La loi normale — fiche de révision

⚡ Les trois nombres du chapitre

P(μ − σ ⩽ X ⩽ μ + σ) = 0,68
P(μ − 2σ ⩽ X ⩽ μ + 2σ) = 0,95
P(μ − 3σ ⩽ X ⩽ μ + 3σ) = 0,997

Règle des 68 – 95 – 99,7. Ils sont vrais pour toute loi normale, quels que soient μ et σ. Tout le reste s'en déduit par complémentarité (« 1 − ») et symétrie (« ÷ 2 »).

⚡ Notation

X ↝ N(μ ; σ)

μ = moyenne = E(X) → où la cloche est centrée.
σ = écart-type → si elle est large ou serrée.

En France, le second paramètre est l'écart-type, jamais la variance. L'énoncé l'écrit toujours en toutes lettres : « d'écart-type 4 ».

Densité : f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^{−½((x−μ)/σ)²} — à reconnaître, jamais à utiliser.

⚡ Les deux propriétés

Courbe symétrique par rapport à x = μ.
Aire totale = 1.

P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5

Devant P(X < μ), on ne calcule rien : c'est une demi-aire.

⚡ Continu : « ⩽ » = « < »

P(X = k) = 0

Donc P(X ⩽ a) = P(X < a) et P(X ⩾ a) = P(X > a).

Pas de glissement d'un cran, contrairement à la loi binomiale où P(X ⩾ 3) = 1 − P(X ⩽ 2). C'est l'erreur d'importation n° 1.

⚡ Les trois queues

P(X < μ − kσ) = P(X > μ + kσ) = (1 − p) / 2

Interv.	Dedans	Reste	Une queue
1σ	0,68	0,32	0,16
2σ	0,95	0,05	0,025
3σ	0,997	0,003	0,001 5

Ne jamais oublier le « ÷ 2 » : ce qui sort de l'intervalle se partage entre deux queues égales.

⚡ Le réflexe d'attaque

méthode

Avant tout calcul, poser l'axe :

 μ−3σ  μ−2σ  μ−σ   μ   μ+σ  μ+2σ  μ+3σ

Les bornes de l'énoncé y tombent-elles ?
  OUI → méthode sans calculatrice
  NON → calculatrice

Puis dessiner la cloche et HACHURER la zone.

Exemple, N(8 ; 2) : 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 · 14.

⚡ Les trois manœuvres, sur N(8 ; 2)

calcul

① LECTURE DIRECTE — les deux bornes forment un intervalle
   P(4 ⩽ X ⩽ 12) = 0,95        car 4 = μ−2σ et 12 = μ+2σ

② SYMÉTRIE — une seule borne, sur μ ± kσ
   P(X < 4)  = (1 − 0,95) / 2 = 0,025
   P(X > 10) = (1 − 0,68) / 2 = 0,16
   P(X < 8)  = 0,5                      ← 8 = μ, rien à calculer

③ COMPLÉMENTARITÉ — bornes sur deux intervalles différents
   P(6 < X < 12) = 1 − P(X < 6) − P(X > 12)
                 = 1 − 0,16   − 0,025
                 = 0,815

Un quatrième cas, plus rare : la borne est μ lui-même et l'autre un μ ± kσ → on prend la moitié de l'intervalle. Sur N(1 ; 0,02) : P(0,96 < X < 1) = 0,95 / 2 = 0,475.

⚡ Casio inverse μ et σ

Machine	Fonction	Ordre
TI	`normalFRép`	Low · Up · μ · σ
Casio	`NormCD`	Lower · Upper · σ · μ

Aucun message d'erreur si on intervertit : la machine rend un nombre faux. Contrôle : une zone qui encadre la moyenne doit donner une grande probabilité.

⚡ L'infini se tape 10^99

On cherche	Low	Up
`P(X > a)`	`a`	`10^99`
`P(X < b)`	`−10^99`	`b`
`P(a < X < b)`	`a`	`b`

Sur TI, la touche est EE : 1 EE 99.

⚡ Traduire l'énoncé

moins de a, inférieur à a	`P(X < a)`
plus de a, dépasse a	`P(X > a)`
au moins a	`P(X ⩾ a) = P(X > a)`
au plus a, ne dépasse pas a	`P(X ⩽ a) = P(X < a)`
entre a et b	`P(a < X < b)`
exactement a	`= 0`

⚡ 0,16 ou 0,158 7 ?

0,68 / 0,95 / 0,997 sont des arrondis de 0,682 7 / 0,954 5 / 0,997 3. D'où les petits écarts entre les deux méthodes.

La précision demandée dicte la méthode :

« sans calculatrice », « au centième », « à 10⁻² » → intervalles, on répond 0,16.
« à 10⁻⁴ », « à 0,01 % près », « au millième » → calculatrice, on répond 0,158 7.

⚡ Au-delà de 3σ = suspect

méthode

Question « est-ce probable / suspect ? »

1. Écart à la moyenne :  |valeur − μ|
2. En nombre de σ     :  écart / σ
3. Conclure           :  > 3σ → moins de 3 chances
                                 sur 1 000 → suspect

Hématocrite N(45,5 ; 3), taux 60 : (60 − 45,5)/3 ≈ 4,83 σ → P = 6,7 × 10⁻⁷. Pâtes N(500 ; 2), paquet de 480 g : 10 σ → P ≈ 10⁻²⁴, impossible.

⚡ Le problème inverse

L'énoncé impose une probabilité et demande une valeur : « la plus petite valeur de n telle que… ».

méthode

1. Traduire :  P(X > n) < 0,05
2. Le seuil vaut-il 0,16 / 0,025 / 0,0015 ?
      OUI → n = μ ± kσ directement
      NON → encadrer par essais à la machine
3. Vérifier les DEUX bornes :
      n convient, et n−1 ne convient pas.

PNEUTOP N(450 ; 15) : par les 2σ on trouve 480, mais la plus petite valeur est 475 (0,047 8 < 0,05, alors que 474 donne 0,054 8).

⚡ Binomiale ou normale ?

	Loi binomiale — ch. 08	Loi normale — ch. 10
X…	compte (0, 1, 2, 3…)	mesure (3,5 est possible)
Exemples	sacs défectueux, clients satisfaits, pannes	poids, durée, diamètre, température, taux
Paramètres	`B(n ; p)` — nombre d'essais, probabilité	`N(μ ; σ)` — moyenne, écart-type
P(X = k)	se calcule	= 0
« ⩾ » → « ⩽ »	glissement d'un cran : P(X ⩾ 3) = 1 − P(X ⩽ 2)	aucun glissement : P(X ⩾ 3) = P(X > 3)
E(X)	`n × p`	`μ`, donné

Un sujet de BTS enchaîne souvent une Partie B binomiale et une Partie C normale sur le même contexte industriel.

⚡ Les six erreurs qui coûtent des points

Oublier de diviser par 2 — une queue vaut (1 − p)/2.
Inverser μ et σ sur Casio — l'ordre y est σ puis μ.
Glisser d'un cran comme en binomiale — en continu, inutile.
Confondre N(μ ; σ) et N(μ ; σ²) — en BTS, c'est l'écart-type.
Répondre un nombre nu — la phrase de conclusion dans le contexte est au barème.
Sortir la calculatrice quand l'énoncé dit « sans calculatrice » — c'est la démarche qui est notée.

⚡ Les valeurs des exercices, d'un coup d'œil

Contexte	Loi	Résultats clés
Diamètre des pommes	`N(8 ; 2)`	P(4<X<12)=0,95 · P(X<4)=0,025 · P(X>10)=0,16 · P(X<8)=0,5 · P(6<X<12)=0,815 (0,818 6 machine)
Température d'octobre	`N(15 ; 3)`	P(12<X<18)=0,68 · P(18<X<24)=0,158 5
Taux d'hématocrite	`N(45,5 ; 3)`	P(39,5<X<51,5)=0,95 · P(X>60)=6,7×10⁻⁷
Paquets de pâtes	`N(500 ; 2)`	P(490<X<505)=0,993 8 · P(X<480)≈10⁻²⁴
Bouteille d'eau	`N(1 ; 0,02)`	P(X=1)=0 · P(0,96<X<1)=0,475 · P(X>1,1)=2,9×10⁻⁷ · P_B(A)≈0,5
Batteries de drones	`N(40 ; 4)`	95 % entre 32 et 48 · P(X<30)=0,62 % · P(X>44)=0,16
PNEUTOP (Métropole 2019)	`N(450 ; 15)`	P(435<Y<465)=0,68 · plus petit n = 475