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Probabilités conditionnelles — exercices

Les trois DST de l'année, refaits pas à pas — plus les pièges qu'ils tendent.

🎯

La règle d'or

Dessinez l'arbre avant de calculer. Toujours. Même quand l'énoncé ne le demande pas, même quand vous croyez pouvoir faire de tête. L'arbre coûte deux minutes et supprime la quasi-totalité des erreurs — parce qu'il vous force à décider, pour chaque donnée, si elle est simple ou conditionnelle.

01Traduire un énoncé

1Simple ou conditionnelle ? Facile

Pour chaque phrase, écrivez la probabilité correspondante avec les événements M (« la facture vient de l'atelier mécanique ») et D (« la facture est erronée ») :

« 65 % des factures proviennent de l'atelier de mécanique. »
« 2 % des factures provenant de la mécanique sont erronées. »
« 1,3 % des factures sont issues de la mécanique et erronées. »
« Parmi les factures erronées, 79 % viennent de la mécanique. »

✅ Correction

Phrase	Traduction	Pourquoi
1	`P(M) = 0,65`	porte sur toutes les factures — simple
2	`P_M(D) = 0,02`	« provenant de la mécanique » restreint la population
3	`P(M ∩ D) = 0,013`	le « et » sans restriction : une intersection
4	`P_D(M) = 0,79`	« parmi les erronées » : conditionnelle renversée

Le test unique : ce pourcentage porte-t-il sur tout le monde
ou sur une sous-population ?

Remarquez que 2 et 4 concernent la même case (mécanique ET erronée) mais donnent des nombres très différents — 2 % contre 79 %. C'est l'écart entre P_M(D) et P_D(M), et il n'a rien d'anormal.

2Repérer l'événement contraire Facile

Un lot de 30 cartes est prélevé. X compte les cartes défectueuses. Traduisez :

« aucune carte n'est défectueuse »
« au moins une carte présente un défaut »
« au plus deux cartes sont défectueuses »
« plus de deux cartes sont défectueuses »

✅ Correction

Français	Symboles	Se calcule par…
aucune	`X = 0`	directement
au moins une	`X ⩾ 1`	1 − P(X = 0)
au plus deux	`X ⩽ 2`	P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
plus de deux	`X ⩾ 3`	1 − P(X ⩽ 2)

⚠️ « Plus de 2 » ne contient pas 2

« Plus de deux » signifie strictement plus : X ⩾ 3. « Au moins deux » signifie X ⩾ 2. Un cran d'écart, et le résultat change.

Le contraire de « X ⩾ 3 » est « X < 3 », c'est-à-dire « X ⩽ 2 » — car X ne prend que des valeurs entières. C'est ce glissement que le corrigé du DST note « par complémentarité ».

Dès qu'une phrase contient « au moins » ou « plus de », écrivez 1 − … avant même de savoir par quoi le compléter.

02Le tableau de contingence

3Compléter et interpréter Facile

Un assureur a 1 000 dossiers. 800 clients sont français, dont 720 n'ont eu aucun incident de paiement. Au total, 120 clients ont eu un incident.

Complétez le tableau.
Quel pourcentage de clients sont français et ont eu un incident ?
Quel pourcentage de clients français ont eu un incident ?
Quel pourcentage de clients ayant eu un incident sont français ?

✅ Correction

	Incident	Pas d'incident	Total
Français	80	720	800
Étrangers	40	160	200
Total	120	880	1 000

calcul — l'ordre des déductions

français avec incident   = 800 − 720 = 80
étrangers (total)        = 1000 − 800 = 200
étrangers avec incident  = 120 − 80  = 40
étrangers sans incident  = 200 − 40  = 160
total sans incident      = 1000 − 120 = 880

CONTRÔLE CROISÉ : 720 + 160 = 880   ✔

Les trois pourcentages :

calcul

2)  français ET incident :   80 / 1000 =  8 %     ← on divise par TOUT LE MONDE
3)  incident parmi les français : 80 / 800 = 10 % ← on divise par les français
4)  français parmi les incidents : 80 / 120 ≈ 67 % ← on divise par les incidents

Même numérateur (80), trois dénominateurs.
C'est toute la difficulté du chapitre.

Le contrôle croisé de la dernière ligne est gratuit : si 720 + 160 ne faisait pas 880, une soustraction serait fausse. Faites-le systématiquement — il coûte cinq secondes.

03Construire l'arbre

4Des pourcentages à l'arbre Moyen

Reprendre l'énoncé sous forme probabiliste : 80 % des clients sont français ; 10 % des clients français ont eu un incident ; 20 % des clients étrangers ont eu un incident.

Placez les six probabilités de l'arbre, puis calculez les quatre chemins.

✅ Correction

1ᵉʳ niveau — P(F) = 0,8 et P(F̄) = 1 − 0,8 = 0,2.

2ᵉ niveau — toutes conditionnelles :

calcul

P_F(I)  = 0,10        P_F(Ī)  = 1 − 0,10 = 0,90
P_F̄(I) = 0,20        P_F̄(Ī) = 1 − 0,20 = 0,80

Les quatre chemins — on multiplie :

calcul

P(F ∩ I)  = 0,8 × 0,10 = 0,08      ← français ET incident
P(F ∩ Ī)  = 0,8 × 0,90 = 0,72
P(F̄ ∩ I) = 0,2 × 0,20 = 0,04
P(F̄ ∩ Ī) = 0,2 × 0,80 = 0,16

CONTRÔLE : 0,08 + 0,72 + 0,04 + 0,16 = 1,00   ✔

🧰 Deux contrôles qui ne coûtent rien

Chaque nœud somme à 1 : 0,8 + 0,2 ✔ · 0,10 + 0,90 ✔ · 0,20 + 0,80 ✔
Les quatre chemins somment à 1 — c'est la vérification globale. Si le total n'est pas 1, une multiplication est fausse.

Et une comparaison au tableau de l'exercice 3 : 0,08 × 1000 = 80 dossiers, 0,04 × 1000 = 40. Les deux approches donnent bien le même tableau.

5Trois branches au premier niveau Moyen

Un poissonnier se fournit chez trois grossistes : 20 % chez A, 35 % chez B, le reste chez C. Parmi les crabes de A, 5 % sont invendables ; 10 % pour ceux de B ; 20 % pour ceux de C.

Construisez l'arbre et calculez P(M), où M : « le crabe est invendable ».

✅ Correction

« Le reste » : P(C) = 1 − 0,20 − 0,35 = 0,45. Contrôle : 0,20 + 0,35 + 0,45 = 1 ✔

calcul — l'arbre

              0,05   M        chemin : 0,20 × 0,05 = 0,010
      ┌── A ──┤
      │ 0,20   0,95   M̄       chemin : 0,20 × 0,95 = 0,190
      │
      │        0,10   M        chemin : 0,35 × 0,10 = 0,035
  ●───┼── B ──┤
      │ 0,35   0,90   M̄       chemin : 0,35 × 0,90 = 0,315
      │
      │        0,20   M        chemin : 0,45 × 0,20 = 0,090
      └── C ──┤
        0,45   0,80   M̄       chemin : 0,45 × 0,80 = 0,360

CONTRÔLE : 0,010+0,190+0,035+0,315+0,090+0,360 = 1,000   ✔

calcul — probabilités totales

P(M) = P(A∩M) + P(B∩M) + P(C∩M)
     = 0,010 + 0,035 + 0,090
     = 0,135

13,5 % des crabes du poissonnier sont invendables.

Contrôle de vraisemblance : P(M) est une moyenne pondérée des trois taux (5 %, 10 %, 20 %). Elle doit donc tomber entre 5 % et 20 % — et pencher vers le haut, puisque C, le plus mauvais fournisseur, représente presque la moitié des achats. 13,5 % est cohérent ✔

04Les probabilités totales

6« Montrer que » Moyen

Une entreprise produit des cartes mères sur deux sites. A produit 65 % des cartes, le reste vient de B. 0,8 % des cartes de A sont défectueuses, contre 0,5 % pour celles de B.

Montrer que P(D) = 0,006 95, où D : « la carte est défectueuse ». Interpréter.

✅ Correction

rédaction attendue

Données :  P(A) = 0,65    P(B) = 1 − 0,65 = 0,35
           P_A(D) = 0,008  P_B(D) = 0,005

Les événements A et B forment une partition de l'univers
(une carte vient de A ou de B, et pas des deux).
D'après la formule des probabilités totales :

P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D)
     = P(A) × P_A(D)  +  P(B) × P_B(D)
     = 0,65 × 0,008   +  0,35 × 0,005
     = 0,005 2        +  0,001 75
     = 0,006 95                          ✔ conforme à l'énoncé

Interprétation : 0,695 % des cartes produites sont défectueuses,
soit environ 7 cartes sur 1 000.

⚠️ « Montrer que » impose de dérouler le calcul

La valeur est donnée dans l'énoncé : écrire « P(D) = 0,006 95 » ne rapporte rien. Le point porte sur la démarche — citer la formule des probabilités totales, justifier la partition, poser les produits.

L'avantage : vous savez immédiatement si vous vous êtes trompé. Et si le calcul ne tombe pas juste, continuez l'exercice avec la valeur de l'énoncé — les questions suivantes restent accessibles.

Le « environ 7 cartes sur 1 000 » est un bonus : convertir une probabilité minuscule en effectif parlant montre qu'on comprend le résultat.

05Renverser le conditionnement

7D'où vient la carte défectueuse ? Moyen

Suite de l'exercice 6. Une carte défectueuse est prélevée au hasard dans le lot. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du site A ? Arrondir au millième.

✅ Correction

On cherche P_D(A) : le conditionnement est renversé par rapport à l'arbre.

calcul — la méthode en 3 temps

1. le NUMÉRATEUR : un seul chemin de l'arbre
   P(A ∩ D) = 0,65 × 0,008 = 0,005 2

2. le DÉNOMINATEUR : déjà calculé à la question précédente
   P(D) = 0,006 95

3. on divise
   P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D)
          = 0,005 2 / 0,006 95
          ≈ 0,748

Conclusion : parmi les cartes défectueuses, environ 74,8 %
proviennent du site A.

💡 Deux contrôles sur ce résultat

Il doit dépasser P(A) = 0,65. A est le site le plus défaillant : apprendre que la carte est défectueuse rend A plus probable. 0,748 > 0,65 ✔
Remultiplier. 0,006 95 × 0,748 = 0,005 199 ≈ 0,005 2 ✔

Et pour comprendre le 74,8 % : sur 100 000 cartes, A en produit 65 000 dont 520 défectueuses, B en produit 35 000 dont 175. Total 695 défauts, dont 520 de A — soit 74,8 % ✔ Le raisonnement en effectifs confirme toujours la formule.

8Les factures du garage Difficile

Les factures d'un garage viennent de deux ateliers : 65 % de la mécanique, le reste de la carrosserie. 2 % des factures de mécanique sont erronées, contre 1 % pour la carrosserie.

Déduire de l'énoncé P(M), P(C), P_M(D) et P_C(D).
Calculer P(D ∩ M) et P(D ∩ C), puis en déduire P(D).
Calculer la probabilité qu'une facture erronée provienne de la carrosserie. Arrondir à 10⁻⁴.

✅ Correction

calcul — 1. lecture de l'énoncé

P(M)    = 0,65          « 65 % des factures proviennent de la mécanique »
P(C)    = 0,35          « le reste » → 1 − 0,65
P_M(D)  = 0,02          « 2 % DES FACTURES DE MÉCANIQUE » → conditionnelle
P_C(D)  = 0,01          idem pour la carrosserie

calcul — 2. intersections et total

P(D ∩ M) = P(M) × P_M(D) = 0,65 × 0,02 = 0,013
P(D ∩ C) = P(C) × P_C(D) = 0,35 × 0,01 = 0,003 5

P(D) = 0,013 + 0,003 5 = 0,016 5

1,65 % des factures du garage sont erronées.

calcul — 3. on renverse

P_D(C) = P(D ∩ C) / P(D)
       = 0,003 5 / 0,016 5
       = 0,212121…
       ≈ 0,2121   (à 10⁻⁴)

Conclusion : parmi les factures erronées, environ 21,21 %
proviennent de l'atelier de carrosserie.

🧰 Le contrôle par le complémentaire

On peut vérifier sans refaire le calcul : la facture erronée vient forcément de l'un des deux ateliers, donc

P_D(M) + P_D(C) = 1

calcul

P_D(M) = 0,013 / 0,016 5 ≈ 0,7879
0,7879 + 0,2121 = 1,0000    ✔

Ce contrôle marche à chaque fois qu'il n'y a que deux branches : c'est la complémentarité appliquée à l'univers réduit.

Notez l'ordre de grandeur : la carrosserie ne produit que 35 % des factures et commet deux fois moins d'erreurs — elle ne pèse donc que 21 % des erreurs. Les deux effets se cumulent.

06Événements indépendants

9Les deux défauts Moyen

Une pièce peut présenter deux défauts. A : « défaut a », P(A) = 0,02. B : « défaut b », P(B) = 0,01. A et B sont indépendants. Calculez :

E₁ : « la pièce présente les deux défauts »
E₂ : « la pièce est défectueuse », c'est-à-dire présente au moins un défaut
E₃ : « la pièce ne présente aucun défaut » — par deux méthodes
la probabilité que la pièce ait les deux défauts sachant qu'elle est défectueuse (à 10⁻⁴)

✅ Correction

calcul — 1 et 2

E₁ = A ∩ B
P(E₁) = P(A) × P(B)              ← licite : A et B indépendants
      = 0,02 × 0,01 = 0,000 2

E₂ = A ∪ B
P(E₂) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
      = 0,02 + 0,01 − 0,000 2
      = 0,029 8                  soit 2,98 % de pièces défectueuses

calcul — 3, deux méthodes

méthode 1 : E₃ = Ā ∩ B̄, et Ā, B̄ sont indépendants
P(E₃) = P(Ā) × P(B̄) = 0,98 × 0,99 = 0,970 2

méthode 2 : E₃ est le contraire de E₂
P(E₃) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0,029 8 = 0,970 2      ✔ identique

97,02 % des pièces sont saines.

🔧 Corrigé — la question 4 du corrigé est fausse d'un facteur 10

La mise en place du corrigé d'origine est juste :

calcul

P_A∪B(A ∩ B) = P((A∪B) ∩ (A∩B)) / P(A∪B)
             = P(A ∩ B) / P(A ∪ B)        ← A∩B est inclus dans A∪B
             = 0,000 2 / 0,029 8

Mais la division est mal conduite. Le corrigé annonce 0,067 et conclut « 6,7 % des pièces défectueuses ont les deux défauts ». Le vrai résultat :

calcul

0,000 2 / 0,029 8 = 0,006 711…

arrondi à 10⁻⁴ :  0,006 7     →  0,67 %,  et non 6,7 %

La vérification par remultiplication :

calcul

0,029 8 × 0,067   = 0,001 997     ✘ on attendait 0,000 2
0,029 8 × 0,006 7 = 0,000 200     ✔

Et le contrôle de vraisemblance suffisait : 0,029 8 / 0,000 2 = 149, donc une pièce défectueuse sur 149 environ a les deux défauts. Une sur 149, c'est 0,67 % — pas 6,7 % (qui serait une sur quinze).

Règle générale : après avoir divisé deux petits nombres, remultipliez. C'est le seul contrôle qui attrape les erreurs d'un facteur 10, et ce sont les plus fréquentes.

10Indépendants ou incompatibles ? Moyen

Pour chaque couple d'événements, dites s'ils sont incompatibles, indépendants, ou ni l'un ni l'autre :

Lancer un dé : A « le résultat est 2 », B « le résultat est 5 ».
Lancer deux fois une pièce : A « pile au 1ᵉʳ lancer », B « pile au 2ᵉ lancer ».
Tirer une carte : A « c'est un roi », B « c'est un cœur ».
Assurance : F « le client est français », I « le client a eu un incident », avec P(F) = 0,8, P(I) = 0,12, P(F ∩ I) = 0,08.

✅ Correction

1. Incompatibles. Un dé ne peut pas afficher 2 et 5 au même lancer : A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0. Ils ne sont pas indépendants — savoir que le résultat est 2 garantit qu'il n'est pas 5, c'est une information maximale.

2. Indépendants. Deux lancers successifs ne s'influencent pas. P(A ∩ B) = 0,5 × 0,5 = 0,25 ✔ Et ils ne sont pas incompatibles : « pile, pile » existe.

3. Indépendants — et c'est contre-intuitif :

calcul

P(A) = 4/52 = 1/13        (quatre rois)
P(B) = 13/52 = 1/4        (treize cœurs)
P(A ∩ B) = 1/52           (le roi de cœur, une seule carte)

test :  P(A) × P(B) = 1/13 × 1/4 = 1/52    ✔ égal à P(A ∩ B)

→ indépendants

Savoir que la carte est un cœur ne change pas la probabilité que ce soit un roi : il y a un roi parmi les 13 cœurs, comme il y a 4 rois parmi 52 cartes. C'est parce que le jeu est un rectangle parfait 4 × 13.

4. Ni l'un ni l'autre.

calcul

incompatibles ?  P(F ∩ I) = 0,08 ≠ 0    →  NON
indépendants ?   P(F) × P(I) = 0,8 × 0,12 = 0,096
                 or P(F ∩ I) = 0,08 ≠ 0,096   →  NON

→ les deux événements sont DÉPENDANTS

Et le sens de la dépendance se lit : P_F(I) = 0,10 est inférieur à P(I) = 0,12. Être français fait légèrement baisser le risque d'incident.

Le test d'indépendance, toujours le même :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ?

Ne supposez jamais l'indépendance : soit l'énoncé la donne (« on suppose les deux événements indépendants »), soit vous la démontrez par le test. L'utiliser sans justification fait perdre le point.

07Sujets de DST

11Les crabes du poissonnier Difficile

Sujet complet, tel que posé. Un poissonnier se fournit chez trois grossistes A, B et C. 20 % des crabes viennent de A, 35 % de B, le reste de C. Parmi les crabes de A, 5 % ne peuvent être vendus ; 10 % pour B ; 20 % pour C. M : « le crabe ne peut être vendu ».

Calculer la probabilité que le crabe provienne de A et ne puisse être vendu.
Montrer que P(M) = 0,135.
Un crabe invendable est trouvé. Quelle est la probabilité qu'il vienne de C ?
Le poissonnier veut réduire ses pertes. Sur quel grossiste agir en priorité ?

✅ Correction

calcul — 1 et 2

P(C) = 1 − 0,20 − 0,35 = 0,45

1)  P(A ∩ M) = P(A) × P_A(M) = 0,20 × 0,05 = 0,010
    1 % des crabes viennent de A et sont invendables.

2)  P(M) = P(A∩M) + P(B∩M) + P(C∩M)
         = 0,20×0,05 + 0,35×0,10 + 0,45×0,20
         = 0,010 + 0,035 + 0,090
         = 0,135                              ✔

calcul — 3

P_M(C) = P(C ∩ M) / P(M)
       = 0,090 / 0,135
       = 0,666…  ≈  0,667

Parmi les crabes invendables, deux tiers proviennent du grossiste C.

4. Sur quel grossiste agir ?

Grossiste	Part des achats	Taux d'invendables	Part des pertes
A	20 %	5 %	0,010 / 0,135 = 7,4 %
B	35 %	10 %	0,035 / 0,135 = 25,9 %
C	45 %	20 %	0,090 / 0,135 = 66,7 %

C, sans hésiter — et pour deux raisons qui se cumulent : c'est le plus gros fournisseur (45 %) et le plus mauvais (20 % d'invendables). Il concentre les deux tiers des pertes. Négocier la qualité avec C, ou basculer une partie des achats vers A, aurait l'effet le plus fort.

Contrôle : les trois parts de pertes doivent totaliser 100 % — 7,4 + 25,9 + 66,7 = 100 ✔ C'est la complémentarité sur l'univers réduit aux crabes invendables.

12Le piège du taux et de l'effectif Difficile

Dans l'exemple de l'assureur : seulement 10 % des clients français ont eu un incident, contre 20 % des étrangers. Pourtant, 67 % des incidents viennent de clients français. Expliquez ce paradoxe apparent — et dites ce qu'il faut regarder pour comparer les deux populations.

✅ Correction

Il n'y a pas de paradoxe : les deux chiffres répondent à deux questions différentes.

calcul — en effectifs

français  : 800 clients × 10 % =  80 incidents
étrangers : 200 clients × 20 % =  40 incidents
                                 ───
                                 120 incidents

part des français dans les incidents : 80 / 120 ≈ 67 %

Les français sont quatre fois plus nombreux. Un taux deux fois plus faible appliqué à une population quatre fois plus grande donne un effectif deux fois plus grand. Les deux affirmations sont vraies en même temps.

💡 Quel chiffre regarder, et pour quoi faire

La question	Le bon indicateur
« Quel groupe est le plus à risque ? »	le taux : P_F(I) contre P_F̄(I) — 10 % contre 20 %
« D'où viennent mes pertes ? »	l'effectif : P_I(F) — 67 % des incidents

Confondre les deux est l'erreur de raisonnement la plus répandue hors des maths. En médecine : « 99 % des malades ont ce symptôme » ne dit rien sur la probabilité d'être malade quand on a le symptôme. En sécurité : un détecteur fiable à 99 % noie les analystes sous les fausses alertes, parce que les attaques sont rares.

C'est l'effet de base (base rate fallacy), et c'est la vraie raison d'être de ce chapitre : une probabilité conditionnelle ne se lit jamais sans savoir sur quelle population elle porte.