Logarithme & exponentielle — QCM

1Pour quelles valeurs ln(x − 3) a-t-il un sens ?

Le logarithme n'existe que sur ]0 ; +∞[, et strictement : ln 0 n'existe pas non plus. Devant ln(x − 3), on n'a pas le droit d'écrire quoi que ce soit avant d'avoir posé la condition. Ce n'est pas une précaution facultative — c'est ce qui élimine les fausses solutions.

2Que vaut ln(x + y) ?

Contre-exemple d'une ligne : ln(1 + 1) = ln 2 ≈ 0,69, alors que ln 1 + ln 1 = 0 + 0 = 0. Autre confusion fréquente : ln(x²) vaut 2 ln x, mais (ln x)² est le carré du logarithme — deux objets différents. Les parenthèses comptent.

3Pourquoi le logarithme permet-il de résoudre 0,8ⁿ = 0,25 ?

Aucune méthode des chapitres précédents ne sait extraire une inconnue placée en exposant. Le logarithme la fait descendre. C'est une machine à baisser d'un cran : puissance → produit → somme — et c'est ce qui rendait les tables de logarithmes indispensables aux navigateurs.

4Combien de solutions a l'équation e^(x−1) = 0 ?

Beaucoup d'élèves écrivent « x − 1 = ln 0 » et bloquent. Il n'y a rien à calculer : c'est un raisonnement, pas un calcul. La même propriété sert partout — dans un produit, un facteur exponentiel ne change jamais le signe.

5Les relations ln(e^x) = x et e^(ln x) = x ont-elles le même domaine ?

L'exponentielle est définie partout et toujours positive, donc on peut toujours lui appliquer un logarithme. L'inverse n'est pas vrai : ln x exige x strictement positif. C'est le cœur du chapitre — chacune défait ce que l'autre fait, mais pas sur le même terrain.

6Dans la résolution de ln(x+1) + ln(x−3) = ln 5, à quel moment détermine-t-on l'ensemble de définition ?

Les deux conditions donnent D = ]3 ; +∞[, et le trinôme donne −2 et 4. Sans cette première étape on répondrait « −2 et 4 » — or ln(−1) n'existe pas. C'est l'erreur la plus sanctionnée du chapitre, et la confrontation finale à D est elle aussi notée.

7Devant 2e^(2x) + e^x − 3 = 0, quel est le geste à faire ?

Puisque e^(2x) = (e^x)², le changement de variable donne 2X² + X − 3 = 0, un trinôme du chapitre 03. Et la contrainte X strictement positif joue exactement le rôle que le domaine joue pour le logarithme : elle élimine la racine négative. L'oublier coûte la question.

8En passant au logarithme dans une inéquation, que devient le sens de l'inégalité ?

C'est une différence importante avec la division par un nombre négatif, où l'inégalité se retourne. Attention toutefois : dans une inéquation comme celle de l'exercice E₇, le passage au logarithme conserve le sens, puis la division par un coefficient négatif le retourne. Ce sont deux étapes distinctes.

9Quelle est la solution d'une inéquation logarithmique ?

Pour ln(x + 1) plus petit que 0, oublier le domaine reviendrait à accepter x = −5, pour lequel ln(−4) n'existe pas. L'intersection n'est pas une formalité. Il arrive que la condition absorbe le domaine — mais il faut l'avoir constaté, pas supposé.

10Quel est le signe de (2x − 1)·e^(−0,5x) ?

Dans un tableau de signe, la ligne de l'exponentielle ne porte que des « + », sans aucun zéro : elle ne change jamais le signe du produit. Tout se joue donc sur l'autre facteur, qui s'annule en 1/2.

11Dans le tableau de signe de (x − 3)e^(−2x+1)/(x − 2), que met-on en x = 2 ?

L'exponentielle est définie partout, mais le dénominateur s'annule en 2. La différence est visible au barème : le zéro dit « la fonction s'annule », la double barre dit « la fonction n'existe pas ». Ce ne sont pas les mêmes informations.

12Que vaut e^(−ln 3) ?

−ln 3 = ln(1/3), donc e^(−ln 3) = e^(ln(1/3)) = 1/3. Deux réflexes couvrent tous ces calculs sans calculatrice : faire apparaître un ln(e^k), qui vaut k, ou un e^(ln A), qui vaut A. Dès qu'on y arrive, la calculatrice devient inutile.