Primitives et calcul intégral — fiche de révision

⚡ La définition, et rien d'autre

F est une primitive de f sur I
⟺ pour tout x de I, F′(x) = f(x)

Donc pour vérifier une primitive, on la dérive. Si on retombe sur f, c'est juste. Aucune autre méthode n'est nécessaire.

La constante K

(x²)′ = (x² + 12)′ = (x² − 7)′ = 2x

Les primitives de 2x sont les x² + K.

« Une » primitive → pas besoin du K. « Les » primitives → le K fait partie de la réponse.

Dans une intégrale il disparaît : (F(b)+K) − (F(a)+K) = F(b) − F(a).

⚡ Le formulaire

f(x)	F(x)	Condition
`a`	`ax + K`	—
`x`	`x²/2 + K`	—
`x^α`	`x^α+1/(α+1) + K`	α ≠ −1
`1/x`	`ln\|x\| + K`	x ≠ 0
`e^x`	`e^x + K`	—
`e^ax`	`(1/a)e^ax + K`	a ≠ 0
`e^αx+β`	`(1/α)e^αx+β + K`	α ≠ 0
`u′/u`	`ln\|u\| + K`	u ≠ 0

x^α : l'exposant monte de 1, on divise par le nouvel exposant.
e^ax : le 1/a annule le a que la dérivation ferait descendre.
e^αx+β : le β ne change rien, seul le coefficient de x compte.

Ce qui passe, ce qui ne passe pas

f + g → F + G   ✔
k · f → k · F   ✔
f × g → F × G   ✘

Aucune règle pour un produit ni pour un quotient. C'est le piège le plus fréquent du chapitre.

Les exponentielles

e^αx+β → (1/α)·e^αx+β + K

Seul le coefficient de x compte. Le β est constant, il ne sort pas en dérivant.

Et le signe se garde : e^−0,1x → (1/−0,1)e^−0,1x = −10e^−0,1x.

e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368 — à savoir de tête, ça revient partout.

Le logarithme : reconnaître u′/u

Devant une fraction, dérivez le dénominateur et comparez au numérateur.

2x/(x² + 1) → ln(x² + 1) + K

S'il manque un facteur, on le rattrape :

1/(2x+1) = ½ · 2/(2x+1) → ½·ln|2x + 1| + K

Barres de valeur absolue, sauf si on a montré que u > 0 (somme d'exponentielles, x² + 1…).

Le réflexe « on pose u »

(ln u)′ = u′/u (e^u)′ = u′·e^u

Trois lignes, toujours les mêmes :

On pose u(x) = … donc u′(x) = …
f = ln u donc f′ = u′/u
f′(x) = …

Et pour un produit : (uv)′ = u′v + uv′.

⚡ Le théorème fondamental

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

où F est n'importe quelle primitive de f : le + K se soustrait avec lui-même.

Haut moins bas. Jamais l'inverse — et une intégrale est un nombre : s'il reste un x, c'est une primitive.

Calculer une intégrale

∫_a^b f(x) dx = [ F(x) ]_a^b = F(b) − F(a)

Trouver une primitive F (sans K).
Écrire les crochets avec les bornes.
Soustraire : haut moins bas.

∫₀² x dx = [x²/2]₀² = 2 − 0 = 2

L'aire sous la courbe

L'intégrale est l'aire entre la courbe, l'axe des abscisses et les verticales x = a et x = b — à condition que f ⩾ 0.

Sous l'axe, l'aire est comptée négativement. Une intégrale nulle peut vouloir dire « autant au-dessus qu'en dessous ».

Résultat en unités d'aire, puis interprété dans l'unité de l'énoncé.

Contrôle gratuit : si f est affine, recalculez l'aire du triangle ou du trapèze à la main.

⚡ La valeur moyenne

V_m = ¹⁄_{b − a} ∫_a^b f(x) dx

C'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que la surface sous la courbe.

Ce n'est pas (f(a) + f(b))/2 : cette demi-somme ignore tout ce qui se passe entre les deux bornes.

Contrôle : V_m est toujours comprise entre le minimum et le maximum de f sur l'intervalle.

⚡ Factoriser par l'exponentielle

Une exponentielle est toujours strictement positive. Une fois mise en facteur, le signe de la dérivée est celui du facteur restant — un polynôme, dont le signe se lit d'un coup.

f′(x) = 80e^−0,2x(1 − 0,2x) → du signe de (1 − 0,2x)

C'est la question qui débloque tout le reste de l'annale. Ne la sautez pas.

Les résultats du TD

∫₀² x dx	2
∫₀² x³ dx	4
∫₀¹ e^2x dx	½(e² − 1) ≈ 3,194528
∫₀² e^x/2 dx	2(e − 1) ≈ 3,436564
∫₀¹⁰ 2e^0,1x dx	20(e − 1) ≈ 34,365637

Les deux dernières valent c(e − 1) : l'exposant atteint 1 à la borne haute dans les deux cas (2/2 et 0,1 × 10). I₃ = 10 × I₂ — contrôle gratuit.

Le plan des trois annales

Elles suivent toutes la même progression :

1. dériver, et factoriser
2. signe de f′
3. tableau de variation
4. TVI : une unique solution
5. montrer que F est une primitive (donc : dériver F)
6. valeur moyenne
7. interpréter, en une phrase

Réviser ce chapitre sans les chapitres 4 et 6 ne sert à rien.

⚡ Les six pièges

Oublier le + K quand on demande les primitives.
Inverser la soustraction : c'est F(haut) − F(bas).
e⁰ = 1, pas 0 — le terme − F(0) ne disparaît pas avec les exponentielles.
Le signe du coefficient : primitive de e^−x = −e^−x.
Primitiver un produit comme un produit de primitives.
Confondre intégrale et aire quand f passe sous l'axe.

⚡ Les pièges qui coûtent des points

Les unités changent en cours d'énoncé. Des centaines d'ordinateurs, 72 heures pour 3 jours. Relisez avant d'écrire le résultat.

« Interpréter » demande une phrase : la grandeur, l'intervalle, et le mot « moyenne » quand c'en est une.

Les bornes d'un intervalle s'arrondissent vers l'intérieur, puis on vérifie les deux valeurs entières à la calculatrice.

« Les » primitives → le + K fait partie de la réponse.

Le réflexe de contrôle

Réponse : F(x) = x³/3
Contrôle : (x³/3)′ = 3x²/3 = x² ✔

Écrivez cette ligne sur la copie. Elle prouve la réponse, et elle rattrape une erreur de signe ou de coefficient en trois secondes.

Ce qui manque encore

Le cours ne donne toujours pas : les primitives de sin et cos, l'intégration par parties, et l'aire entre deux courbes.

Si une de ces trois notions tombe, elle n'aura pas été vue en classe — signalez-le plutôt que d'improviser.