Recto-verso. À relire la veille. Le cours · Les exercices
« Probabilité de A sachant B ». On réduit l'univers à B : diviser par P(B), c'est ne plus compter que dans B.
| Sur l'exemple de l'assureur | Calcul | Se lit |
|---|---|---|
| P(F ∩ I) | 80 / 1 000 = 0,08 | français ET incident |
| PF(I) | 80 / 800 = 0,10 | incident parmi les français |
| PI(F) | 80 / 120 ≈ 0,67 | français parmi les incidents |
Même numérateur, trois dénominateurs. Tout le chapitre est là.
| Ω | l'univers — tous les résultats |
| Ā | contraire de A |
| ∩ | « ET » — les deux |
| ∪ | « OU » — au moins un |
| A ∩ B = ∅ | incompatibles |
P(Ω) = 1 · 0 ⩽ P(A) ⩽ 1 · P(∅) = 0P(Ā) = 1 − P(A)P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)P(A∪B) = P(A) + P(B)Le « − P(A∩B) » corrige un double comptage.
P(A∩B) = P(B∩A) — l'intersection est symétrique.
Les conditionnelles, non : même numérateur, dénominateurs différents.
Hors des maths, cette confusion s'appelle le sophisme du procureur.
C'est « un chemin de l'arbre ». Et la complémentarité vaut dans l'univers réduit :
⚠️ Mais PB̄(A) ≠ 1 − PB(A) — deux univers différents.
P(I) = 0,8 × 0,1 + 0,2 × 0,2
= 0,08 + 0,04 = 0,12Avec 3 branches : 3 termes. Condition : les cas recouvrent tout sans se chevaucher.
P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D)
= 0,0052 / 0,00695
≈ 0,748Le dénominateur est déjà calculé à la question précédente, presque toujours.
⟺ PB(A) = P(A) : savoir B n'apprend rien sur A.
Passe aux contraires : (Ā,B), (A,B̄), (Ā,B̄) aussi.
Ne passe pas à A∪B et A∩B entre eux.
⚠️ Ne jamais supposer l'indépendance : soit l'énoncé la donne, soit on fait le test.
| Incompatibles | Indépendants |
|---|---|
| A ∩ B = ∅ | P(A∩B) = P(A)×P(B) |
| P(A∩B) = 0 | P(A∩B) ≠ 0 |
| jamais ensemble | ensemble, à fréquence connue |
| 2 et 5 au même dé | défaut a et défaut b |
Deux incompatibles de probabilité non nulle sont toujours dépendants.
P(aucun défaut) = 0,98 × 0,99 = 0,9702
P(au moins un) = 1 − 0,9702 = 0,0298
sur 10 pièces :
1 − 0,98¹⁰ ≈ 1 − 0,817 = 0,183Avec dix événements, l'union est impraticable — le contraire reste un produit.
| L'énoncé dit | Traduction | Dans l'arbre |
|---|---|---|
| « A et B », « les deux » | P(A ∩ B) | un chemin — on multiplie |
| « A ou B », « au moins un » | P(A ∪ B) | plusieurs chemins — on additionne |
| « sachant B », « parmi les B » | PB(A) | branche de 2ᵉ niveau |
| « … % des B sont A » | PB(A) | idem |
| « aucun » | P(Ā ∩ B̄) | chemin « non » puis « non » |
| « le reste » | 1 − (ce qui précède) | dernière branche du 1ᵉʳ niveau |
| « plus de 2 » | X ⩾ 3 | strictement ! ≠ « au moins 2 » |
10 % des français ont un incident, 20 % des étrangers — et pourtant 67 % des incidents sont français.
800 × 10 % = 80 incidents
200 × 20 % = 40 incidents
──
120 → 80/120 ≈ 67 %| « Qui est le plus à risque ? » | le taux |
| « D'où viennent les pertes ? » | l'effectif |
| ❌ 0 point | ✔ le point |
|---|---|
| « PI(F) = 0,67 » | « 67 % des clients ayant eu un incident sont français. » |
| « 0,135 » | « 13,5 % des crabes sont invendables. » |
Recette : un pourcentage + « parmi » ou « des » + les mots de l'énoncé. Jamais A, B ou I dans une conclusion.
| Question | Attendu | Points |
|---|---|---|
| 1. Arbre pondéré | toutes les branches étiquetées | 1 – 1,5 |
| 2a. P(A ∩ D) + interpréter | un produit + une phrase | 1,5 |
| 2b. « Montrer que P(D) = … » | probabilités totales déroulées | 1,5 |
| 3. Conditionnelle renversée | chemin ÷ total | 1,5 |
« Montrer que » ≠ « calculer » : la valeur est donnée, le point porte sur la démarche. Et si vous ratez 2b, continuez avec la valeur de l'énoncé — la question 3 reste accessible.
Les trois DST de l'année : cartes mères (A/B), crabes (3 grossistes), factures de garage. Un seul schéma, trois habillages.
PD(A) + PD(B) = 1.PD(A) > P(A).