclusion : qu'elle ait déjà brûlé 1 000 heures ou qu'elle sorte de sa boîte, la probabilité qu'une ampoule tienne 500 heures de plus est la même. La loi exponentielle est sans mémoire : le matériel ne vieillit pas.

🧰 La démonstration générale, en trois lignes

calcul

R(t₁ + t₂) = e^(−λ(t₁+t₂)) = e^(−λt₁) × e^(−λt₂) = R(t₁) × R(t₂)

donc  P_(T>t₁)(T > t₁ + t₂) = R(t₁+t₂)/R(t₁) = R(t₂) = P(T > t₂)

Tout vient de e^a × e^b = e^a+b : l'exponentielle transforme les sommes en produits, et c'est ce qui efface le passé.

Question d'oral quasi certaine : « pourquoi cette loi convient-elle mal aux pièces mécaniques ? » Parce qu'un roulement s'use : sa probabilité de survie dépend de son passé. La loi exponentielle suppose une panne accidentelle à taux constant — ce qui décrit bien l'électronique.

9MTBF et durée de vie moyenne Moyen

Toujours λ = 0,000 5.

Calculer le MTBF et l'interpréter.
Quelle proportion d'ampoules atteint réellement cette durée moyenne ?
Commenter.

✅ Correction

calcul

1) MTBF = E(T) = 1/λ = 1/0,000 5 = 2 000 heures

   Une ampoule de ce lot dure en moyenne 2 000 heures.

2) R(2000) = e^(−0,0005 × 2000) = e^(−1) ≈ 0,367 9

   Seulement 36,8 % des ampoules atteignent 2 000 heures.

3. Commentaire. Le MTBF est une moyenne, pas une garantie ni une médiane. La loi exponentielle est très asymétrique : beaucoup d'ampoules grillent tôt, quelques-unes durent très longtemps et tirent la moyenne vers le haut.

R(1/λ) = e⁻¹ ≈ 0,37 — toujours, quel que soit λ

Autrement dit : dans toute loi exponentielle, seuls 37 % des exemplaires atteignent la durée de vie moyenne. C'est une propriété structurelle, pas une particularité de ce lot.

💡 Ce que cela signifie sur une fiche technique

Un disque dur annoncé « MTBF 1,2 million d'heures » ne durera pas 136 ans. C'est un taux moyen constaté sur un parc : sur 1,2 million d'heures de fonctionnement cumulé (par exemple 1 000 disques pendant 1 200 heures), on observe en moyenne une panne.

Et l'écart-type vaut aussi 1/λ : la dispersion est aussi grande que la moyenne. La durée de vie d'un exemplaire est donc très imprévisible.

05Retrouver λ

10Par une probabilité Moyen

Y suit une loi exponentielle de paramètre λ, et P(Y > 8) = 0,7. Calculez λ.

✅ Correction

calcul

P(Y > 8) = R(8) = e^(−8λ) = 0,7

on applique ln aux deux membres :
ln(e^(−8λ)) = ln(0,7)
       −8λ  = ln(0,7)            ← car ln(e^x) = x
       −8λ  = −0,356 675
         λ  = 0,356 675 / 8
         λ  ≈ 0,044 6

🧰 Vérifier en remontant

calcul

e^(−8 × 0,044 6) = e^(−0,356 8) = 0,700 0    ✔

Une frappe sur la calculatrice, et l'erreur de signe est écartée.

⚠️ ln(0,7) est négatif

Le logarithme d'un nombre compris entre 0 et 1 est négatif. Ici ln(0,7) = −0,3567. Ce signe moins s'annule avec celui de −8λ pour donner un λ positif, comme il se doit.

Si vous trouvez un λ négatif, vous avez perdu un signe — et la fonction de fiabilité deviendrait croissante, ce qui est absurde.

11Trouver une durée Difficile

Le temps d'attente T d'un client au café suit une loi exponentielle avec λ = 0,25 min⁻¹. Déterminez, à la seconde près, le temps t tel que P(T > t) = 0,1.

✅ Correction

calcul

P(T > t) = e^(−0,25 t) = 0,1

ln des deux membres :
    −0,25 t = ln(0,1) = −2,302 585
          t = 2,302 585 / 0,25
          t = 9,210 3 minutes

Conversion de la partie décimale :

calcul

0,210 3 × 60 = 12,6 secondes

t ≈ 9 minutes et 13 secondes.

Interprétation : 10 % des clients attendent plus de 9 min 13 s.

⚠️ 9,21 minutes ne fait pas « 9 min 21 s »

La partie décimale d'un nombre de minutes se convertit en multipliant par 60, pas en la lisant telle quelle.

0,210 3 min × 60 = 12,6 s → 9 min 13 s
et non 9 min 21 s

Quand un énoncé précise « à la seconde près », c'est exactement cette conversion qui est testée.

Contrôle : t = 9,2 min est supérieur au temps moyen de 4 minutes — normal, puisqu'on cherche le seuil que seuls 10 % des clients dépassent.

06Sujets complets

12La terrasse du café Moyen

On s'intéresse au temps que doit attendre un client pour être servi à la terrasse d'un café. Ce temps d'attente, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

Le temps d'attente moyen est égal à 4 minutes. Expliquer pourquoi λ = 0,25.
Décrire par une phrase l'événement (T < 3) et déterminer sa probabilité, arrondie à 10⁻³.
Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes ? Arrondir à 10⁻³.
Déterminer, à la seconde près, le temps t tel que P(T > t) = 0,1.

✅ Correction

rédaction — 1

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, on sait que E(T) = 1/λ.
L'énoncé indique que le temps d'attente moyen vaut 4 minutes,
c'est-à-dire E(T) = 4. Donc :

     1/λ = 4     →     λ = 1/4 = 0,25 min⁻¹

calcul — 2

(T < 3) : « le client est servi en moins de 3 minutes ».

P(T < 3) = F(3) = 1 − e^(−0,25 × 3)
                = 1 − e^(−0,75)
                = 1 − 0,472 4
                = 0,527 6   ≈ 0,528

Environ 52,8 % des clients sont servis en moins de 3 minutes.

calcul — 3

« au moins 5 minutes » : T ⩾ 5, soit T > 5 (variable continue).

P(T ⩾ 5) = R(5) = e^(−0,25 × 5)
                = e^(−1,25)
                = 0,286 5   ≈ 0,287

Environ 28,7 % des clients attendent au moins 5 minutes.

calcul — 4

e^(−0,25 t) = 0,1
    −0,25 t = ln(0,1) = −2,302 585
          t = 9,210 3 min
            = 9 min et 0,210 3 × 60 = 12,6 s

t ≈ 9 min 13 s.

🧰 Les trois contrôles de ce sujet

0,528 et 0,287 sont bien compris entre 0 et 1 ✔
3 minutes est en dessous de la moyenne de 4 : la probabilité d'être servi avant doit donc dépasser un peu 0,5 — 0,528 est cohérent ✔
t = 9,2 min dépasse largement la moyenne, ce qui est normal pour un seuil de 10 % ✔

Question 1 : le mot « expliquer » impose de citer la formule E(T) = 1/λ. Écrire « λ = 0,25 » seul ne rapporte rien, puisque la valeur est dans l'énoncé.

07Opérations aX + b

13La promotion sur les montres Moyen

Une société vend trois modèles de montres à 10, 20 et 30 €, dans les proportions 0,5 / 0,3 / 0,2. X est le prix catalogue de la montre vendue.

Calculer E(X) et V(X).
Lors d'une promotion, les clients fidèles obtiennent −10 % sur tous les modèles, et paient 2 € de frais d'expédition. Y est le prix payé. Exprimer Y en fonction de X, puis calculer E(Y) et V(Y) de deux façons.

✅ Correction

calcul — 1

E(X) = 10 × 0,5 + 20 × 0,3 + 30 × 0,2
     = 5 + 6 + 6 = 17 €

V(X) = E(X²) − E(X)²
     = (10² × 0,5 + 20² × 0,3 + 30² × 0,2) − 17²
     = (50 + 120 + 180) − 289
     = 350 − 289 = 61

calcul — 2, par le tableau

−10 % puis +2 € de frais :   Y = 0,9 X + 2

valeurs de Y : 0,9×10+2 = 11   0,9×20+2 = 20   0,9×30+2 = 29
probabilités : INCHANGÉES       0,5            0,3            0,2

E(Y) = 11 × 0,5 + 20 × 0,3 + 29 × 0,2
     = 5,5 + 6 + 5,8 = 17,3 €

calcul — 2, par le théorème

E(aX + b) = a E(X) + b
E(Y) = 0,9 × 17 + 2 = 15,3 + 2 = 17,3 €        ✔ identique

V(aX + b) = a² V(X)
V(Y) = 0,9² × 61 = 0,81 × 61 = 49,41

⚠️ Le « + 2 » n'apparaît pas dans la variance

E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX + b) = a²V(X) sans b

Ajouter 2 € à tous les prix décale la distribution sans la disperser : l'écart entre deux montres reste identique. Seule la multiplication par 0,9 resserre les écarts — et elle le fait au carré.

Corollaire : σ(aX + b) = |a| × σ(X). La valeur absolue compte, car un coefficient négatif retourne la distribution mais la dispersion reste positive.

Les probabilités ne changent jamais dans une transformation affine : on achète le même modèle, on le paie seulement autrement. Seules les valeurs se déplacent.

08La somme X + Y

1Les deux représentants Moyen

Deux représentants A et B travaillent en équipe. X compte les contrats obtenus par A au cours d'une demi-journée, Y ceux obtenus par B. La probabilité P(X = x et Y = y) est donnée par ce tableau :

	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
Y = 0	0,05	0,15	0,20	0,10
Y = 1	0,10	0,20	0,15	0,05

Donner les lois de X et de Y.
Déterminer la loi de X + Y, puis son espérance et sa variance.
X et Y sont-elles indépendantes ?

✅ Correction

1 — les lois marginales

par colonne pour X :
P(X=0) = 0,05 + 0,10 = 0,15      P(X=2) = 0,20 + 0,15 = 0,35
P(X=1) = 0,15 + 0,20 = 0,35      P(X=3) = 0,10 + 0,05 = 0,15
contrôle : 0,15 + 0,35 + 0,35 + 0,15 = 1   ✔

par ligne pour Y :
P(Y=0) = 0,05 + 0,15 + 0,20 + 0,10 = 0,50
P(Y=1) = 0,10 + 0,20 + 0,15 + 0,05 = 0,50

E(X) = 1,5   V(X) = 0,85
E(Y) = 0,5   V(Y) = 0,25

2 — la loi de X + Y

X+Y = 0 : (0,0)            → 0,05
X+Y = 1 : (1,0) ou (0,1)   → 0,15 + 0,10 = 0,25
X+Y = 2 : (2,0) ou (1,1)   → 0,20 + 0,20 = 0,40
X+Y = 3 : (3,0) ou (2,1)   → 0,10 + 0,15 = 0,25
X+Y = 4 : (3,1)            → 0,05
contrôle : total = 1   ✔

E(X+Y)    = 1(0,25) + 2(0,40) + 3(0,25) + 4(0,05)  = 2
E((X+Y)²) = 1(0,25) + 4(0,40) + 9(0,25) + 16(0,05) = 4,9
V(X+Y)    = 4,9 − 2² = 0,9

3 — indépendantes ?

P(X=0 et Y=0) = 0,05
P(X=0) × P(Y=0) = 0,15 × 0,50 = 0,075

0,05 ≠ 0,075  →  NON, X et Y ne sont pas indépendantes.

🧰 Deux contrôles gratuits

E(X) + E(Y) = 1,5 + 0,5 = 2 = E(X+Y) ✔ — l'espérance s'additionne toujours, indépendance ou non. Si ces deux nombres diffèrent, c'est la loi de X+Y qui est fausse.

V(X) + V(Y) = 0,85 + 0,25 = 1,1, alors que V(X+Y) = 0,9. L'écart n'est pas une erreur : c'est la signature de la dépendance.

La variance ne s'additionne que si les variables sont indépendantes. Ici elle ne s'additionne pas — donc elles ne le sont pas. On retrouve la réponse de la question 3 sans refaire le test.

⚠️ Pour dire « oui », il faut vérifier les huit cases

Une seule case en défaut prouve la dépendance : c'est un contre-exemple. Mais pour conclure à l'indépendance, l'égalité doit tenir sur toutes les cases.

Démontrer « non » coûte une ligne ; démontrer « oui » en coûte huit.

🔧 Corrigé — deux fautes du polycopié sur cet exemple

Il justifie l'addition par « les deux évènements sont indépendants ». C'est l'incompatibilité qui autorise à additionner ; l'indépendance sert à multiplier.
Il écrit P(X=0 ∩ Y=1) + P(X=1 ∩ Y=0) = 0,15 + 0,10 : les deux valeurs sont interverties. Le tableau donne 0,10 pour la première et 0,15 pour la seconde. La somme, elle, est juste.

Et l'exemple figure sous le titre « Variables aléatoires indépendantes », alors que X et Y ne le sont pas — la question 3 le démontre.