La loi normale — QCM

1Dans la notation N(8 ; 2) telle qu'elle est employée en BTS, que désigne le second paramètre ?

Les deux conventions existent : la littérature anglo-saxonne écrirait N(8 ; 4) pour la même loi, le second paramètre étant σ². Le réflexe qui tranche : l'énoncé l'écrit toujours en toutes lettres — « d'espérance 40 et d'écart-type 4 ». Et à l'examen, c'est toujours l'écart-type.

2Y suit N(450 ; 15). Que vaut P(Y < 450) ?

450 est la moyenne, donc l'axe de symétrie de la cloche : chaque moitié vaut une demi-aire. Beaucoup d'élèves perdent deux minutes à saisir des bornes pour retrouver 0,5 — c'est une question qui se répond en une ligne.

3Quelle différence entre P(X ⩾ 3) et P(X > 3) pour une loi normale ?

Une bouteille ne contient jamais exactement 1,000 000 0 L. C'est la différence majeure avec la loi binomiale, où il fallait glisser d'un cran. Ici, plus jamais — et le piège est justement de continuer à décaler par habitude.

4Que valent les trois intervalles de fluctuation ?

La règle des 68 – 95 – 99,7, à 1σ, 2σ et 3σ. Ces trois nombres ne dépendent ni de μ ni de σ : c'est ce qui les rend si puissants. Un moyen mnémotechnique : 68, puis on ajoute 27, puis on ajoute 4,7 — chaque anneau supplémentaire rapporte de moins en moins.

5X suit N(8 ; 2). Que vaut P(X < 4) sans calculatrice ?

4 = μ − 2σ, donc c'est la borne gauche de l'intervalle à 2σ. Il reste 1 − 0,95 = 0,05 à répartir, et la symétrie impose deux queues égales : 0,05 / 2. On n'a jamais eu besoin de savoir ce que vaut P(X inférieur à 4) « en vrai » — la symétrie a fait tout le travail.

6Devant des bornes numériques, quel est le premier réflexe ?

Si une borne tombe juste — et à l'examen elle tombe juste — la réponse est immédiate, et l'énoncé demandera un arrondi au centième. Quand aucune n'y tombe, alors seulement la calculatrice devient nécessaire.

7X suit N(8 ; 2). Comment calcule-t-on P(6 < X < 12) à la main, alors que les bornes ne sont pas sur le même intervalle ?

6 = μ − σ et 12 = μ + 2σ : on passe par le complémentaire, deux morceaux qu'on sait calculer. On trouve 0,815. Et l'encadrement contrôle le résultat gratuitement : [6 ; 12] contient [6 ; 10] et est contenu dans [4 ; 12], donc la réponse doit être entre 0,68 et 0,95.

8Comment saisit-on P(X > 10) sur une calculatrice qui n'a pas de touche « infini » ?

10⁹⁹ n'est pas l'infini, mais il est si loin au-delà de la cloche que la différence est indétectable. Sur TI, la touche est EE : on tape 1 EE 99. N'importe quelle borne dépassant largement μ + 10σ ferait l'affaire.

9Quel est le piège numéro un au moment de saisir les paramètres ?

Intervertir les deux ne provoque aucun message d'erreur : la machine rend tranquillement un nombre faux. Le contrôle qui sauve : la réponse doit être cohérente avec la cloche. Si [6 ; 12] encadre la moyenne et que la machine affiche 0,02, les paramètres sont inversés.

10Pourquoi la méthode « à la main » donne-t-elle 0,16 là où la calculatrice donne 0,158 7 ?

Les valeurs exactes sont 0,682 689…, 0,954 500… et 0,997 300…. Un écart de quelques millièmes sur l'intervalle se répercute, divisé par deux, sur chaque queue. Laquelle écrire ? Celle que l'énoncé demande : « au centième » appelle 0,16, « à 10⁻⁴ » appelle 0,158 7 — le niveau de précision est la consigne de méthode.

11Pourquoi une calculatrice n'obtient-elle qu'une valeur approchée ?

Aucune formule ne donne l'aire exacte, ni à la main ni à la machine : celle-ci approche numériquement l'intégrale, avec une dizaine de chiffres significatifs. Avant les calculatrices graphiques, on lisait ces valeurs dans une table de la loi normale centrée réduite, qu'il fallait apprendre à interpoler.

12Que fait le professeur avant chaque calcul, sur toutes les photos du tableau ?

Ce n'est pas décoratif : c'est ce qui évite de confondre une queue avec son complémentaire, ou de soustraire 0,68 quand il fallait soustraire 0,16. Trente secondes de croquis, et la moitié des erreurs disparaît. Et l'on conclut toujours par une phrase revenant au contexte — un résultat nu ne vaut jamais tous les points.