Limites — fiche de révision

⚡ Chapitre partiel — à lire d'abord

Une seule source existe pour ce chapitre : le tableau du code R.O.I., une page. Aucun cours, aucun exercice, aucun devoir sur les limites n'a été retrouvé dans l'année.

Ne couvre pas : limites de sommes et de produits · méthodes de levée des formes indéterminées · limites des fonctions usuelles · limite à gauche / à droite au-delà du signe de l'infini.

Détail dans l'état du chapitre.

⚡ Le code R.O.I.

Réel (non nul) · zérO · Infini. On lit numérateur · dénominateur · résultat.

Code	Traduction	Résultat	L'idée
IRI	`∞ / R`	`∞`	un très grand divisé par un nombre ordinaire reste très grand
ORO	`0 / R`	`0`	zéro partagé, ça reste zéro
ROI	`R / 0`	`∞`	diviser par presque rien donne presque l'infini
RIO	`R / ∞`	`0`	partager entre une infinité, chacun n'a rien
IOI	`∞ / 0`	`∞`	très grand divisé par presque rien : encore plus grand
OIO	`0 / ∞`	`0`	presque rien partagé entre une infinité : rien

Un seul principe : diviser par très petit agrandit, diviser par très grand réduit.

⚡ Le R est NON NUL

Les codes IRI, ORO et ROI supposent tous R ≠ 0. Sinon on bascule dans une forme indéterminée.

calcul

x/3 quand x → 0   : ORO  →  0      ✔ (3 ≠ 0)
x/x quand x → 0   : 0/0  →  INDÉTERMINÉE
                    mais x/x = 1   →  limite 1

⚡ « ∞ » ne dit pas le signe

calcul

1/x  près de 0 :

  x → 0⁺  (dénominateur petit POSITIF)  →  +∞
  x → 0⁻  (dénominateur petit NÉGATIF)  →  −∞

DEUX limites différentes.

Pour R/0, il faut le signe de R et le côté par lequel le dénominateur atteint 0. On annonce toujours les deux limites.

⚡ Déterminer le signe

méthode

① repérer la valeur interdite
② tableau de SIGNE du dénominateur
③ combiner avec le signe du numérateur
④ annoncer lim à gauche ET lim à droite

calcul

(x+4)/(x−12) près de 12 :
  numérateur → 16 > 0
  x−12 : − avant 12, + après

  x → 12⁻ : −∞      x → 12⁺ : +∞

⚡ Les quatre formes indéterminées

0 / 0 · ∞ / ∞ · 0 × ∞ · ∞ − ∞

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : la forme ne suffit pas à conclure, il faut transformer l'expression.

calcul

Quand x → 0, trois fois la forme 0/0 :

   x  / x   = 1      →  limite 1
   x² / x   = x      →  limite 0
   x  / x²  = 1/x    →  limite ∞

Même forme, trois réponses. D'où « indéterminée ».

Réflexe : simplifier ou factoriser, puis relire le tableau R.O.I.

⚡ Asymptotes

Type	Quand	Équation
Verticale	limite infinie en une valeur finie	`x = a`
Horizontale	limite finie quand x → ±∞	`y = L`

Verticale = un mur · horizontale = un plafond. Dans les deux cas, la courbe s'approche sans jamais toucher.

⚡ Vérifier que la valeur interdite est dans l'intervalle

(x+4)/(x−12) étudiée sur [−10 ; 10] : la valeur interdite 12 est hors de l'intervalle.

→ aucune limite à calculer, aucune asymptote, aucune double barre. La fonction est continue sur tout I.

⚡ Les limites qui servent vraiment

Limite	Vaut	Chapitre	Code
`0,8ⁿ`, n → +∞	0	06 — abonnés	base entre 0 et 1
`e^−λt`, t → +∞ (λ > 0)	0	09 — fiabilité	RIO
`25 000 − 20 000×0,8ⁿ`	25 000	06 — plafond	asymptote y = 25 000
`100/(1 + 9e^αt)`, α < 0	100	06 — logistique	dénominateur → 1
densité de la loi normale, x → ±∞	0	10 — les queues	asymptote y = 0
`(x+4)/(x−12)`, x → 12	±∞	03 — asymptote	ROI, signe selon le côté

Quatre de ces six disent la même chose : une décroissance exponentielle tend vers 0 sans jamais s'annuler. En CIEL, c'est la décharge d'un condensateur : après 5 RC il reste e⁻⁵ ≈ 0,67 %, et on le déclare déchargé.

⚡ Les quatre erreurs qui coûtent des points

Appliquer R.O.I. avec un R nul — c'est une forme indéterminée, pas un cas du tableau.
Écrire « ∞ » sans le signe — il faut +∞ ou −∞, et les deux côtés.
Oublier une racine du dénominateur — x² = 4 donne deux valeurs interdites, donc deux asymptotes.
Chercher une asymptote hors de l'intervalle d'étude.