1Quelle est la différence entre f′(a) et f′ ?
f′(a) est un nombre : la pente de la tangente au point d'abscisse a. f′ est une formule, valable pour tout x. On passe de la seconde au premier en remplaçant x par a.
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2Quelle est l'équation de la tangente à 𝒞f au point d'abscisse a ?
y = f′(a)(x − a) + f(a). La pente est f′(a), et la droite passe par le point (a ; f(a)). Intervertir f et f′ est l'erreur classique : relisez ce que chaque lettre désigne.
3Que vaut la dérivée de f(x) = 5x − 3 ?
La dérivée d'une fonction affine ax + b est la constante a. La pente d'une droite ne change pas d'un point à l'autre — c'est la définition d'une droite. Et la constante −3 disparaît, puisque la dérivée d'une constante vaut 0.
4(uv)′ vaut :
(uv)′ = u′v + uv′. Surtout pas u′v′ : le produit ne « traverse » pas la dérivation. Même remarque pour le quotient — ce sont les deux opérations qui ne passent pas.
5(u/v)′ vaut :
(u′v − uv′)/v². Le moins et l'ordre sont tous deux obligatoires : uv′ − u′v donnerait l'opposé. Moyen de contrôle : le terme qui commence est celui qui dérive le haut.
6Dans (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹, quel facteur oublie-t-on le plus souvent ?
u′ — la dérivée de l'intérieur. C'est la marque des fonctions composées : on dérive l'enveloppe, puis on multiplie par la dérivée de ce qu'il y a dedans. Même mécanique pour (√u)′ = u′/(2√u) et (e^u)′ = u′·e^u.
7Après dérivation, que devient le degré d'un polynôme ?
Dériver baisse le degré d'un cran, toujours. C'est un contrôle gratuit : la dérivée d'un polynôme de degré 3 est de degré 2. Si vous trouvez un degré 3, vous avez fait une erreur quelque part — sans avoir à relire le calcul.
8Pourquoi factoriser une dérivée plutôt que la développer ?
Le signe d'un produit se déduit du signe de chaque facteur ; celui d'une somme ne se lit pas. Comme la question suivante demande presque toujours le sens de variation, factoriser rend la suite gratuite — et développer la rend pénible.
9Si f′(x) > 0 sur un intervalle, alors f y est :
f′ > 0 → f monte · f′ < 0 → f descend · f′ = 0 → extremum. C'est tout le lien entre dérivée et variations, et c'est ce que le tableau de variation met en forme.
10Quel contrôle numérique permet de vérifier une dérivée ?
Une valeur de x, deux chemins de calcul, le même résultat. Par exemple dériver un produit avec la formule, puis développer d'abord et dériver ensuite : en x = 2, les deux doivent donner le même nombre. Trente secondes, et l'erreur de signe se voit.