Devoirs

1. C'est un produit u·v avec u = x + 2 et v = e−x, donc u′ = 1 et v′ = −e−x :

f′(x) = e−x − (x + 2)e−x = (1 − x − 2)e−x = −(x + 1)e−x

Toujours factoriser par l'exponentielle : c'est elle qui décide du signe, et elle est toujours strictement positive.

2. Sur [0 ; 4] : e−x > 0 et x + 1 ⩾ 1 > 0, donc f′(x) < 0. f est strictement décroissante, de f(0) = 2 à f(4) = 6e−4 ≈ 0,110.

3. On dérive F, on ne l'intègre pas. Produit avec u = −(x + 3), u′ = −1 :

F′(x) = −e−x + (x + 3)e−x = (x + 3 − 1)e−x = (x + 2)e−x = f(x) ✓

4. I = F(4) − F(0) = −7e−4 − (−3) = 3 − 7e−4

soit I ≈ 2,872 à 10⁻³ près.

5. La valeur moyenne vaut I / (4 − 0) :

m = (3 − 7e−4) / 4 ≈ 0,718

On divise par la LONGUEUR de l'intervalle, pas par sa borne supérieure. Ici les deux valent 4 parce qu'on part de 0 — ce ne sera pas toujours le cas, et c'est l'erreur la plus fréquente.

1. (eax+b)′ = a·eax+b, ici a = −0,5 :

g′(x) = −4 × (−0,5)e−0,5x = 2e−0,5x > 0

g est strictement croissante sur [0 ; 6].

2. g(0) = 5 − 4 = 1 V. g(6) = 5 − 4e−3 ≈ 4,801 V.

3. Quand x → +∞, e−0,5x → 0, donc g(x) → 5. La droite d'équation y = 5 est asymptote horizontale : le condensateur se charge vers 5 V et ne les atteint jamais tout à fait.

4. G′(x) = 5 + 8 × (−0,5)e−0,5x = 5 − 4e−0,5x = g(x) ✓

∫06 g = G(6) − G(0) = (30 + 8e−3) − 8 = 22 + 8e−3 ≈ 22,398

5. m = (22 + 8e−3) / 6 ≈ 3,733 V.

Le résultat est cohérent : la tension part de 1 V, finit près de 4,8 V, et sa moyenne tombe entre les deux — plus près du haut, parce que la charge est rapide au début. Un résultat hors de l'encadrement signale une faute de calcul.

1. Produit avec u = x² et v = e−x :

h′(x) = 2xe−x − x²e−x = (2x − x²)e−x = x(2 − x)e−x

2. e−x > 0 : le signe est celui de x(2 − x). Sur [0 ; 5], x ⩾ 0, donc tout se joue sur 2 − x.

• sur ]0 ; 2[ : 2 − x > 0, donc h′ > 0 — h croît ;
• en x = 2 : h′ = 0 — maximum ;
• sur ]2 ; 5] : 2 − x < 0, donc h′ < 0 — h décroît.

Le maximum vaut h(2) = 4e−2 ≈ 0,541, et h(5) = 25e−5 ≈ 0,168.

3. Produit avec u = −(x² + 2x + 2), u′ = −(2x + 2) :

H′(x) = −(2x + 2)e−x + (x² + 2x + 2)e−x

= (x² + 2x + 2 − 2x − 2)e−x = x²e−x = h(x) ✓

4. ∫05 h = H(5) − H(0) = −37e−5 − (−2) = 2 − 37e−5 ≈ 1,751

5. m = (2 − 37e−5) / 5 ≈ 0,350

Le maximum de h vaut 0,541 et sa moyenne 0,350 : une moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de la fonction. C'est la vérification la plus rapide qui soit, et elle ne coûte rien.

1. f′(t) = 2,1e−0,06t. La règle : (eat+b)′ = a·eat+b, donc −35 × (−0,06) = 2,1. Le signe moins disparaît, et c'est lui qu'on oublie.
2. g′(t) = 0,031e−0,5t : −0,062 × (−0,5) = 0,031. La constante 0,152 s'évapore en dérivant.
3. 1/(−0,06) = −100/6 = −50/3 ≈ -16,67.
4. 1/(−0,25) = −4 exactement.
5. −2e−0,5t : on divise par le coefficient de t, soit 1/(−0,5) = −2. C'est l'opération inverse de la question 1.
6. 0,152t.
7. F′(t) = 400 × (−0,02)e−0,02t + 8 = −8e−0,02t + 8 = f(t). On dérive la primitive annoncée ; on ne cherche jamais à intégrer pour vérifier.
8. [−2e−0,5t] de 0 à 2 = −2e−1 + 2 = 2(1 − e−1) ≈ 1,2642.
9. e−0,06t → 0, donc la limite est 35 : une asymptote horizontale.
10. F(6) − F(0) = 0,918174 − 0,124 = 0,794174, divisé par 6 : ≈ 0,132.

Les trois gestes qui reviennent dans les six sujets sont là : dériver une exponentielle composée, reconnaître une primitive en la dérivant, et diviser une intégrale par la longueur de l'intervalle.

1. u(10) = 31,5 V et u(30) = 62,1 V. Une demi-minute, c'est t = 30 : la conversion fait partie de la question.
2. u′(t) = −80 × (−0,05)e−0,05t = 4e−0,05t. Deux signes moins font un plus.
3. Une exponentielle est toujours strictement positive, et 4 aussi : u′(t) > 0, donc u est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
4. e−0,05t → 0, donc u(t) → 80. La tension plafonne à 80 V : c'est la tension du générateur.
5. 80 % de 80 font 64 V, or u(30) = 62,1 V, soit 77,7 % : l'affirmation est fausse.
6. U′(t) = 1600 × (−0,05)e−0,05t + 80 = −80e−0,05t + 80 = u(t). On dérive, on ne devine pas.
7. M = 1/30 × (U(30) − U(0)) = 1/30 × (2757,008 − 1600,000) ≈ 38,6 V.

La question 5 est un piège de lecture : on compare une valeur à un seuil, et il faut écrire les deux. Donner seulement « oui » ou « non » ne vaut aucun point.

1. θ(15) = 54,1 °C et θ(60) = 109,1 °C. Une heure, c'est t = 60 puisque t compte des minutes.
2. θ′(t) = −120 × (−0,04)e−0,04t = 4,8e−0,04t. Deux signes moins font un plus.
3. Une exponentielle est toujours strictement positive, et 4,8 aussi : θ′(t) > 0, donc θ est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
4. e−0,04t → 0, donc θ(t) → 120. Le four plafonne à 120 °C : c'est sa consigne.
5. 90 % de 120 font 108 °C, or θ(50) = 103,8 °C, soit 86,5 % : l'affirmation est fausse.
6. Θ′(t) = 3000 × (−0,04)e−0,04t + 120 = −120e−0,04t + 120 = θ(t). On dérive, on ne devine pas.
7. M = 1/50 × (Θ(50) − Θ(0)) = 1/50 × (6406,006 − 3000,000) ≈ 74,5 °C.

La question 5 est un piège de lecture : on compare une valeur à un seuil, et il faut écrire les deux. Donner seulement « oui » ou « non » ne vaut aucun point.

1. f(7) = 9,5 MPa et f(3) = 4,3 MPa. 72 heures, c'est t = 3 : t compte des JOURS, et l'énoncé change d'unité exprès.
2. f′(t) = −50 × (−0,03)e−0,03t = 1,5e−0,03t. Deux signes moins font un plus.
3. Une exponentielle est toujours strictement positive, et 1,5 aussi : f′(t) > 0, donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
4. e−0,03t → 0, donc f(t) → 50. La dureté plafonne à 50 MPa : c'est la dureté finale de l'enduit.
5. 80 % de 50 font 40 MPa, or f(56) = 40,7 MPa, soit 81,4 % : l'affirmation est juste.
6. F′(t) = (5000/3) × (−0,03)e−0,03t + 50 = −50e−0,03t + 50 = f(t). On dérive, on ne devine pas.
7. M = 1/56 × (F(56) − F(0)) = 1/56 × (3110,623 − 1666,667) ≈ 25,8 MPa.

La question 5 est un piège de lecture : on compare une valeur à un seuil, et il faut écrire les deux. Donner seulement « oui » ou « non » ne vaut aucun point.

1. F′(t) = 0,240 + 0,36 × (−0,25)e−0,25t = 0,240 − 0,090e−0,25t = f(t), et F est dérivable sur l'intervalle : c'est bien une primitive.
2. F(8) − F(0) = 1,968721 − 0,360000 = 1,608721 ≈ 1,6087.
3. a. m = 1,6087 / 8 ≈ 0,201. Sur les 8 premières heures, le taux d'humidité moyen est d'environ 20,1 %.
   b. Le domaine est compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations t = 0 et t = 8 :

La question 2 dit « en déduire » : elle attend qu'on se serve de la primitive de la question 1, pas qu'on recommence. Et m n'est pas la moyenne de deux valeurs — c'est l'aire, étalée sur la largeur.

1. F′(t) = 0,085 + 0,1125 × (−0,40)e−0,40t = 0,085 − 0,045e−0,40t = f(t), et F est dérivable sur l'intervalle : c'est bien une primitive.
2. F(5) − F(0) = 0,440225 − 0,112500 = 0,327725 ≈ 0,3277.
3. a. m = 0,3277 / 5 ≈ 0,066. Sur les 5 premières minutes, la concentration moyenne est d'environ 0,066 mol·L⁻¹.
   b. Le domaine est compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations t = 0 et t = 5 :

La question 2 dit « en déduire » : elle attend qu'on se serve de la primitive de la question 1, pas qu'on recommence. Et m n'est pas la moyenne de deux valeurs — c'est l'aire, étalée sur la largeur.

1. F′(t) = 0,180 + 0,125 × (−0,60)e−0,60t = 0,180 − 0,075e−0,60t = f(t), et F est dérivable sur l'intervalle : c'est bien une primitive.
2. F(4) − F(0) = 0,731340 − 0,125000 = 0,606340 ≈ 0,6063.
3. a. m = 0,6063 / 4 ≈ 0,152. Sur les 4 premières minutes, la teneur en eau moyenne est d'environ 15,2 %.
   b. Le domaine est compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations t = 0 et t = 4 :

La question 2 dit « en déduire » : elle attend qu'on se serve de la primitive de la question 1, pas qu'on recommence. Et m n'est pas la moyenne de deux valeurs — c'est l'aire, étalée sur la largeur.