Variables aléatoires & loi binomiale — QCM

1Quatre boules donnent chacune un gain de 10 € sur les huit d'une urne. Que porte le tableau de loi ?

La variable aléatoire est le gain, pas le numéro de la boule : quatre résultats différents qui donnent la même valeur de X se regroupent. Règle générale : dans un tableau de loi, chaque valeur n'apparaît qu'une fois, et sa probabilité cumule tous les résultats qui y mènent.

2Quel contrôle applique-t-on systématiquement à un tableau de loi ?

Si le total ne fait pas 1, une valeur manque ou une probabilité est fausse. Seconde règle de forme qui rapporte des points : les valeurs se rangent dans l'ordre croissant — c'est une convention, mais elle rend le tableau lisible et évite les oublis.

3L'espérance d'un jeu vaut −4,375 €. Que signifie ce nombre ?

On ne gagnera jamais −4,375 €, puisque les seules issues sont −90, +5 et +10. Sur mille parties, la perte sera très proche de 4 375 €. C'est la loi des grands nombres — et le modèle économique de tous les casinos.

4Quand un jeu est-il équitable ?

Une espérance positive rend le jeu favorable au joueur, négative à l'organisateur. La question tombe souvent sous la forme « quel devrait être le prix du ticket pour que le jeu soit équitable ? » — on résout alors E(X) = 0.

5Vous trouvez une variance négative. Qu'est-ce que cela révèle ?

V(X) = E(X²) − E(X)², et cette différence est toujours positive. Le premier terme élève chaque valeur au carré avant de moyenner, le second moyenne d'abord puis élève au carré : sur la loterie, 1 071,875 contre 19,14. Les deux ne coïncident jamais, sauf si X est constante.

6Pourquoi préfère-t-on l'écart-type à la variance pour interpréter un résultat ?

La variance s'exprime en « euros au carré », une unité qui ne veut rien dire ; la racine carrée la ramène en euros. On peut alors comparer σ à l'espérance : 32,4 € d'écart-type pour −4,4 € d'espérance, c'est un jeu très volatil — ce que l'espérance seule ne disait pas.

7Dans un exercice où X compte les sacs défectueux, que faut-il appeler « succès » ?

Le succès est simplement l'issue que l'on compte : c'est un choix de modélisation, pas un jugement. Mais il doit être explicite dans la copie — « on appelle succès l'événement le sac est défectueux, de probabilité p = 0,049 4 ». Sans cette phrase, le correcteur ne sait pas ce que compte X.

8Dans la justification « X suit une loi binomiale », quel est le point le plus souvent oublié ?

C'est la troisième étoile de la rédaction attendue, et le sujet l'autorise par une phrase précise : « le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise ». Ce n'est pas du remplissage — sans elle, les 40 prélèvements modifieraient le stock et la loi ne serait pas binomiale. Il faut donc la citer.

9On tire 4 boules sans remise dans une urne de 10 dont 3 rouges. Peut-on modéliser par une binomiale ?

Au premier tirage p = 3/10 ; au second, 2/9 ou 3/9 selon le résultat du premier. La troisième condition tombe. C'est exactement pour éviter ce cas que les énoncés écrivent « le stock est assez important » : quand la population est très grande devant l'échantillon, on approche par une binomiale — et l'énoncé l'autorise explicitement.

10Quelle différence entre binomFdp et binomFRép ?

Fdp = fonction de densité de probabilité → une seule valeur ; FRép = fonction de répartition → tout ce qui est en dessous. binomFRép n'est qu'une somme de binomFdp : sur un petit cumul, faire les deux prend dix secondes et garantit qu'on n'a pas confondu. Les deux restent disponibles en mode examen, ce sont des fonctions natives.

11Comment calcule-t-on P(X ⩾ 3) avec une calculatrice qui ne sait faire que P(X = k) et P(X ⩽ k) ?

Deux transformations s'enchaînent, toujours dans cet ordre. D'abord le contraire : P(X ⩾ 3) = 1 − P(X inférieur à 3). Puis le glissement d'un cran, licite parce que X ne prend que des valeurs entières : « strictement inférieur à 3 » et « inférieur ou égal à 2 » désignent exactement les mêmes issues.

12Pour 40 sacs, E(X) = 1,976. Que fait-on de ce nombre dans la copie ?

Une moyenne n'a pas à être une valeur observable — comme les « 1,8 enfant par famille » des statistiques. On écrit donc la valeur exacte, puis la phrase attendue : « en moyenne, un lot de 40 sacs contient environ 2 sacs défectueux ». L'interprétation est demandée à chaque fois et elle ne s'improvise pas.