Lois uniforme & exponentielle — QCM

1En continu, quelle différence entre P(X < 3) et P(X ⩽ 3) ?

Il y a une infinité de valeurs possibles, donc chacune a une probabilité nulle — sans que l'événement soit impossible pour autant. C'est l'inverse exact du chapitre précédent, où passer de « strictement inférieur à 3 » à « inférieur ou égal à 2 » changeait tout : le glissement d'un cran n'existe qu'en discret.

2Pourquoi la densité d'une loi uniforme sur [a ; b] vaut-elle 1/(b − a) ?

Sur l'intervalle entier, l'aire du rectangle vaut (b − a) × 1/(b − a) = 1 — la traduction continue de « la somme des probabilités vaut 1 ». Tout le reste du chapitre revient à calculer des aires, et pour la loi uniforme ce sont des rectangles : largeur × hauteur.

3Une attente T est comprise entre 10 et 60 secondes. Que vaut P(T < 20) ?

Deux pièges d'un coup. La densité est 1/(60 − 10) = 1/50, pas 1/60 — l'intervalle ne commence pas à zéro. Et la largeur n'est pas 20 mais 10, puisque T ne peut pas descendre sous 10. Le réflexe : dessiner le rectangle avec ses vraies bornes, la largeur se lit alors sur le dessin.

4Que désignent R(t) et F(t), et comment évoluent-elles ?

R comme reliability — le matériel fonctionne encore ; F comme failure — il est tombé en panne. Les lettres viennent de l'anglais, c'est la seule façon de ne pas les confondre. Et R(t) + F(t) = 1 à chaque instant. Si votre R(t) augmente avec t, il y a une erreur de signe.

5Le cours écrit R(t) = e^(λt) avec λ positif. Pourquoi est-ce impossible ?

Avec λ = 0,0005, cette formule donnerait R(1000) = 1,65 et R(3000) = 4,48 — absurde. Un matériel ne devient pas plus fiable en vieillissant : le signe moins est ce qui produit la décroissance. Le contrôle tient en deux secondes : R(t) doit diminuer quand t augmente.

6Comment calcule-t-on la probabilité qu'une panne survienne entre t₁ et t₂ ?

On la retrouve sans l'apprendre : « tenir jusqu'à t₁ mais pas jusqu'à t₂ », c'est la différence des deux fiabilités. Et comme R décroît, R(t₁) est le plus grand des deux — si votre résultat est négatif, vous avez inversé l'ordre.

7Une ampoule a déjà fonctionné 1 000 heures. Quelle est sa probabilité de tenir 500 heures de plus ?

Le calcul donne e^(−0,75)/e^(−0,5) = e^(−0,25) = R(500), exactement. C'est la propriété sans mémoire, et elle est mathématiquement inévitable : l'exponentielle transforme les sommes en produits, donc R(t₁ + t₂) = R(t₁) × R(t₂). La loi exponentielle est la seule loi continue à l'avoir.

8Pourquoi la loi exponentielle convient-elle mal à une pièce mécanique ?

Un roulement de 100 000 km est plus près de la panne qu'un roulement neuf. La loi exponentielle décrit une panne accidentelle à taux constant, pas une panne par usure — d'où son emploi pour les circuits intégrés et les LED, et l'usage d'autres lois (Weibull) en mécanique. Le cours le dit en une phrase, et c'est une question d'oral classique.

9Le MTBF d'un lot d'ampoules vaut 2 000 heures. Quelle proportion atteint réellement cette durée ?

R(1/λ) = e^(−1) ≈ 0,37, quel que soit λ. La loi est très asymétrique : beaucoup d'ampoules grillent tôt, quelques-unes durent très longtemps et tirent la moyenne vers le haut. La médiane, elle, vaut ln 2 / λ ≈ 1 386 heures — toujours inférieure à la moyenne.

10On sait que P(Y > 8) = 0,7. Comment retrouve-t-on λ ?

Le logarithme fait descendre l'exposant : ln(e^x) = x. On obtient λ ≈ 0,044 6. La vérification coûte une frappe — e^(−8 × 0,044 6) doit redonner 0,70 — et elle attrape les erreurs de signe, les plus fréquentes ici puisque ln(0,7) est négatif.

11Un calcul donne t = 9,210 3 minutes. Comment l'exprime-t-on à la seconde près ?

La partie décimale se multiplie par 60 : 0,210 3 × 60 = 12,6, soit 13 secondes. Lire « 9 minutes 21 » est le piège exact que teste la mention « à la seconde près ». Même chose pour les heures.

12Que devient la variance quand on remplace X par 0,9X + 2 ?

V(aX + b) = a²V(X), sans b. La raison est intuitive : ajouter 2 € à tous les prix décale la distribution sans la disperser davantage — l'écart entre deux montres reste le même. Corollaire pour l'écart-type : σ(aX + b) = |a| × σ(X), avec la valeur absolue, car la dispersion reste positive.