Variables aléatoires & loi binomiale — fiche de révision

⚡ La justification — à savoir par cœur

rédaction

★ L'expérience aléatoire consiste à répéter n = 40 fois de suite
  la même épreuve de Bernoulli.

★ Chaque épreuve n'a que deux issues contraires :
   – le sac est défectueux : SUCCÈS, de probabilité p = 0,0494
   – sinon : ÉCHEC, de probabilité q = 1 − 0,0494 = 0,9506

★ Les épreuves sont mutuellement indépendantes
  (tirage avec remise).

Conclusion :  X ↝ B(40 ; 0,0494)

Trois étoiles, une conclusion chiffrée. Les deux oublis qui coûtent : ne pas citer le « tirage avec remise » de l'énoncé, et ne pas donner les paramètres.

La loi de probabilité

x_i	x₁	x₂	…	Total
P(X = x_i)	p₁	p₂	…	1

valeurs dans l'ordre croissant
Σ p_i = 1 — le contrôle systématique
chaque valeur une seule fois : on cumule les résultats qui y mènent

⚡ Espérance

E(X) = Σ p_i x_i

calcul

E(X) = (1/8)(−90) + (3/8)(5) + (4/8)(10)
     = −11,25 + 1,875 + 5
     = − 4,375 €

C'est la moyenne sur un très grand nombre de répétitions, pas une valeur possible.

jeu équitable ⟺ E(X) = 0

⚡ Variance et écart-type

V(X) = E(X²) − E(X)²
σ = √V(X)

calcul

E(X²) = (1/8)(8100)+(3/8)(25)+(4/8)(100)
      = 1071,875
V(X)  = 1071,875 − 19,140625 ≈ 1052,73
σ     = √1052,73 ≈ 32,4 €

E(X²) ≠ E(X)² : on élève chaque valeur au carré, puis on moyenne. Une variance négative est impossible — c'est le signal qu'on a inverti les deux termes.

Épreuve de Bernoulli

x_i	0 (échec)	1 (succès)
P	q = 1 − p	p

E(X) = p · V(X) = pq · σ = √(pq)

Le succès est l'issue que l'on compte, pas la bonne nouvelle : ici « le sac est défectueux ».

⚡ La loi binomiale

n épreuves de Bernoulli indépendantes
X = nombre de succès → X ↝ B(n ; p)

E(X) = n p · σ = √(n p (1 − p))

Les 4 conditions	Ce qui les casse
n fixé à l'avance	« jusqu'à obtenir un 6 »
deux issues seulement	« oui / non / sans avis »
p constante	tirage sans remise dans une petite population
épreuves indépendantes	tirage sans remise dans une petite population

Interprétation de E(X) : « en moyenne, un lot de n contient E(X) succès ». Elle est toujours demandée.

À la calculatrice

binomFdp (A)	P(X = k)	exactement k
binomFRép (B)	P(X ⩽ k)	au plus k — cumul

TI

2nde + var → Distrib
   └→ A : binomFdp     (ou B : binomFRép)
      nbre Essais : 10
      p : 0,5
      valeur de x : 4

Casio : MENU → STAT → DIST → BINM. Vérifiez votre chemin avant l'épreuve.

⚡ Tout ramener à « ⩽ »

P(X > k) = 1 − P(X ⩽ k)

X < k ⟺ X ⩽ k − 1
X ⩾ k ⟺ X > k − 1

Le second glissement n'est valable que parce que X est entière : il n'y a rien entre 2 et 3.

calcul

P(X ⩾ 3) = 1 − P(X < 3)
         = 1 − P(X ⩽ 2)
         = 1 − 0,055 = 0,945

⚠️ Le glissement se fait à l'intérieur d'une même probabilité, jamais entre deux seuils différents.

⚡ Le dictionnaire des intervalles

L'énoncé	Inégalité	Calcul
au plus k	X ⩽ k	direct : binomFRép
exactement k	X = k	binomFdp
au moins k	X ⩾ k	1 − binomFRép(k−1)
plus de k	X > k	1 − binomFRép(k)
moins de k	X < k	binomFRép(k−1)

« Plus de 2 » = X ⩾ 3, pas X ⩾ 2. Un cran d'écart change le résultat.

Retourner un énoncé

calcul

sains + défectueux = 40

« plus de 34 SANS défaut »
  ⟺ sains ⩾ 35
  ⟺ 40 − X ⩾ 35
  ⟺ X ⩽ 5

P(X ⩽ 5) = 0,987

Écrire la relation, substituer, puis glisser. L'inégalité change de sens — c'est ce qu'on oublie en allant vite.

B(10 ; 0,5) — la loi de référence

k	0	1	2	3	4	5
P	0,001	0,010	0,044	0,117	0,205	0,246

Symétrique (6→0,205 · 7→0,117 · 8→0,044 · 9→0,010 · 10→0,001).

P(X ⩽ 2) = 0,055 · P(X ⩽ 4) = 0,377 · P(X ⩽ 6) = 0,8281

Les trois sujets de l'année

Contexte	Loi	Résultats attendus
40 sacs de sable	B(40 ; 0,0494)	P(X=2)=0,278 · P(X⩾3)=0,317 · E(X)=1,976 · σ≈1,37
100 flacons de parfum	B(100 ; 0,37)	P(X=40)=0,067 · P(X⩾30)=0,942 · E(X)=37
20 produits	B(20 ; 0,09)	P(X=2)=0,28 · P(X⩽1)=0,45 · E(X)=1,8

Un seul enchaînement : justifier → une valeur exacte → un cumul par complémentarité → E(X) interprétée.

⚡ Ce qui coûte des points

ne pas citer le « tirage avec remise » ;
écrire « X suit une binomiale » sans les paramètres ;
donner 0,317 sans écrire P(X ⩾ 3) = 1 − P(X ⩽ 2) ;
ne pas interpréter E(X) par une phrase ;
arrondir trop tôt — on n'arrondit qu'au résultat final ;
ne pas dire ce qu'est le succès.

Les contrôles de vraisemblance

Σ des probabilités = 1.
Le maximum de la loi est voisin de np.
Si k est en dessous de np, alors P(X ⩾ k) est grande.
V(X) est toujours positive.
E(X) n'a pas à être une valeur possible (1,976 sacs).