Probabilités conditionnelles — QCM

1Sur 1 000 dossiers, 80 sont des français ayant eu un incident, pour 800 français et 120 incidents. Qu'est-ce qui distingue 8 %, 10 % et 67 % ?

Les trois calculs partent du même 80. Ce qui change, c'est qu'on divise par 1 000, par 800 ou par 120. Une probabilité conditionnelle, c'est exactement cela : on rétrécit l'univers. Dire « sachant que le client est français », c'est jeter les 200 dossiers d'étrangers et recalculer sur les 800 restants.

2Dans la phrase « … % des clients ayant eu un incident sont français », quelle est la population de référence ?

La clé est dans l'ordre de la phrase : ce qui vient après « des » est le dénominateur. Ici on divise par les 120 incidents. Dans « … % des clients français ont eu un incident », on divise par les 800 français. Soulignez la population de référence dans l'énoncé avant de calculer : trente secondes, et l'erreur la plus coûteuse du chapitre disparaît.

3Que vaut P_B(A) ?

La formule ne fait que traduire le tableau : diviser par P(B), c'est ramener l'univers à B. Et la complémentarité y survit : une fois l'univers réduit, tout s'y comporte normalement, donc P_B(Ā) = 1 − P_B(A).

4Pourquoi ne faut-il jamais confondre P_B(A) et P_A(B) ?

L'intersection est symétrique — « A et B » est la même chose que « B et A » — mais les conditionnelles ne le sont pas : 0,10 contre 0,67 sur le même exemple. L'erreur a un nom hors des maths, le sophisme du procureur : « 99 % des malades ont ce symptôme » ne dit rien de « 99 % de ceux qui ont ce symptôme sont malades ».

5Que portent les branches du deuxième niveau d'un arbre pondéré ?

La branche qui suit F porte P_F(I), pas P(I). C'est le point que le jury vérifie. Au premier niveau, on place l'événement dont l'énoncé donne les probabilités simples : l'arbre suit la chronologie de l'information, pas celle de la question.

6L'énoncé dit « 20 % des clients étrangers ont eu un incident ». Où place-t-on cette valeur ?

Le repère est infaillible : un pourcentage « parmi » une sous-population est toujours une conditionnelle. Écrire P(F̄ ∩ I) = 0,2 fausse tout le reste de l'exercice — la vraie valeur est 0,2 × 0,2 = 0,04, soit 40 dossiers sur 1 000, ce que le tableau confirme.

7Dans un arbre pondéré, que fait-on le long d'un chemin, et entre deux chemins ?

Chemin F puis I : 0,8 × 0,1 = 0,08. Deux chemins mènent à I : 0,08 + 0,04 = 0,12. Et un contrôle gratuit accompagne tout l'arbre — les branches issues d'un même nœud totalisent 1 : il attrape presque toutes les erreurs de recopie de l'énoncé.

8Trois grossistes fournissent 20 %, 35 % et 45 % des crabes, avec 5 %, 10 % et 20 % d'invendables. Comment contrôler le résultat de 13,5 % ?

Une moyenne pondérée ne peut pas sortir de l'intervalle de ses termes. Second contrôle : le résultat penche vers 20 % parce que C, le plus mauvais, fournit presque la moitié. La formule suppose une partition — cas incompatibles et recouvrant tout —, ce que l'énoncé garantit en écrivant « le reste chez C ».

9Pour calculer P_I(F) à partir d'un arbre qui va dans l'autre sens, quelle est la méthode ?

C'est la formule de Bayes, qu'on n'a besoin ni de nommer ni d'apprendre : elle n'est que la définition de la conditionnelle, avec un dénominateur calculé à l'étape d'avant. Et cette étape est déjà faite si l'énoncé a demandé P(I) à la question précédente — ce qui est presque toujours le cas.

1010 % des français ont un incident contre 20 % des étrangers, et pourtant 67 % des incidents viennent de français. Pourquoi ?

800 × 10 % = 80 incidents contre 200 × 20 % = 40. Un taux plus faible sur une population beaucoup plus grande donne un effectif plus grand. C'est l'effet de base, et c'est la raison d'être du chapitre : un détecteur d'intrusion « fiable à 99 % » produit 99 fausses alertes pour une vraie, parce que les attaques sont rares.

11A et B sont indépendants. Que peut-on en déduire ?

L'indépendance passe aux contraires : (Ā, B), (A, B̄) et (Ā, B̄) le sont également — c'est ce qui permet de calculer « aucun des deux » par un simple produit, 0,98 × 0,99. En revanche elle ne passe pas aux combinaisons : l'union et l'intersection ne sont pas indépendantes entre elles.

12Quel réflexe adopter dès qu'un énoncé dit « au moins un » ?

Avec deux événements les deux méthodes se valent. Avec dix, la formule de l'union devient monstrueuse alors que le contraire reste un simple produit : P(au moins un défaut sur 10 pièces) = 1 − 0,98¹⁰ ≈ 0,183. Le réflexe est rentable dans tout le chapitre, et davantage encore au suivant.