Lois uniforme & exponentielle — fiche de révision

⚡ Discret (ch. 08) ≠ continu (ch. 09)

	Discret	Continu
Description	un tableau	une densité
P(X = valeur)	se calcule	= 0
Probabilité	une somme	une aire
« < » et « ⩽ »	différents (glissement d'un cran)	identiques — rien à décaler

Ne transposez pas le réflexe du chapitre 08 : ici P(T < 3) = P(T ⩽ 3).

⚡ Loi uniforme U[a ; b]

densité = 1/(b − a)

P(c ⩽ X ⩽ d) = (d − c)/(b − a)
E(X) = (a + b)/2

Une probabilité est l'aire d'un rectangle : largeur × hauteur.

Aire totale = (b − a) × 1/(b − a) = 1 — c'est ce qui fixe la hauteur.

⚡ Les bornes ne partent pas de 0

calcul

T ↝ U[10 ; 60]

densité = 1/(60−10) = 1/50   ← pas 1/60 !

P(T < 20) = 10/50 = 0,2      ← largeur 10, pas 20
P(T > 40) = 20/50 = 0,4
E(T) = (10+60)/2 = 35

Dessinez le rectangle avec ses vraies bornes : la largeur se lit sur le dessin.

Exemples types — U[0 ; 10]

calcul

P(X < 3)     = 3 × 1/10  = 0,3
P(X ⩾ 6)     = 4 × 1/10  = 0,4
P(3 < X ⩽ 8) = 5 × 1/10  = 0,5

Bus toutes les 12 min : U[0;12] → P(attendre > 9 min) = 3/12 = 0,25, attente moyenne 6 min.

Fiabilité et défaillance

Fonction	Définition	Se lit	Sens	Origine
R(t)	P(T > t)	fonctionne encore	décroît de 1 vers 0	reliability
F(t)	P(T ⩽ t)	est tombé en panne	croît de 0 vers 1	failure

R(t) + F(t) = 1

AFNOR : « la fiabilité est la caractéristique d'un dispositif qui s'exprime par la probabilité d'accomplir une fonction requise, dans des conditions données, pendant une période donnée ».

⚡ La loi exponentielle

T ↝ E_λ ⟺ R(t) = e^−λt

Le signe moins est ce qui fait décroître. Sans lui, avec λ > 0 :

calcul

e^(+0,5) = 1,65   ✘ probabilité > 1
e^(−0,5) = 0,61   ✔

Contrôle : R(t) doit diminuer quand t augmente

⚡ Les trois calculs

« fonctionne encore après t »	`e^−λt`
« tombe en panne avant t »	`1 − e^−λt`
« panne entre t₁ et t₂ »	`e^−λt₁ − e^−λt₂`

λt doit être sans unité : λ en h⁻¹ ⟹ t en heures.

Traduire l'énoncé

« fonctionne encore », « survit », « tient »	T > t → R
« dure au moins »	T ⩾ t = T > t → R
« tombe en panne », « périt », « grille »	T < t → 1 − R
« durée de vie inférieure à »	T < t → 1 − R

Contrôle : pour un t grand, « fonctionne encore » doit être petit.

⚡ Sans mémoire

P_(T>t₁)(T > t₁ + t₂) = P(T > t₂)

calcul

e^(−0,75) / e^(−0,5) = e^(−0,25)

tenir 500 h de plus a la même probabilité
qu'elle sorte de sa boîte ou qu'elle ait
déjà brûlé 1 000 h.

Vient de e^a×e^b = e^a+b. La loi exponentielle est la seule loi continue à l'avoir.

Électronique, pas mécanique

Adapté	Mal adapté
composants électroniques	pièces mécaniques
circuits, LED	roulements, courroies, pneus
panne accidentelle	panne par usure

« Sans mémoire » = le matériel ne vieillit pas. Un roulement, lui, s'use : son passé compte.

⚡ MTBF

E(T) = σ(T) = 1/λ

Mean Time Before Failure — Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement.

calcul

λ = 0,0005 h⁻¹
MTBF = 1/0,0005 = 2 000 heures

λ grand → fragile · λ petit → fiable. Les deux sont inverses.

⚡ Moyenne ≠ médiane

R(1/λ) = e⁻¹ ≈ 0,37

Seuls 37 % des exemplaires atteignent la durée de vie moyenne — quel que soit λ. La loi est très asymétrique.

médiane = ln 2 / λ ≈ 0,693/λ

Monstre : moyenne 10 min, médiane 6,93 min.

⚡ Retrouver λ — les trois cas

On donne	Méthode	Exemple
la durée moyenne	`λ = 1/E(T)`	E(T) = 4 min → λ = 0,25
une probabilité	`λ = −ln(p)/t`	P(Y>8) = 0,7 → λ = −ln(0,7)/8 ≈ 0,044 6
on cherche une durée	`t = −ln(p)/λ`	P(T>t) = 0,1, λ = 0,25 → t = 9,21 min

calcul — la manipulation

e^(−λt) = p
   −λt  = ln(p)          ← ln(e^x) = x
     λ  = −ln(p)/t

⚠ ln(p) est NÉGATIF quand 0 < p < 1
  → le « − » le rend positif

Vérifiez toujours en remontant : e^−λt doit redonner p.

Convertir les décimales : 9,210 3 min → 0,210 3 × 60 = 12,6 s → 9 min 13 s, et non 9 min 21 s.

Opérations aX + b

E(aX + b) = a E(X) + b
V(aX + b) = a² V(X)

Le « + b » disparaît dans la variance : décaler ne disperse pas.

calcul

E(X)=17  V(X)=61   Y = 0,9X + 2

E(Y) = 0,9×17 + 2  = 17,3
V(Y) = 0,81 × 61   = 49,41

σ(aX+b) = |a| σ(X) — valeur absolue.

⚡ La somme X + Y

Loi conjointe : un tableau à double entrée, une case par couple (x ; y). Les cases totalisent 1.

Lois marginales : additionner par colonne pour X, par ligne pour Y.

Loi de X + Y : regrouper les cases qui donnent le même total.

E(X + Y) = E(X) + E(Y) toujours
V(X + Y) = V(X) + V(Y) SI indépendantes

Test d'indépendance : P(X=x et Y=y) =? P(X=x) × P(Y=y). Une seule case en défaut suffit à conclure que non.

⚠️ Incompatibles ≠ indépendants : incompatibles → on additionne (« ou ») · indépendants → on multiplie (« et »).

Les valeurs à reconnaître

e^−0,25	0,778 8
e^−0,5	0,606 5
e^−0,75	0,472 4
e⁻¹	0,367 9
e^−1,25	0,286 5
e⁻²	0,135 3
ln 2	0,693 1
ln 0,1	−2,302 6

⚡ Les 5 erreurs coûteuses

Oublier le signe moins dans e^−λt → résultat > 1.
Confondre R et F — le « 1 − » manquant.
Mélanger les unités : λ en h⁻¹ avec un t en minutes.
Perdre le signe de ln : ln(0,7) est négatif.
Transposer le glissement d'un cran du chapitre 08 — inutile ici.

La structure type d'un sujet

Question	Attendu
1. « Expliquer pourquoi λ = … »	citer E(T) = 1/λ et poser l'équation — la valeur est donnée
2. Décrire (T < 3) par une phrase	traduire en français, puis calculer
3. P(T < t) ou P(T ⩾ t)	la bonne formule, l'arrondi demandé
4. t tel que P(T > t) = p	équation avec ln, puis conversion en secondes
5. MTBF	1/λ + une phrase d'interprétation

Toujours conclure par une phrase avec un pourcentage et les mots de l'énoncé : « environ 52,8 % des clients sont servis en moins de 3 minutes ».