Accueil/Mathématiques /Chapitre 08 /Exercices corrigés

Variables aléatoires & loi binomiale — exercices

Les trois sujets de l'année, refaits — et les retournements d'énoncé qui piègent.

🎯

Avant chaque calcul, deux lignes

« X compte … » et « succès = … ». Tant que ces deux phrases ne sont pas écrites, aucun calcul n'a de sens — et c'est là que se perdent les exercices où l'énoncé compte les sacs sains alors que X compte les défectueux.

01Loi de probabilité

1Établir la loi d'une loterie Facile

Une urne de loterie contient 8 boules, piochées à l'aveugle :

1 boule fait perdre 90 € ;
3 boules font gagner 5 € ;
2 boules notées « 2 » et 2 boules notées « 1 » font gagner 10 €.

X est le gain du joueur. Donnez la loi de probabilité de X.

✅ Correction

x_i (€)	−90	+5	+10	Total
P(X = x_i)	1/8	3/8	4/8	1 ✔

⚠️ Le piège : les quatre boules à 10 €

L'énoncé distingue « 2 boules notées 2 » et « 2 boules notées 1 ». Mais X est le gain, pas le numéro : ces quatre boules donnent toutes X = 10, donc elles se cumulent.

P(X = 10) = 2/8 + 2/8 = 4/8

Une loi de probabilité ne contient jamais deux fois la même valeur. Écrire deux colonnes « 10 » avec 2/8 chacune serait faux — même si la somme reste bonne.

Contrôles : les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant ✔ et la somme 1/8 + 3/8 + 4/8 = 8/8 = 1 ✔

2Une loi incomplète Moyen

Une variable X a la loi suivante. Déterminez a.

x_i	0	1	2	3
P(X = x_i)	0,15	a	0,30	0,20

✅ Correction

calcul

La somme des probabilités vaut 1 :

0,15 + a + 0,30 + 0,20 = 1
              a + 0,65 = 1
                      a = 0,35

Contrôle : a = 0,35 est bien compris entre 0 et 1 ✔ — si l'on trouvait une valeur négative ou supérieure à 1, l'énoncé serait incohérent ou le calcul faux.

C'est la seule information dont on dispose, et elle suffit toujours : Σ p_i = 1 permet de retrouver une probabilité manquante, quelle que soit la loi.

02Espérance et écart-type

3Le jeu est-il équitable ? Moyen

Reprenez la loterie de l'exercice 1. Calculez E(X), interprétez, et dites si le jeu est équitable. Calculez ensuite la perte attendue sur 1 000 parties.

✅ Correction

calcul

E(X) = Σ pᵢ xᵢ
     = (1/8) × (−90)  +  (3/8) × 5  +  (4/8) × 10
     = −11,25  +  1,875  +  5
     = − 4,375 €

Interprétation : sur un très grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 4,375 € par partie.

Équitable ? Non : un jeu est équitable si E(X) = 0. Ici E(X) < 0, le jeu est défavorable au joueur — et c'est ce qui finance l'organisateur.

calcul — sur 1 000 parties

1 000 × (− 4,375) = − 4 375 €

⚠️ −4,375 € et −4 375 € : deux nombres, deux échelles

L'espérance est par partie ; la perte de 4 375 € est sur mille parties. Écrits à la main, la virgule décimale et l'espace des milliers se confondent facilement.

Le réflexe : toujours écrire l'échelle — « 4,375 € par partie », « 4 375 € sur 1 000 parties ». Une copie qui le précise ne peut pas être mal lue.

4Variance et écart-type Difficile

Toujours la loterie. Calculez V(X) puis σ_X. Que nous apprend l'écart-type que l'espérance ne disait pas ?

✅ Correction

calcul — E(X²) d'abord

E(X²) = (1/8) × (−90)²  +  (3/8) × 5²  +  (4/8) × 10²
      = (1/8) × 8 100    +  (3/8) × 25  +  (4/8) × 100
      = 1 012,5          +  9,375       +  50
      = 1 071,875

calcul — variance et écart-type

V(X) = E(X²) − E(X)²
     = 1 071,875 − (− 4,375)²
     = 1 071,875 − 19,140 625
     ≈ 1 052,73

σ_X = √1 052,73 ≈ 32,4 €

Ce que dit l'écart-type : l'espérance vaut −4,4 € mais l'écart-type 32,4 €. Les résultats sont donc très dispersés autour de cette moyenne — ce qui est normal avec des issues aussi éloignées que −90 € et +10 €.

Autrement dit : le joueur perd peu en moyenne, mais une partie individuelle est très imprévisible. C'est exactement ce qui rend le jeu attractif — et dangereux.

⚠️ E(X²) ≠ E(X)²

E(X²) = 1 071,875 · E(X)² = 19,14

Pour E(X²), on élève chaque valeur au carré en gardant les mêmes probabilités. Pour E(X)², on calcule l'espérance puis on l'élève au carré. Les confondre donne une variance nulle ou négative — et une variance négative est impossible, c'est le signal d'alarme.

03Reconnaître une binomiale

5Binomiale ou pas ? Moyen

Pour chaque situation, dites si X suit une loi binomiale. Si oui, donnez ses paramètres ; sinon, dites quelle condition manque.

On lance 10 fois un dé équilibré. X compte les « 6 ».
Une urne contient 10 boules dont 3 rouges. On en tire 4 sans remise. X compte les rouges.
On prélève 40 sacs dans un stock très important, dont 4,94 % sont défectueux. X compte les sacs défectueux.
On lance un dé jusqu'à obtenir un « 6 ». X compte le nombre de lancers.
On interroge 200 personnes ; X compte celles qui répondent « oui », « non » ou « sans avis ».

✅ Correction

#	Verdict	Pourquoi
1	Oui — B(10 ; 1/6)	10 répétitions · deux issues (« 6 » / « pas 6 ») · lancers indépendants
2	Non	sans remise → les épreuves ne sont pas indépendantes, p change à chaque tirage
3	Oui — B(40 ; 0,049 4)	« stock très important » autorise l'assimilation à un tirage avec remise
4	Non	le nombre d'épreuves n'est pas fixé : on s'arrête au premier succès
5	Non	trois issues, pas deux

🧰 Les quatre conditions, à vérifier dans l'ordre

un nombre n fixé à l'avance d'épreuves ;
deux issues seulement à chaque épreuve ;
la probabilité de succès p constante ;
les épreuves indépendantes.

Les conditions 3 et 4 tombent ensemble dès qu'il y a tirage sans remise dans une petite population. Le cas 5 se rattrape en regroupant : si l'on ne s'intéresse qu'aux « oui », les autres réponses forment l'échec — et l'on retrouve deux issues.

04Rédiger la justification

6La phrase par cœur Facile

« On prélève au hasard 40 sacs pour vérification, le stock étant assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On rappelle que la probabilité qu'un sac soit défectueux est 0,049 4. X associe à tout prélèvement de 40 sacs le nombre de sacs défectueux. »

Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

✅ Correction

rédaction attendue — à recopier telle quelle

★ L'expérience aléatoire consiste à répéter n = 40 fois de suite
  la même épreuve de Bernoulli.

★ Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   – le sac observé est défectueux : SUCCÈS, de probabilité p = 0,049 4
   – sinon : ÉCHEC, de probabilité q = 1 − 0,049 4 = 0,950 6

★ Les épreuves sont mutuellement indépendantes, le stock étant
  assez important pour assimiler le prélèvement à un tirage
  avec remise.

Conclusion :  X ↝ B(40 ; 0,049 4)

⚠️ Les deux oublis qui coûtent la moitié des points

Ne pas citer le « tirage avec remise ». L'énoncé place cette phrase exprès : c'est elle qui autorise l'indépendance. La recopier vaut un demi-point.
Ne pas conclure avec les paramètres. « X suit une loi binomiale » sans B(40 ; 0,049 4) laisse la justification en suspens.

Et une troisième, plus subtile : dire quel est le succès. Ici le succès est « le sac est défectueux » — ce qui n'a rien d'intuitif. Sans cette phrase, le correcteur ne sait pas ce que X compte.

Cette rédaction est toujours la même, seuls n, p et la définition du succès changent. Apprenez-la par cœur : c'est un point et demi gagné en deux minutes, à chaque sujet.

05Calculs et intervalles

7Les dix lancers Moyen

On lance 10 fois une pièce équilibrée, « pile » étant le succès. X ↝ B(10 ; 0,5). Calculez :

P(X = 4)
P(X ⩽ 2), puis P(X > 2)
la probabilité d'obtenir au moins 3 fois pile
la probabilité d'obtenir moins de 4 fois face
la probabilité d'obtenir au moins 5 fois pile

✅ Correction

La loi complète, pour vérifier :

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(X=k)	0,001	0,010	0,044	0,117	0,205	0,246	0,205	0,117	0,044	0,010	0,001

calcul — 1 et 2

1)  P(X = 4) = 0,205                 (binomFdp : 10 ; 0,5 ; 4)

2)  P(X ⩽ 2) = 0,055                 (binomFRép : 10 ; 0,5 ; 2)
    contrôle : 0,001 + 0,010 + 0,044 = 0,055  ✔

    P(X > 2) = 1 − P(X ⩽ 2) = 1 − 0,055 = 0,945

calcul — 3 : « au moins 3 »

P(X ⩾ 3) = 1 − P(X < 3)      par complémentarité
         = 1 − P(X ⩽ 2)      car X est ENTIÈRE
         = 1 − 0,055
         = 0,945   à 10⁻³

La probabilité d'obtenir au moins 3 fois pile est 0,945.

calcul — 4 : le retournement

X compte les PILES, l'énoncé parle des FACES.
Sur 10 lancers : face = 10 − pile.

« moins de 4 fois face »  ⟺  face ⩽ 3  ⟺  pile ⩾ 7  ⟺  X > 6

P(X > 6) = 1 − P(X ⩽ 6)
         = 1 − 0,828 1
         = 0,171 9   à 10⁻⁴

calcul — 5 : « au moins 5 »

P(X ⩾ 5) = 1 − P(X < 5)
         = 1 − P(X ⩽ 4)
         = 1 − 0,377
         = 0,623   à 10⁻³

🧰 Le même enchaînement à chaque fois

1. passer au contraire → 2. glisser d'un cran → 3. binomFRép

Parce que la calculatrice ne sait calculer que P(X = k) et P(X ⩽ k), toute autre écriture doit s'y ramener. Ces deux transformations suffisent pour tous les cas.

Contrôle de symétrie : avec p = 0,5, la loi est symétrique autour de 5. Donc P(X ⩾ 5) devrait être un peu supérieure à 0,5 — 0,623 est cohérent ✔ (le « un peu » vient de ce que P(X = 5) = 0,246 est compté entièrement du côté « ⩾ 5 »).

8Retourner un énoncé Difficile

Un lot de 40 sacs, X ↝ B(40 ; 0,049 4) où X compte les sacs défectueux. Calculez la probabilité que le lot contienne plus de 34 sacs sans défaut.

✅ Correction

calcul — la traduction, ligne à ligne

Relation entre les deux comptages :   sains + défectueux = 40

« plus de 34 sacs SANS défaut »
   ⟺  sains ⩾ 35
   ⟺  défectueux ⩽ 5         car 40 − 35 = 5
   ⟺  X ⩽ 5

P(X ⩽ 5) = 0,987   (binomFRép : 40 ; 0,049 4 ; 5)

Conclusion : la probabilité que le lot contienne plus de 34 sacs sans défaut est d'environ 0,987.

⚠️ Ne jamais raisonner « à l'intuition » sur un retournement

La méthode sûre tient en trois lignes écrites :

écrire la relation : sains + défectueux = 40 ;
traduire l'inégalité sur les sains en inégalité sur les défectueux ;
appliquer le glissement d'un cran si nécessaire.

À chaque retournement, l'inégalité change de sens : « plus de 34 sains » devient « au plus 5 défectueux ». C'est ce changement de sens qu'on oublie quand on va trop vite.

Contrôle de vraisemblance : E(X) = 1,976, soit environ 2 sacs défectueux par lot en moyenne. Il est donc très probable d'en avoir 5 ou moins — 0,987 est parfaitement cohérent ✔ Un résultat proche de 0 aurait signalé une inversion du sens.

06Les sujets d'examen

9Les 40 sacs — sujet complet Moyen

X ↝ B(40 ; 0,049 4). Toutes les probabilités à 10⁻³.

Calculer la probabilité qu'il y ait exactement deux sacs défectueux.
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins trois sacs défectueux.
Calculer E(X) et interpréter.

✅ Correction

calcul

1)  P(X = 2) = 0,278   à 10⁻³        (binomFdp : 40 ; 0,0494 ; 2)

2)  P(X ⩾ 3) = 1 − P(X < 3)          par complémentarité
             = 1 − P(X ⩽ 2)          car X est entière
             = 1 − 0,683
             = 0,317   à 10⁻³

3)  E(X) = n p = 40 × 0,049 4 = 1,976

    En moyenne, un lot de 40 sacs contient environ 2 sacs défectueux.

💡 Pourquoi P(X = 2) est la plus grande valeur

L'espérance vaut 1,976, donc la loi est centrée entre 1 et 2. C'est bien P(X = 2) = 0,278 qui est maximale — le corrigé du DST le note d'ailleurs « MAX » dans le tableau.

Le lien est général : le mode d'une binomiale est voisin de son espérance. Cela donne un contrôle immédiat — si vous trouvez un maximum loin de np, un paramètre est mal saisi.

Et l'écart-type, si l'énoncé le demande : σ = √(40 × 0,0494 × 0,9506) = √1,878 ≈ 1,37.

10Les 100 flacons Moyen

Un employé prend au hasard 100 flacons parmi des parfums à la rose ou au jasmin, dans un stock très grand. La probabilité qu'un flacon contienne du jasmin est 0,37. X compte les flacons au jasmin.

Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 40 flacons au jasmin (à 0,001 près).
Déterminer la probabilité d'obtenir au moins 30 flacons au jasmin (à 0,001 près).
Calculer E(X) et interpréter.

✅ Correction

rédaction — 1

★ L'expérience consiste à répéter n = 100 fois de suite la même
  épreuve de Bernoulli.

★ Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   – le flacon contient du jasmin : SUCCÈS, p = 0,37
   – sinon : ÉCHEC, q = 1 − 0,37 = 0,63

★ Les épreuves sont mutuellement indépendantes, le nombre de flacons
  étant très grand (tirage assimilé à un tirage avec remise).

Conclusion :  X ↝ B(100 ; 0,37)

calcul — 2, 3, 4

2)  P(X = 40) = 0,067   à 10⁻³

3)  P(X ⩾ 30) = 1 − P(X < 30)
              = 1 − P(X ⩽ 29)
              = 1 − 0,058
              = 0,942   à 10⁻³

4)  E(X) = 100 × 0,37 = 37

    En moyenne, un lot de 100 flacons contient 37 flacons au jasmin.

Deux contrôles : E(X) = 37 correspond bien à 37 % de 100 ✔ Et 30 est en dessous de la moyenne, donc P(X ⩾ 30) doit être grande — 0,942 est cohérent ✔ Si vous trouvez 0,058, vous avez oublié le « 1 − ».

11Les 20 produits Moyen

On prélève 20 produits dans une livraison importante ; 9 % ne sont pas commercialisables. X compte les produits non commercialisables.

Justifier la loi et donner ses paramètres.
Calculer P(X = 2) à 10⁻².
Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 1 produit non commercialisable, à 10⁻².
Calculer E(X) et interpréter.

✅ Correction

calcul

1)  n = 20 répétitions · deux issues (p = 0,09 / q = 0,91) ·
    indépendantes (livraison importante → tirage avec remise)

    X ↝ B(20 ; 0,09)

2)  P(X = 2) = 0,28   à 10⁻²

3)  « au plus 1 »  ⟺  X ⩽ 1
    P(X ⩽ 1) = 0,45   à 10⁻²      (binomFRép : 20 ; 0,09 ; 1)

4)  E(X) = 20 × 0,09 = 1,8

    En moyenne, un prélèvement de 20 produits contient
    environ 2 produits non commercialisables.

🧰 « Au plus » se calcule directement

C'est le seul cas qui ne demande aucune transformation : P(X ⩽ k) est exactement ce que binomFRép renvoie.

« au plus k »	`P(X ⩽ k)`	directement
« au moins k »	`1 − P(X ⩽ k−1)`	contraire + glissement
« exactement k »	`P(X = k)`	`binomFdp`

Contrôle : E(X) = 1,8 et P(X ⩽ 1) = 0,45 — un peu moins d'une chance sur deux d'être en dessous de la moyenne. C'est cohérent pour une loi légèrement asymétrique vers la droite (p petit).