Fonctions et variations — QCM

1Pour f(x) = 2x − 1, quelle est la différence entre « image de 3 » et « antécédent de 5 » ?

L'antécédent est ce qui vient avant — c'est dans le mot, anté comme antérieur : c'est le x. On calcule f(3) = 5, on résout 2x − 1 = 5. Et une image est toujours unique, alors qu'un nombre peut avoir plusieurs antécédents : un trinôme en a souvent deux.

2Qu'ajoute « orthonormal » à « orthogonal » ?

Dans le mot, ortho dit l'angle droit et normé dit l'unité commune. Les deux repères ont des axes perpendiculaires ; seul l'orthonormal impose la même unité sur les deux. Tout repère orthonormal est orthogonal, l'inverse est faux.

3Sans résoudre d'inéquation, quel est le signe d'une fonction affine f(x) = ax + b ?

Quand a est positif la droite monte, donc elle est négative puis positive ; quand a est négatif, l'inverse. Il suffit de placer la racine et de regarder le signe de a. Mais sur une copie, le tableau seul ne suffit pas : il faut écrire les trois phrases avec les intervalles — c'est la traduction qui est notée.

4De −3x + 6 > 0, que déduit-on ?

Diviser les deux membres par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité. Le contrôle par une valeur-test coûte cinq secondes et attrape l'erreur à coup sûr : en x = 0, −3×0 + 6 = 6 est bien positif, et 0 est bien plus petit que 2.

5Pour 3x² − 2x − 1, que vaut le discriminant ?

Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4 × 3 × (−1) = 4 + 12. Le piège est dans −4ac : quand c est négatif, le produit devient positif. Un signe oublié ici, et Δ passe à −8 : on conclut « pas de racine » alors qu'il y en a deux. Et b garde son signe — ce qui se paie surtout dans −b/2a.

6Δ est négatif. Que peut-on dire du signe du trinôme ?

Un Δ négatif ne signale pas une erreur de calcul : c'est un résultat, et il répond même complètement à la question du signe. La parabole ne coupe jamais l'axe, donc elle reste entièrement d'un côté — celui que désigne a. Beaucoup d'élèves refont trois fois le calcul en croyant s'être trompés.

7Quelle phrase couvre les trois cas du signe d'un trinôme ?

S'il n'y a pas deux racines, il n'y a pas d'« entre » : le trinôme garde alors le signe de a sur tout ℝ — c'est pourquoi la phrase suffit aux trois cas. Et ce n'est pas une formule à apprendre : la factorisation a(x − x₁)(x − x₂) la redonne par la simple règle des signes d'un produit.

8Quelle est l'erreur la plus fréquente en factorisant ax² + bx + c ?

Elle est invisible quand a = 1 — donc on la prend justement sur les exemples où a = 1, et on la paie le jour où a = 2. Le contrôle est gratuit : développer la factorisation doit redonner le trinôme de départ.

9Dans un tableau de signe, comment range-t-on les deux racines ?

Selon les manuels, x₁ désigne la racine avec −√Δ ou celle avec +√Δ : les deux conventions circulent, et peu importe. Ce qui compte, c'est l'ordre sur l'axe. Un tableau où 3 précède 2 est faux, même si les deux racines sont justes.

10Que représentent les racines de f′ pour la fonction f ?

f est l'altitude, f′ la pente sous les roues : pente nulle, on est exactement au sommet d'une côte ou au fond d'un vallon. Le tableau de signe de f′ se transforme donc directement en tableau de variations de f — un « − » donne une flèche qui descend, un « + » une flèche qui monte.

11Pour étudier une fonction du troisième degré, sur quoi retombe-t-on après dérivation ?

C'est le mécanisme du chapitre : dériver un degré 3 donne un degré 2. Rien de nouveau n'est nécessaire — tout le chapitre se boucle sur lui-même. La dérivée se calcule terme par terme, chaque aₖxᵏ devenant k·aₖxᵏ⁻¹, et la constante disparaissant.

12Pour f(x) = x² + 4x − 5 : les racines sont −5 et 1, et f′ s'annule en −2. Que retenir ?

« Où f est-elle positive ? » et « où f monte-t-elle ? » sont deux questions distinctes — les confondre est l'un des quatre oublis classiques. Et le rapprochement est instructif : −2 est au milieu de [−5 ; 1], car le sommet d'une parabole est toujours à égale distance de ses deux racines.